Los teoremas de incompletitud de Gödel (IV)

Argumentación intuitiva (heurística) de los resultados de Gödel.

 

 

   Después de una profunda crisis en los fundamentos de la Matemática, causada por el descubrimiento de paradojas lógicas y semánticas, las investigaciones de Cantor sobre Teoría de Conjuntos y la publicación, a principios del siglo XX, de la monumental obra sobre lógica matemática Principia Mathematica, por Russell y Whitehead, en 1931 vieron la luz dos importantes teoremas de Kurt Gödel en "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems".

   El primero de ellos implicaba al otro como corolario. Los dos teoremas modificaron totalmente el programa de fundamentación de la Matemática (propuesto por David Hilbert en 1900) y de la filosofía de la metamatemática. Estos resultados fueron obtenidos por Gödel mediante un género de razonamiento metamatemático.

   Los objetos del sistema formal considerado son de varias clases: símbolos formales, expresiones formales (sucesiones finitas de símbolos formales) y sucesiones finitas de expresiones formales (algunas de las cuales constituyen lo que en el argot actual se denomina demostración o prueba formal).
   Todos esos objetos de un sistema formal (en un determinado lenguaje previamente especificado) constituyen un conjunto infinito numerable (como es sencillo demostrar). Esto es, pueden enumerarse.
   Especificando, entonces, una particular enumeración de ellos y componiendo nuestras declaraciones metamatemáticas con los índices de la enumeración en lugar de con los objetos enumerados, la metamatemática deviene entonces una rama de la Teoría de Números (de la Aritmética). Ello posibilita la expresión de fórmulas en el sistema formal, las cuales, a través de su enumeración, expresan proposiciones de su propia metamatemática (la del sistema formal).

   Con el uso del llamado "método diagonal de Cantor" puede encontrarse una fórmula cerrada, $\text{A}$, la cual, interpretada por alguien que conozca su enumeración, asegura su propia improbabilidad.
   Esta fórmula $\text{A}$ se asemeja a la proposición contenida en la paradoja de Epiménides.

   Por la construcción de $\text{A}$:

(1) $\text{A}$ significa que $\text{A}$ es improbable.

   Supongamos, además, que las fórmulas que expresan proposiciones falsas son improbables en el sistema:

(2) fórmulas falsas son improbables

   Entonces, $\text{A}$ no puede ser falsa, pues, por (1), esto significaría que $\text{A}$ no es improbable, contradiciendo (2).
   Luego $\text{A}$ es verdadera y, por lo tanto, improbable.
   Pero entonces ¬$\text{A}$ es falsa. Luego, por (2), improbable.

   En consecuencia, tanto $\text{A}$ como ¬$\text{A}$ son improbables en el sistema, el cual resulta incompleto.


   Habremos, pues demostrado que existe una sentencia en el sistema (el cual suponemos consistente), que es verdadera e indemostrable (en el sistema), tanto ella como su negación.

   Si ahora tomamos $\text{A}$ como la sentencia metamatemática (construida mediante la enumeración de Gödel citada) que asegura que el sistema formal (supuesto consistente) es consistente: $Consis$, tendremos, como consecuencia de lo antexpuesto, que $Consis$ no es un teorema del sistema formal.    Esto es, que $Consis$ no es demostrable dentro del propio sistema formal. O, en símbolos, que no-$├Consis$, que es el resultado del 2º Teorema de Incompletitud de Gödel, ampliamente citado y discutido en la literatura matemática y filosófica.

Pero los resultados de Gödel no son lo que más puede amenazar el edificio de la Exacta Ciencia y del método axiomático en los lenguajes formales, en general. Teoremas como el de Morley (1965): si un conjunto $\Sigma$ de sentencias es categórico¹ en una potencia incontable, entonces es categórico en cualquier potencia incontable; o el de Löwenheim² (1915): Si un conjunto de  sentencias tiene un modelo infinito, entonces tiene un modelo numerable, son más inquietantes.


______________________________________________
¹Un conjunto de sentencias $\Sigma$ se dice categórico en potencia $\alpha$ si y solo si existe (salvo isomorfismos) un modelo de $\Sigma$ de potencia $\alpha$.

 ²Que en una extensión suya se denomina Teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski:

«Si una teoría $T$ de un lenguaje de primer orden $\mathcal{L}$ tiene modelos infinitos, entonces tiene modelos infinitos de cualquier potencia dada  $\alpha ⩾||\mathcal{L}||$».

$||\mathcal{L}||=\omega \cup \left|ℒ\right|$ es la potencia o cardinal del lenguaje $\mathcal{L}$.