Existe una similitud entre la dinámica clásica de una partícula puntual, con posición x, y la de una 3-geometría1 hij. En la formulación hamiltoniana de la RG, hij ejerce el papel que la variable posición x representa en la dinámica de una partícula.
Al cuantizar dicha partícula clásica obtenemos una función de onda cuántica: ψ(x,t), la cual verifica la conocida ecuación de Schrödinger.
Análogamente, en gravedad cuántica2 tenemos un funcional de onda, Ψ[hij], el cual contiene toda la información sobre la gravedad cuántica (en analogía con el caso clásico de la partícula cuántica), y que verifica una ecuación diferencial funcional de segundo orden, la ecuación de Wheeler-DeWitt.
Al estudiar la cuantización de la RG, se describe la amplitud de probabilidad cuática para ir desde una 3-geometría inicial h'ij, hasta una final h''ij. Dicha amplitud viene formalmente dada por la integral de camino euclideana:
donde C es la clase de las 4-métricas (compactas) riemannianas gμν con métricas inducidas inicial y final h'ij y h''ij, respectivamente.
Extendiendo ahora a la gravedad el desarrollo del anterior mensaje, hecho para una partícula mecano-cuántica, no relativista, escribiremos, para la función de onda del estado base del Universo (se eligen unidades 'naturales', de Planck, en las que h = c = G = 1):
donde IE es la acción euclideana para la gravedad (en analogía con la de la partícula desarrollada en el mensaje anterior), la cual contiene una constante cosmológica Λ. C es ahora la clase de las 4-métricas gμν sobre variedades compactas con métrica inducida hij sobre la frontera de las mismas. K, una constante.
Hartle y Hawking argumentan que la anterior expresión, en similitud con el desarrollo expuesto en el anterior mensaje, representa la amplitud de probabilidad de observar al Universo con una 3-geometría hij, proviniendo de una 3-geometría idénticamente nula, hij ≡ 0; es decir, de un punto matemático (ejemplo trivial de variedad):
In other words, the ground state is the amplitude for the Universe to appear from nothing3.
1Cuando hablamos de 4-geometrías, nos referimos a un espacio-tiempo con métrica gμν. Una 3-geometría es una familia uniparamétrica de superficies de género espacio (dos puntos cualesquiera de una de ellas están siempre conectados por una curva de género espacio t = const.), junto con la restricción, hij, de la metrica gμν, a dichas superficies.
El espacio-tiempo, o colección de todos los eventos, defínese como la clase de equivalencia, por isometrías, de pares ordenados (M,g), donde: 1) M es una variedad diferenciable tetradimensional, de clase C∞, conexa y de Hausdorff, y 2) g es una métrica lorentziana (de signatura +2) definida sobre M
2Dícese que estamos en el domimio de la Gravedad Cuántica cuando las escalas de longitud implicadas son del orden de magnitud de la longitud de Planck
Curvaturas correspondientes a esta longitud las hubo en el universo primitivo.
3Wave function of the Universe, J.B. Hartle; S.W. Hawking. Physical Review, 1983.
13 comentarios:
¿De que vacío hablan Hawking y Hartle? ¿Del Vacío cuántico? ya el conocido efecto Casimir desmanteló empíricamente el significado de "vacío" que se da en física cuántica (algunos postulan que la densidad de la energía de ese vacío es del orden de 10^70 Julios por metro cúbico, es decir, la energía contenida en trillones de supernovas en un solo metro cúbico).
Por otra parte, si esa conexión entre el vacío cuántico y la Nada es la única posible, cabría preguntarse a qué obedece ese azar intrínseco del mundo cuántico (del que surgen partículas y antipartículas a borbotones): ¿la voluntad, el libre albedrío de Dios (y como tal indeterminista) creando el universo ab aeternum?
La tesis ateológica contra la omnisciencia divina se puede resumir en el siguiente argumento:
(1) Si Dios conoce de antemano que X hará A, entonces debe ser el caso que X hará A.
(2) Si debe ser el caso que X hará A, entonces X no es libre para abstenerse de hacer A.
De (1) y (2) se sigue que
(c) si Dios conoce de antemano que alguien hará cierta acción, entonces esta persona no es libre con respecto a esta acción.
Pero (1) requiere de ulterior inspección. ¿Por qué pensamos que (1) es verdadera?
(1) puede significar dos cosas:
(1a) Necesariamente, si Dios conoce de antemano que X hará A, entonces por supuesto que X hará A.
o
(1b) Si Dios conoce de antemano que X hará A, entonces es necesario que X hará A (necesariamente X hará A).
