Sobre un apotegma de Goethe

Si quieres andar en lo infinito marcha por lo finito en todas direcciones



(Goethe)





Este aserto es innecesario o redundante.






En efecto. Dado que lo finito puede ponerse en correspondencia biyectiva con un subconjunto (de cardinalidad menor que א_o) de los números naturales, en lo finito habrá un número finito de objetos. Sea n dicho número.

Dados dos objetos cualesquiera de lo finito, sean i y j, con 1 ≤ i , j ≤ n, llamamos camino direccionado entre i y j, al par ordenado (i , j); y ruta direccionada entre i y j a una sucesión de caminos direccionados, entre i y j, con punto de partida en i, punto de llegada en j y tal que el punto de llegada de un camino direccionado es punto de partida del camino direccionado siguiente (y sin que ningún punto o nodo del camino sea alcanzado más de una vez).








Ahora bien, marchar por lo finito es seguir una ruta
direccionada cualquiera. Pero el número de rutas direccionadas en lo finito es, obviamente, finito(¹). Luego es imposible andar en lo infinito siguiendo una marcha por lo finito (en todas direcciones, esto es, siguiendo todas las rutas direccionadas posibles en lo finito), en contra de lo expresado en la aseveración goethiana.






Y esto vale igual si los 'objetos' de lo finito son entes materiales o entes de razón (finitos ambos y en número finito), y las rutas direccionadas son sucesiones de caminos físicos o puramente noéticos.

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¹


Si el número de objetos es n, el número de rutas direccionadas será n!, porque el punto de partida inicial puede ser elegido de entre n objetos, y el punto de llegada correspondiente a este, de entre n - 1 de los restantes; y, en general, el punto de llegada correspondiente al punto de partida k ( 1 ≤ k ≤ n-1) podrá ser escogido de entre los n - k objetos restantes no elegidos. Por lo tanto, obtendremos un número de rutas direccionadas (con un primer punto de partida inicial y un último punto de llegada final) igual a:





n(n-1)(n-2) ... 2.1 = n!





Otra forma más sencilla de demostrar esto es la siguiente.


Lo finito podemos representarlo mediante el conjunto {1,2,...,n} de números naturales. Una ruta direccionada en lo finito será una sucesión i₁,i₂,...i_n, con i_k ε {1,2,...,n}, todos distintos; esto es, una permutación del conjunto [1,2,...,n}. Luego el número de rutas direccionadas en lo finito será el número de permutaciones diferentes del conjunto {1,2,...,n}, que es n!.





De este ejemplo matemático podemos inducir corolarios ético, ontológico y epistemológico.






No es admisible el contraargumentar afirmando que el 'todas direcciones' (en lo finito) no está determinado por el propio 'lo finito', pues, por definición, una dirección (elemental, o camino direccionado) es el movimiento (físico o intelectual) entre dos cosas que la determinan (un vector físico, argumentativo, etc.), y, siendo el conjunto de cosas (entes de razón o físicos) finito, como se ha demostrado, el 'todas direcciones' lo será también.