Los teoremas de incompletitud de Gödel (III)

TEOREMA G.2 (2º Teorema de Incompletitud de Gödel) Si el sistema formal de la teoría de números es simplemente consistente, entonces se verifica que $no-├Consis$. Es decir, si el sistema es consistente, entonces no existe prueba de la consistencia del sistema por métodos formalizables en el propio sistema.

DEMOSTRACIÓN.- La aserción "${\text{A}}_p\left(\mathit{p}\right)$ es improbable", exprésase, mediante la numeración de Gödel, por $\forall b\neg \text{A}\left(\mathit{p},b\right)$, la cual es ${\text{A}}_p\left(\mathit{p}\right)$.

La demostración intuitiva de la primera mitad del Teorema G.1 es una demostración de que

(I) {el sistema formal es consistente} implica {${\text{A}}_p\left(\mathit{p}\right)$ es improbable}

Si la demostración metamatemática de (I) se formaliza, en el sistema, usando la numeración de Gödel, se tiene:

(II) $\text{├}Consis\to {\text{A}}_p\left(\mathit{p}\right)$

Asumamos metamatemáticamente que $\text{├}Consis$. Entonces, desde (II), →-eliminación y MP se concluye que ${\text{├A}}_p\left(\mathit{p}\right)$.
Por el Teorema G.1, esto es imposible, si el sistema es consistente. Luego por reducción al absurdo metamatemáticamente, se concluye la tesis del Teorema G.2, pues

$\text{├}\forall b\neg \text{A}\left(\mathit{q},b\right){\text{→A}}_q\left(\mathit{q}\right)$.

Q.E.D.