El argumento ateológico contra la omnisciencia divina (incompatibilidad de la omnisciencia divina con la libertad humana) requiere la verdad de (1b), pero no de (1a).
Pero (1) lo que dice es que si Dios conoce de antemano que X hará A, X hará A, lo cual no quiere decir que X hará necesariamente A, cosa que sí sería una incompatibilidad con la libertad humana de X para hacer A. Dios conoce que X hará A, pero conoce también que X hará libremente A (si A es una acción humana libre de X). Esto es posible porque Dios no 'vive' en el tiempo, sino en la Eternidad, y la Eternidad es un presente permanente, sin sucesión, sin cambio, sin principio ni fin, en la que todo es presentemente dado (un 'ahora' permanente). La dificultad (y aparente aporía entre la libertad humana y la presciencia divina) de intelección de la omnisciencia divina, proviene de nuestras finitas y falibles categorías conceptuales (impregnadas de temporalidad, por poseer un cuerpo temporal) cuando son aplicadas al Infinito en Ser, que no admite descripción finita alguna.
Por lo antexpuesto, debemos decir que (1) significa (1a), no (1b). Es, por supuesto, necesariamente verdadero que si Dios (o cualquiera) conoce que una proposición P es verdadera (1), entonces P es verdadera; pero de ello no se sigue que P es necesariamente verdadera. Si, por ejemplo, yo conozco que Pedro es soltero, entonces "Pedro es soltero" es una verdad necesaria, pero no que Pedro sea necesariamente soltero (No es lo mismo el aserto 'Pedro es soltero' es una verdad necesaria que el aserto Pedro es necesariamente soltero). Si conozco que Pedro es soltero, lo que se sigue de ello es sólo que "Pedro es casado" es falso; no se sigue que sea necesariamente falso.
Pensamos que (1) es verdadero porque, si Dios conoce que X hará A, se sigue lógicamente que X hará A: es necesario que si Dios conoce que P, entonces P es verdadero.
Si Dios conoce que X hará A, dado que Dios es omnisciente, se sigue lógicamente que X hará A; pero eso no es lo mismo que decir que X hará necesariamente A. (2)
----------------------------
Hola Francisco, ¿me permite aquí una pregunta sobre el post (supra) que publicó sobre la omnisciencia divina y la libertad? Sé que éste no es el post indicado, pero al tratarse aquél de un post de considerable antigüedad he supuesto que un comentario allá pasaría desapercibido. Ahí va.
Su argumento es un buen argumento deísta, o como mínimo teísta no católico, en apoyo a que la omnsciencia divina no implica una negación del libre albedrío... El argumento es muy sutil, pero a efectos deístas, potente. Lo problemático viene quizás con la implicación que tiene: sí, bajo esas premisas el argumento permite la libertad, pero no la predestinación. Y ésto, creo, para un católico, puede ser problemático. Ya que, si estamos predestinados, ¿a cuento de qué viene la Revelación (por Cristo o los profetas)? Es redundante e insignificante. ¿A qué vino que Cristo dijera entonces que si hiciéramos tal o cual, nos salvaríamos y si no, no?
"Lo problemático viene quizás con la implicación que tiene: sí, bajo esas premisas el argumento permite la libertad, pero no la predestinación."
Mis disculpas. Quise decir "sí, bajo esas premisas el argumento permite la libertad, pero implica la predestnación".
Estimado maelstron,
Mientras esperamos la respuesta de Francisco, voy a tratar de responder a su pregunta.
En mi opinión se trata de una cuestión muy similar a la expresada por Francisco.
Es decir, lo propuesto es saber si la omniscencia divina es compatible con la predestinación.
Para ello partimos de que la libertad es compatible con la libertad humana (demostrado por Francisco) y la otra premisa necesaria, (y a mi entender la clave de la cuestión), es que el destino final es una consecuencia necesaria de nuestros actos (o mejor dicho de la aceptación o el rechazo de la gracia divina manifestada en Cristo en los diferentes actos morales de nuestra vida).
Las personas humanas vivimos en el tiempo y por ello nuestras acciones suceden en un momento determinado, en dicho momento somos libres para realizar la acción en un sentido u otro.
Dios nos envía la gracia necesaria para salvarnos, pero nuestra acción libre (independientemente de la naturaleza del acto concreto) consiste precisamente en rechazar la gracia o aceptarla, haciéndonos así merecedores de la condenación o de la salvación.
El hecho de que nuestras acciones sean meritorias por pura voluntad divina, no por mérito propio, no invalida el razonamiento.
