Lógica Borrosa (I)

Introducción

Un último paso en la extensión de la Lógica Clásica es la Lógica Borrosa. Antes de entrar en materia, daremos algunos argumentos heurísticos sobre la necesidad de la introducción de este sistema de lógica y una somera exposición sobre los conjuntos borrosos, noción clave para desarrollar la Lógica Borrosa.

La lógica borrosa puede considerarse como una extensión de la lógica polivalente con infinitos valores de verdad; pero va más allá que ésta al considerar no solo una infinidad de valores semánticos entre "verdadero" y "falso", sino admitir que estos mismos valores son imprecisos. La lógica borrosa nos ofrece un modelo matemático para el razonamiento con incertidumbre, habitual en el lenguaje natural, que hace uso de razonamientos aproximados con sentencias imprecisas. El siguiente silogismo es un ejemplo de este tipo de razonamientos, inabordables con la lógica de predicados o con la lógica polivalente:

(1) Normalmente, los muebles antiguos son difíciles de conseguir.
(2) Lo difícil de conseguir suele ser caro.
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(3) Normalmente, los muebles antiguos suelen ser caros.

En la anterior inferencia se hace uso de predicados borrosos (antiguo, difícil de conseguir, ser caro) y un cuantificador borroso (normalmente).

Para abordar los razonamientos aproximados, la lógica borrosa incluye, además de lo que la lógica de predicados admite, lo siguiente: predicados borrosos(bueno, caro, antiguo, difícil de conseguir, ...), cuantificadores borrosos (muchos, pocos, algunos, la mayoría de, normalmente,...), modificadores borrosos (muy, más o menos, casi, bastante, ...), valores de verdad en el intervalo $\left[0,1\right]$, y distintas interpretaciones de las sentencias (casi cierta, cierta, muy cierta, casi falsa, falsa, muy falsa,...).

Conjuntos Borrosos.

La LB se basa en una generalización del concepto de conjunto: el conjunto borroso. La necesidad de este último surge en aquellas situaciones (en particular cuando intervienen consideraciones subjetivas) en las que resulta difícil determinar la pertenencia o no pertenencia de un elemento a un conjunto. Por ejemplo, en los siguientes casos:

Números naturales mucho mayores que 100.
Ríos largos.
Personas pobres.
Personas jóvenes.
Hombres altos.

Parece claro que 110 no pertenece al primer conjunto y que 1.000.000.000 sí; pero ¿y 700? Una persona de 16 años sí pertenece al cuarto conjunto; pero ¿qué diremos de una de 27 años? Un hombre de 1'95 m de estatura claramente es miembro del quinto conjunto; pero ¿y uno de 1'78 m?

Tales conjuntos se califican de borrosos para indicar que no existe un criterio que determine exactamente un límite entre la pertenencia y la no pertenencia al conjunto. Podría objetarse que este es un obstáculo aparente, puesto que bastaría con delimitar (por ejemplo, numéricamente) el conjunto para que la borrosidad desapareciera. Al margen de la subjetividad de tal criterio delimitador, en otros casos ni siquiera esto es posible ni deseable. Por ejemplo, cuando describimos el tiempo meteorológico en una zona, podríamos dar el porcentaje de nubes que cubren el cielo; pero aunque es menos "preciso" nos resulta más claro afirmar "es un día soleado", que declarar, "el cielo está cubierto en un 10%".

Más aún, la imprecisión, que es una característica del lenguaje natural, no implica naecesariamente una pérdida de exactitud o de significado. Por ejemplo, es más útil dar la dirección en una ciudad en términos de calles, manzanas, plaxzas, etc, que mediante coordenadas geográficas (longitud y latitud) o metros en la métrica de la "distancia taxi". Es también más razonable afirmar que hace mucho calor que decir que la temperatura es de 40'2 ºC.

