Lógica borrosa (II)

Un conjunto clásico se define de tal forma que particiona los individuos de un discurso en dos grupos: los que pertenecen a dicho conjunto y los que no son miembros del mismo. Pero, como hemos visto, muchas clases y categorías de uso común en el lenguaje natural, no se prestan a esa separación tan radical (mutuamente excluyente): la transición entre los miembros y los no miembros es gradual. El concepto de conjunto borroso es una solución para estos casos, porque elimina la separación brusca entre los miembros.

DEFINICIÓN.- Sea $U$ un conjunto (en sentido clásico) no vacío, denominado universo. Un subconjunto borroso $A$ de $U$ es un conjunto de pares ordenados:

$\left\{\left(x|{\mu }_A\left(x\right)\right):x\in U\right\}$

donde ${\mu }_A:U\to \left[0,1\right]$ es una aplicación denominada función de pertenencia de $A$.

Dado $x\in U$, la imagen ${\mu }_A\left(x\right)$ representa el grado de pertenencia de $x$ al conjunto $A$.

EJEMPLO.- La función ${\mu }_A\left(x\right)=\frac{1}{1+10x^2}$ (ver gráfica) puede servir para definir el conjunto borroso de los números reales próximos a 0.

En este conjunto, el número 1 tiene un grado de pertenencia de 0.09; el número 0.25 tiene un grado de pertenencia de 0.62 y el número 0 tiene el mayor grado de pertenencia: 1.

Consideremos, como segundo ejemplo, el conjunto siguiente (discreto) formado por las edades siguientes de humanos:

$U=\left\{5,10,20,30,40,50,60,70,80\right\}$

y los cuatro conjuntos borrosos que representan los conceptos "bebé", "joven", "adulto" y "viejo", cuyas funciones de pertenencia vienen representadas en la siguiente tabla:

$\begin{array}{|ccccc|}\hline Edades& bebé& joven& adulto& viejo\\ 5& 0& 1& 0& 0\\ 10& 0& 1& 0& 0\\ 20& 0& 0.8& 0.8& 0.1\\ 30& 0& 0.5& 1& 0.2\\ 40& 0& 0.2& 1& 0.4\\ 50& 0& 0.1& 1& 0.6\\ 60& 0& 0& 1& 0.8\\ 70& 0& 0& 1& 1\\ 80& 0& 0& 1& 1\\ \hline\end{array}$

Otra representación formal de un subconjunto borroso $A$ del universo $U$ es:

$A=\left\{x|{\mu }_A\left(x\right):x\in U,{\mu }_A\left(x\right)\ne 0\right\}$

También se puede usar como símbolo de la función de pertenencia, el mismo signo del conjunto borroso:

$A:U\to \left[0,1\right]$

Según la notación admitida, las representaciones de los conjuntos borrosos "bebé", "joven", "adulto" y "viejo", en el universo de edades $U$, serán:

$\begin{array}{l}bebé=\left\{ \right\}\\ joven=\left\{5|1,10|1,20|0.8,30|0.5,40|0.2,50|0.1\right\}\\ adulto=\left\{20|0.8,30|1,40|1,50|1,60|1,70|1,80|1\right\}\\ viejo=\left\{20|0.1,30|0.2,40|0.4,50|0.6,60|0.8,70|1,80|1\right\}\end{array}$

Se dice que un conjunto borroso $A$ es un conjunto borroso vacío si ${\mu }_A\left(x\right)=0,\forall x\in U$. El conjunto "bebé" anterior, es vacío. El subconjunto borroso vacío se denota por el mismo símbolo clásico: $\varnothing$.
Se llama altura del subconjunto borroso¹ $A\underset{~}{\subset }U$, al número $\text{máx}\left\{{\mu }_A\left(x\right):x\in U\right\}$.
Se llama cardinal de un subconjunto borroso $A\underset{~}{\subset }U$, de un universo finito, a la suma:

$\text{card}\left(A\right)=\sum _{x\in U}{\mu }_A\left(x\right)$

Por ejemplo: card(viejo) = 4.1.

Dados $A,B\underset{~}{\subset }U$, se define

$A\subset B\iff \forall x\in U\left({\mu }_A\left(x\right)\le {\mu }_B\left(x\right)\right)$

Además, se definen:

$\begin{array}{l}A=B\iff \forall x\in U\left({\mu }_A\left(x\right)={\mu }_B\left(x\right)\right)\\ A\ne B\iff \exists x\in U\left({\mu }_A\left(x\right)\ne {\mu }_B\left(x\right)\right)\\ \overline{A}=\left\{x|{\mu }_{\overline{A}}\left(x\right)=1-{\mu }_A\left(x\right):x\in U\right\}\\ A\cap B=\left\{x|{\mu }_{A\cap B}\left(x\right)=\text{mín}\left({\mu }_A\left(x\right),{\mu }_B\left(x\right)\right):x\in U\right\}\\ A\cup B=\left\{x|{\mu }_{A\cup B}\left(x\right)=\text{máx}\left({\mu }_A\left(x\right),{\mu }_B\left(x\right)\right):x\in U\right\}\end{array}$

El subconjunto borroso $\overline{A}$ de $U$ se denomina complementario de $A$ respecto de $U$.

EJEMPLO.-

$joven\cup viejo=\left\{5|1,10|1,20|0.8,30|0.5,40|0.4,50|0.6,60|0.8,70|1,80|1\right\}$ ___________________________________________

¹Si $U$ es un universo, para indicar que $A$ es un subconjunto borroso de $U$, se escribe: $A\underset{~}{\subset }U$