Un saludo.
De que vacío hablan Hawking y Hartle? ¿Del Vacío cuántico? ya el conocido efecto Casimir desmanteló empíricamente el significado de "vacío" que se da en física cuántica (algunos postulan que la densidad de la energía de ese vacío es del orden de 10^70 Julios por metro cúbico, es decir, la energía contenida en trillones de supernovas en un solo metro cúbico).
______________________
Ha suscitado usted cuestiones importantes, que merecen mensajes propios (incluso libros enteros) . No obstante, esbozaré algunas reflexiones sencillas sin el aparato de la Teoría Cuántica de Campos (al menos en esta respuesta), en la que se define y dilucida la naturaleza del vacío cuántico. Luego le daré alguna bibliografía de ampliación y divulgación, si desea, pero rigurosa.
La Mecánica Cuántica procede cuantizando variables dinámicas (observables) de la Mecánica Clásica (momento lineal, posición, energía potencia, momento angular o cinético, etc.), asignándoles lo que se denominan operadores cuánticos, según unas reglas determinadas. Es lo que se denomina una primera cuantización. Por ejemplo, si consideramos el sistema mecanocuántico más sencillo, una partícula con un grado de libertad, sometida a un potencial V(x), con energía cinética p²/2m (p el momento lineal), su energía total (hamiltoniano clásico, cuando es expresada en función del momentum y las coordenadas del sistema) será
H = p²/2m + V(x)
Los operadores asociados serán:
p → -(ih/2π) (d/dx)
V(x) → V(x) (operador multiplicación)
El operador hamiltoniano cuántico(asociado a la energía total del sistema), quedará, entonces (los operadores cuánticos se distinguirán a veces de sus correlatos clásicos poniéndolos en negrita):
H = -(h/2π)²/2m (d²/dx²) + V(x)
Operando H sobre una funciónd e onda (que contiene toda la información cuántica de la partíocula), se tiene:
H ψ(x) = -(h/2π)²/2m (d²ψ/dx²) + V(x)ψ(x)
Si ψ es una función propia de H, tenemos Hψ = Eψ, con E el valor propio de H. Luego
-(h/2π)²/2m (d²ψ/dx²) + V(x)ψ = Eψ(x)
que es la conocida ecuación de Schrödinger (en una dimensión).
El hamiltoniano de un oscilador (unidimensional) clásico tiene la forma:
H = p²/2m + ½ mω²x²
donde, si hablamos, por ejemplo, de un resorte, m es la masa que oscila y ω = (k/m)^½, con k la constante del resorte. Este sencillo ejemplo clásico nos sirve para cuantificar el campo electromagnético en TCC, como vamos a ver brevemente.
En la teoría clásica del campo electromagnéico en el vacío se demuestra que a un campo electromagnético libre de cargas se le puede hacer corresponder un sistema mecánico con infinitos grados de libertad. El hamiltoniano de este sistema lo escribiremos así (*):
H = Σ ½ (p²_λ + ω²_λ q²_λ) = Σ H_λ
donde H_λ es el hamiltoniano del λ-ésimo oscilador, p_λ es la cantidad de movimiento generalizada correspondiente a la coordenada q_λ, y ω_λ es la pulsación asociada. La suma se extiende a todos los varores de las pulsaciones y polarizaciones. Al campo electromagnético se le hace corresponder un cierto sistema mecánico: el conjunto infinito de osciladores de campo.
Al cuantizar el campo electromagnético, el operador hamiltoniano se obtiene a partir del hamiltoniano clásico anterior, mediante la sustitución habitual de las magnitudes mecánicas, coordenadas y cantidades de movimiento generalizadas, por los correspondientes operadores cuánticos. Así, sustituiremos q_λ y p_λ por operadores que satisfagan las relaciones de conmutación (los operadores los pongo en negrita de la correspondiente letra, o con un acento circunflejo, en su caso, como es más habitual):
p_λ q_μ - q_μ p_λ = (h/2πi) δ_λμ
con δ_λμ la delta de Kronecker.