Consideremos nuevamente el concepto "soleado" referido a un día. Un día en un cielo con el 0% de nubes sería claramente soleado; pero ¿y con un 5% ó un 10%? Y si con un 10% de nubes es soleado, ¿por qué no con un 11% o un 12% de nubes? ¿Dónde establecemos la frontera entre "soleado" y "nublado"?

La siguiente paradoja (conocida en la literatura lógico-filosófica como la paradoja del tipo Sorites, perteneciente a una familia de paradojas provenientes de la "vaguedad") nos ofrece otro ejemplo de borrosidad en ciertos conceptos. Con ella se intenta formalizar nuestra indecisión en los casos de "fuzzy boundaries", o de fronteras difusas. Esta paradoja proviene de la Antigüedad, probablemente del filósofo Eubúlides de Megara, el cual llegó a acusar a Aristóteles de haber traicionado a su maestro, Platón, y de haber actuado como un mero espía infiltrado en Atenas por el rey Filipo de Macedonia, padre de Alejandro Magno, para quien el Estagirita fue preceptor.
Consideremos el concepto de "montón de (granos de) arena". ¿Cuántos granos de arena forman un montón de arena? ¿Cómo establecemos un criterio numérico unívoco de "montoneidad" en un agregado de granos de arena?

Es evidente que un grano de arena no forma un montón de arena, y parece evidente que, si tenemos un agregado de $n$ granos de arena que no forman un montón de arena, añadiéndole a ese agregado un grano de arena, el nuevo agregado de $n+1$ granos de arena tampoco forma un montón de granos de arena, para todo $n$ natural.
Luego ningún agregado de granos de arena puede formar un montón de arena.

En efecto, procedamos por inducción sobre $n$.
Para $n=1$, no hay montón de arena, y si $n$ granos de arena no forman montón de arena, $n+1$ granos de arena no forman un montón de arena.
Luego ningún número de granos de arena forma un montón de arena.

Formalicémoslo, para verlo con más precisión.

1ª formalización.

Sea $M\left(n\right)$ el predicado "$n$ granos de arena forman un montón". Y sea ${\mathit{M}}^{\mathit{c}}=\left\{n\in \mathrm{\mathbb{N}}:\neg M\left(n\right)\right\}$.

(1) $\neg M\left(1\right)$.
(2) $\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}} \left(\neg M\left(n\right)\to \neg M\left(n+1\right)\right)$.
(3) $\forall n\in N\left(\neg M\left(n\right)\right)$, por el Principio de Inducción.
(4) ${\mathit{M}}^{\mathbf{c}}=\mathrm{\mathbb{N}}$.

2ª formalización.

(1') $\neg M\left(1\right)$ (hecho observable).
(2') $M\left(1000000\right)$ (hecho observable).
(3') $\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}} \left(\neg M\left(n\right)\to \neg M\left(n+1\right)\right)$.
(4') $\neg M\left(1000000\right)$ (de (1') y (3'), por iteración).

(4') y (2') son contradictorias.
La terna [(1'),(2'),(3')] forma lo que se denomina un clúster aporético, por lo que habría que suprimir uno de los elementos de esa terna para poder resolver la paradoja. Ahora bien, tanto (1') como (2') corresponden a hechos observables (relativos a nuestra intuitiva noción de "montón de (granos de) arena"), Sin embargo, (3') es una generalización con un alto nivel de abstracción, una generalización plausible, una teoría. No obstante, a pesar de la fragilidad lógica que aparenta la premisa (3'), no debemos precipitarnos a declararla como falsa, dado que su negación lógica nos conduciría a lo siguiente:

$\left(\exists m\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)\left(\neg M\left(m\right)\wedge M\left(m+1\right)\right)$

Siendo difícil el concebir la existencia de uno de esos números.

La moraleja que destilamos de esta paradoja es que el concepto de "montón de arena" (o el de "calvo" y similares) es difuso, borroso, "fuzzy", y que precisamos de una nueva lógica (y la correspondiente teoría de conjuntos, extensión de la clásica) para habérnoslas con dichos conceptos.