q_λ q_μ - q_μ q_λ = 0
y
p_λ p_μ - p_μ p_λ = 0
El correspondiente H será el operador de Hamilton de un sistema cuántico. Se suele efectuar una transformación canónica, pasando a nuevas variables:
â_λ = (1/2)^½ [(ω_λ/2πh)^½ q_λ + ip_λ /(ω_λ h/2π)^½ ]
â†_λ = (1/2)^½ [(ω_λ/2πh)^½ q_λ - ip_λ /(ω_λ h/2π)^½ ]
En la nueva representación (omito varios sencillos cálculos):
H = (1/2) Σ (h/2π) ω_λ (â_λ â†_λ + â†_λ â_λ)
Los operadores â†_λ â_λ(llamados, respectivamente, operador creación y operador aniquilación) verifican determinadas relaciones de conmutación, que no voy a describir para no extenderme. Mediante dichas relaciones, el hamiltoniano se puede transformar en:
H = Σ (h/2π) ω_λ (â†_λ â_λ + 1/2)
Desde la anterior expresión y las relaciones de conmutación (no expuestas) se observa que el campo electromagnético l(CEM) ibre es un sistema de un tipo de bosones llamados ordinariamente fotones o cuantos de luz.
A cada onda plana del CEM clásico le corresponde un fotón. La energía de cada fotón, de acuerdo con el último hamiltoniano, es igual a (h/2π) ω_λ . La energía total del campo electromagnético, según esto, tiene la forma:
E = Σ E_λ n_λ + Σ ½(h/2π) ω_λ = Σ E_λ n_λ + E_0
donde E_λ = (h/2π) ω_λ, y n_λ es el número de fotones con energía E_λ.
El segundo sumando de la fórmula anterior, E_0, se llama energía de las oscilaciones de cero del campo electromagnético. La ecuación anterior prueba que, si todos los n_λ = 0, es decir, cuando en el campo no hay fotones, la energía del CEM es igual a E_0. Además, esta E_0 es infinitamente grande, puesto que la serie de la que procede es divergente (en la suma intervienen un número infinito de sumandos positivos (h/2π) ω_λ. Con las oportunas correcciones (la Física, y la materia, aborrece los infinitos, y cuando en una teoría aparece uno es que algo se ha calculado mal o hay que variar alguna hipótesis o intruducir alguna nueva, etc.) dicho valor es muy grande, más incluso que el que Maelstrom da: quizá en un factor del orden de al menos 10^50. En esencia, la energía del punto cero, del vacío cuántico, procede del Principio de Indeterminación de Heisenberg, y las corresponndientes relaciones.
Dado que la energía de cero es un sumando constante, al tomar la diferencia de energías, dicha energía de cero podía tomarse como origen de energías y suprimirse formalmente en todas las expresiones; pero la moderna electrodinámica cuántica (TCC) ha demostrado que ello no es así, y que la aparición del término E_0 en la fórmula que da la energía del CEM tiene una profunda significación. Y es aquí donde se responde parcialmente la pregunta de Maelstrom.
Desde el punto de vista de la electrodinámica (TCC) contemporánea, la vaciedad o 'falta de contenido' -ausencia de partículas y de fotones- no es "la nada", sino un determinado estado del campo, que se llama el vacío. La existencia del vacío y de las vibraciones de cero con pulsaciones ω_λ se revela en algunas interacciones entre el CEM y los electrones, y conduce a una serie de fenómenos que se han observado: efecto Casimir, etc.
Luego por lo tanto el vacío cuántico en absoluto es la nada ontológica o de Hawking.
El vacío cuántico supone, entre otras cosas, un previo espacio-tiempo de Minkwoski (el de la RE), en el que inhiere. Sin embargo, la nada de Hawking es precisamente la negación del mismo, una 3-métrica idénticamente nula. Y la nada ontológica es, además, como en el siguiente mensaje argumento, la negación de todo ente, de todo ser, de toda forma de ser, hasta de un punto matemático (ejemplo de variedad diferenciable, trivial). Por ello el vacío cuántico no es la nada creacionista, pero ni siquiera la nada que Hawking considera. La nada 'desde' la cual Dios crea el Universo con su materia y las leyes del mismo (incluida la TCC) es la nada absoluta de ser no-Dios.
Lo de la predestinación se lo contesto en otro mensaje posterior.
_____________
(*) Cuando en una respuesta figure una expresión de la forma A_x, se entenderá que x es un suíndice de A, y se leerá 'A sub x'. Σ es el signo de sumatorio.
A partir de aquí cabe preguntarse una cosa: en las condiciones del Big Bang se supone que el Universo tiene una densidad infinita, lo cual implica una gravedad infinita, que a su vez implica una dilatación temporal infinita; es decir, el tiempo no transcurre. Ésto vale también si consideramos cualquier variable mundana como finita siempre, sin posibilidad de infinito. En este caso tendríamos que quizás (y sólo quizás, aunque es una hipótesis razonable) que el tiempo -y el espacio-, como lo es la energía, es cuántico y discreto. Es decir, podríamos decir que la unidad mínima de transcurso temporal es un intervalo de 10^-43 segundos. Por tanto, podríamos afirmar que la edad del Universo antes de tener una edad de 10^-43 segundos era de irremiseblemente 0 segundos: nos volvemos a encontrar en una situación de no transcurso de tiempo.
Pregunto ahora, ¿ésto no sería equivalente al eterno presente divino? ¿Y no sería por tanto el Universo explicable y causado por sí mismo? Es decir, podríamos decir que el Universo se comporta contingentemente siempre y cuando su tamaño no se reduzca al de la escala de Planck, en el cual quizás entremos realmente en un mundo de no contingencia y fenómenos autoexplicados: Dios, como postula el ateismo, sería una variable innecesaria.
Lo que quiero decir es que en las condiciones del Big Bang, sean que el tiempo discreto y la gravedad cuántica existan o no, entonces por dilatación temporal extrema debida a la también extrema gravedad, el intervalo temporal [0, ε] con ε>0 o ε=10^-43s, transcurriría en un tiempo infinito para nosotros en nuestra escala mundana actual: Una suerte de eviternidad o eterno presente en el que se dan todas las posibildades (así estipula la mecánica cuántica), que, por la inestabilidad del mismo, sin embargo "comenzaría" y no estaría "por siempre" en un instante 0.
Estimado Maelstron,
"¿ésto no sería equivalente al eterno presente divino?"
La respuesta no puede ser más que no.
A falta de una respuesta más técnica que sin duda nos ofrecerá Francisco.
----------------------------------
Hay que entender bien qué significa que "en las condiciones del Big Bang se supone que el Universo tiene una densidad infinita, lo cual implica una gravedad infinita, que a su vez implica una dilatación temporal infinita;..."
Lo que hay que interpretar es que el modelo utilizado no es válido en las condiciones cercanas al big Bang, ya que las soluciones alcanzadas son "singularidades" (infinitos) y que por lo tanto el modelo no nos permite saber qué y cómo sucedió, y que por lo tanto necesitamos modelos mejores (de hecho ya existen algunos de ellos).
No voy a entrar a fondo en la cuestión de los infinitos, ya que sobrepasa sobradamente mis escasos conocimientos de matemáticas.
Pero sí me voy a permitir ofrecer una explicación a los resultados de dicho modelo.
El infinito se interpreta como una tendencia. En este caso podemos decir que la densidad del universo tiende a infinito (es decir se va haciendo cada vez más grande) cuando nos acercamos al momento inicial. Pero en puntos diferentes al momento inicial (singularidad) tiene un valor determinado (muy alto y cada vez más alto según nos acercamos a él) pero determinado (o mejor dicho, determinable).
Por la misma razón el tiempo transcurre, es cierto que cada vez más lento, pero seguiría avanzando, lo cual es muy diferente a decir que "el tiempo no transcurre."
En cualquier caso me temo que todavía no disponemos de un modelo suficientemente completo como para conocer como evolucionó la matería-energía y el espacio-tiempo en los momentos posteriores al big-Bang.
Un saludo,
"Por la misma razón el tiempo transcurre, es cierto que cada vez más lento, pero seguiría avanzando, lo cual es muy diferente a decir que "el tiempo no transcurre.""
Si el tiempo físico es discreto y cuántico, no tiene por qué tender a 0 en el continuo, basta con que t<10^-43 segundos para que indefectiblemente pasemos (yendo atrás en el tiempo) a t=0. Lo del tiempo discreto viene a colación también porque, si suponemos que todo el Universo físico es finito, el tiempo no puede ser continuo (implicaría un infinito no numerable como el de la recta Real).
Gracias igualmente, Luis, por dedicar parte de tu tiempo en responder.
Efectivamente, por eso mismo lo primero que dije es que dicho modelo (si mal no recuerdo es en el relativista en el que aparecen dichas singularidades) no es válido.
A partir de aquí cabe preguntarse una cosa: en las condiciones del Big Bang se supone que el Universo tiene una densidad infinita, lo cual implica una gravedad infinita, que a su vez implica una dilatación temporal infinita; es decir, el tiempo no transcurre.
__________________________
En primer lugar hay que decir que la Naturaleza material (y la Física como estudio teórico de la misma) aborrece los infinitos. Cuando en una teoría física, o en un cálculo semejante, aparece un infinito, es que se ha cometido algún error, o que la teoría no tiene validez explicativa en el dominio de la realidad que pretende explicar, y hay que sustituirla por otra que constituya su ampliación. Es lo que ocurrió con la MC respecto de la MClas., al estudiar el espectro de la radiación de un cuerpo negro, lo que ocurrió con la TCC, y lo que presumiblemente sucede a escalas de longitud (tiempo) muy 'pequeñas' (y/o energías muy elevadas), respecto de la RG. Y es lo que ocurre, sobre todo, al estudiar el Universo en la Era de Planck. La RG predice un Universo puntual, de densidad tendente a infinito, hace un tiempo finito en el pasado: una singularidad del e-t, según los teoremas de singularidad de Hawking-Penrose. Sin embargo, ya el Principio de Indeterminación nos avisa de que pretender estudiar al Universo en esas condiciones no es lícito, según la teoría clásica (RG, en este caso) y debemos considerar los efectos cuánticos a esa escala espacio-temporal. De ahí que se precise una contrastada teoría de la gravedad cuántica para poder conjeturar con realismo qué ocurrió en esa época de la evolución cósmica.
Necesitamos una cosmología cuántica para analizar esa etapa.
¿Por qué, al margen de predecir una singularidad, hay un límite de aplicabilidad de la teoría clásica (RG) para esa época? Nos basta, para responder a esta pregunta, con analizar la acción gravitatoria para la RG (*):
A_g = (c³/16πG) ∫ R √(-g) d^4 x
donde R es el escalar curvatura (**),
g = det(g_μν)
el determinante del tensor métrico, y V (que no aparece por rezones tipográficas como dominio de integración) el dominio de integración que constituye el 4-volumen de la variedad e-t.
a) Para A_g >> h/2π podemos usar nuestra clásica descripción de la geometría del e-t.
b) Para A_g << h/2π necesitamos una descripción cuántica de la cosmología (esto es análogo a la discriminación, en estudio de un sistema físico, entre el uso de la Mclas. o la MC, según que una magnitud característica del sistema, con las dimensiones de una acción -erg.sg.- sea del orden de magnitud de la constante de Planck, o no).
Realizando algunos cálculos e hipótesis, para estimar el orden de magnitud de A_g, e igualando A_g con h/2π, se tiene:
t = 2t_p = 2 √(Gh/2πc^5) ~ 10^(-43) sg.
Ninguna discusión clásica de la cosmología estándar del Big Bang es válida para épocas t < t_p. Y como no tenemos todavía una teoría contrastada (al menos, indirectamente) de la gravedad cuántica (sólo teorías conjeturales, muy elegantes matemáticamente, eso sí, como las Teorías de Supercuerdas, la Teoría M, la Gravedad Cuántica de Lazos, etc.), debemos tomar las extrapolaciones explicativas (más abajo realizo algunas) con prudencia.
____________________
(*)Para no extenderme mucho, sólo diré que la acción gravitacional (de Enistein-Hilbert, como se llama) puede ser (mediante la aplicación de un principio variacional, de forma análoga a como se deducen las leyes de Newton del movimiento a partir de la acción clásica y las consiguientes ecuaciones de Lagrange) un método, elegante matemáticamente, de deducir las ecuaciones gravitacionales de la RG (de Einstein).
(**) Se obtiene a partir del tensor de Ricci R_ij, el cual se deduce a partir del tensor métrico contravariante, g ͥ ʲ, y del tensor de Riemann, R_ijkl, por contracción de índices, de la forma:
R_kl = g ͥͫ R_iklm = R ͫ_klm
Ahora, por contracción de índices en R_kl, se tiene:
R = g ͥʲ R_ij = R ʲ_j
que es el escalar curvatura.
El tensor de curvatura en la forma g_ij es un tensor covariante de orden 2 (o 2-covariante), y en la forma g ͥʲ (que matricialmente es la inversa de g_ij, que existe puesto que g = det(g_ij) < 0) es un tensor 2-contravariante.
Ésto vale también si consideramos cualquier variable mundana como finita siempre, sin posibilidad de infinito. En este caso tendríamos que quizás (y sólo quizás, aunque es una hipótesis razonable) que el tiempo -y el espacio-, como lo es la energía, es cuántico y discreto. Es decir, podríamos decir que la unidad mínima de transcurso temporal es un intervalo de 10^-43 segundos. Por tanto, podríamos afirmar que la edad del Universo antes de tener una edad de 10^-43 segundos era de irremiseblemente 0 segundos: nos volvemos a encontrar en una situación de no transcurso de tiempo.
Pregunto ahora, ¿ésto no sería equivalente al eterno presente divino? ¿Y no sería por tanto el Universo explicable y causado por sí mismo? Es decir, podríamos decir que el Universo se comporta contingentemente siempre y cuando su tamaño no se reduzca al de la escala de Planck, en el cual quizás entremos realmente en un mundo de no contingencia y fenómenos autoexplicados: Dios, como postula el ateismo, sería una variable innecesaria.
9:44 PM
Lo que quiero decir es que en las condiciones del Big Bang, sean que el tiempo discreto y la gravedad cuántica existan o no, entonces por dilatación temporal extrema debida a la también extrema gravedad, el intervalo temporal [0, ε] con ε>0 o ε=10^-43s, transcurriría en un tiempo infinito para nosotros en nuestra escala mundana actual: Una suerte de eviternidad o eterno presente en el que se dan todas las posibildades (así estipula la mecánica cuántica), que, por la inestabilidad del mismo, sin embargo "comenzaría" y no estaría "por siempre" en un instante 0.
________________________________
El tiempo y el espacio, tal y como lo concebimos ahora (desde las teorías clásicas existentes) no existían entonces. Tampoco cabe aplicar la RG a la Era de Planck, pues es el dominio de la gravedad cuántica. Además, la dilatación temporal es sólo significativa cuando dos observadores distintos observan el intervalo temporal entre dos eventos, y por definición no hay observadores fuera del Universo (fuera de la 'hipernuez de Planck' 10-dimensional en que, según las predicciones de las Teorías de Cuerdas, consistía el Universo en dicha época) que pueda inducir la dilatación temporal del intervalo expuesto. Todo el espacio-tiempo primigenio estaba contenido en ese objeto primordial, y nada material existía fuera de él. Hasta que no tengamos una teoría consistente y contrastada (al menos indirectamente) de la Gravedad Cuántica, todo eso, además, son puras especulaciones sobre la Era de Planck.
No obstante, extrapolando las actuales teorías de supercuerdas (no contrastadas) podemos especular lo siguiente.
La Era de Planck.
La llamada en Cosmología Era de Planck (o Era de la Superunificación) se extiende desde el 'instante 0' de existencia del actual Universo hasta los 3.8 x 10^(-44) sg. (las discrepancias en algunos valores son fruto de aproximaciones)
La composición del Universo entonces es lo que se denomina espuma cuántica (término acuñado por Wheeler) 10-dimensional, formada por microagujeros negros de masa del orden de la masa de Planck.
Esta época cósmica se caracteriza por ser el dominio de la superunificación, en el que las cuatro interacciones fundamentales de la Naturaleza (gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte, nuclear débil) se hallan unificadas en una sola. La época termina cuando la gravitación se 'separa' de las demás interacciones.
La física que permitiría el estudio de los primeros instantes del Universo , la súper-unificación, es compleja y no bien establecida en la actualidad, por lo que no es posible abordad de manera simple y rigurosa lo que sucedió entonces.
Debido a esta dificultad, muchos textos de cosmología prescinden de su análisis y pasan a etapas posteriores, de las que pueden hablar con más rigor.
La época de Planck, por lo tanto, se define como la que se desarrolla desde el origen de tiempos cosmológicos hasta el momento en que se separa la interacción gravitatoria y se pierde la súper-unificación.
Durante esta época nos encontramos en el reinado de las teorías de supercuerdas. Según éstas, a partir de la Gran Explosión, el Universo se expande desde el instante inicial hasta el tiempo de Planck, pero no se puede considerar que exista espacio ni tiempo, al menos tal y como ahora los conocemos. El tiempo, según algunos autores, no está definido y el espacio está compactificado. Las teorías de cuerdas postulan que el Universo tendría dimensión 10 durante la época de Planck, que se colapsan en 4 al terminar dicha época.
Cualitativamente, cuando termina la época de Planck en un instante de tiempo cosmológico t_p, podemos empezar a aplicar la RG. En ese momento, el Universo tiene un horizonte de partículas (*) que, en unidades físicas, puede escribirse:
H_p = 2ct_p ≡ 2l_p,
donde l_p designa la longitud de Planck.
El volumen V_p definido por dicho horizonte será:
V_p = (4/3) π H³_p = (32π/3) c³t³_p
La densidad de energía (en unidades físicas) dentro del horizonte será:
ρ_p = (3c²)/(32πGt²_p)
¿Cuándo los efectos cuánticos dejarán de ser significativos (fin de la época de Planck)? Por el Principio de Indeterminación, en el límite de la relación de indeterminación energía-tiempo. Para un sistema físico (el Universo) el producto de la indeterminación de la energía E_p, y el intervalo de tiempo característico de evolución del mismo, t_p, deben ser tales que se satisfaga la relación:
E_p t_p ≥ h/(2π)
Como E_p = ρ_p V_p, realizando sencillos cálculos, se concluye que:
t_p = (Gh/4πc^5)^½ = 3.8 x 10^(-44) sg.
y, por lo tanto, resulta:
E_p = (c^5/G) t_p = 8.6 x 10^18 GeV.
Puede demostrarse que el tamaño del horizonte, H_p, es precisamente el radio de Schwarzschild del Universo (**). En consecuencia, durante esta época el Universo contendría una espuma cuántica 10-dimensional de microagujeros negros, de, por lo menos, la masa de Planck, m_p, en continua creación y destrucción, de tal manera que no se viole el principio de indeterminación energía-tiempo.
Puede obtenerse, de las ecuaciones anteriores, que:
m_p = c³t_p/G = 1.5 x 10^(-8) Kg.
Igualmente, la longitud de Planck puede estimarse en:
l_p = ct_p = 1.1 x 10^(-35) m.
que es mucho menor que el tamaño de ¡un núcleo atómico! y representa, según las anteriores ecuaciones, la longitud de escala de las fluctuaciones cuánticas de la geometría espacio-tiempo del Universo. La longitud de Planck es la longitud de compactificación de las dimensiones adicionales: en la época de Planck el espacio está compactificado.
_________________________
(*)El horizonte de partículas representa el límite hasta el que se pueden observar objetos hacia el pasado, el universo observable pasado.
(**) El radio de Schwarzschild de un objeto físico de masa m puede definirse como el radio de un agujero negro de masa m (el radio que debería tener ese mismo objeto, comprimido de forma esférica, conservando toda su masa m, para convertirse en agujero negro). Por ejemplo, para que el Sol fuese un agujero negro, su radio (conservando la misma masa gravitatoria) debería ser de unos 3 x 10^5 cm.
El hecho es que si un objeto bólico de masa M_s y radio R_s verifica que:
(2GM_s)/(R_s c²) ≥ 1
ese objeto es un agujero negro.
Con los actuales conocimientos, lo más próximo a algo 'eterno' que materialmente podríamos tener es el sistema de referencia comóvil con un fotón (por ejemplo, un fotón del fondo de radiación cósmica de microondas). Según la RE, un sistema de referencia ligado a un fotón mediría el intervalo temporal entre dos eventos, Δt', respecto del intervalo temporal medido de esos mismos dos eventos por un observador exterior, Δt, de tal forma que ambos están relacionados por la transformación de Lorentz:
Δt' = γ Δt,
con γ = (1- v²/c²) ^½
Pero como, en este caso, v = c, se tiene que γ = 0, luego, cualquiera que sea el intervalo entre los eventos medido por un observador externo al fotón, Δt, el observador comóvil al fotón (en reposo respecto de él), medirá el mismo tiempo, 0, de ese intervalo entre eventos. Para un fotón, el tiempo se detiene y podemos decir que es 'eternamente joven'. El problema es que el fotón sufre fenómenos de dispersión, absorción, etc. Luego es mutable y, aunque su tiempo es un presente permanente (una de las características de la Eternidad), además de que es un objeto material, no es inmutable. Luego carece de la propiedad esencial a lo eterno.
El problema del modelo de la RG sobre la cosmología del protouniverso es sobre todo la existencia, probada en él, de una singularidad inicial.
¿Hay otros modelos matemáticos que traten (o eludan) esa singularidad de otra forma? Sí, los basados en las llamadas estructuras no conmutativas.
La Geometría no Conmutativa (GNC) es una generalización feliz de la Geometría Diferencial Clásica (GDC), debida al matemático francés Alain Connes.
Dicho de forma coloquial, esta geometría trata con objetos matemáticos que no verifican el axioma de conmutatividad en sus operaciones (*). Las funciones diferenciables de la GDC cumplen, en el producto de las mismas, la propiedad conmutativa. Los objetos fundamentales de la GNC, operadores sobre espacios infinitodimensionales, normalmente no lo hacen.
Una característica de esta GNC es que los espacios que define son a-puntuales, carentes de puntos (en el sentido topológico clásico). Es decir, espacios en los que el concepto de punto no tiene sentido. Los espacios no conmutativos son estructuras puramente globales en los que nociones locales topológicas como punto y entorno incluso no pueden ser definidas.
En este modelo, la hipótesis sobre la era de Planck es que dicha época de la gravedad cuántica puede ser modelada por una GNC que excluya la localidad. En esta era, por lo tanto, no existiría espacio ni tiempo en su significado usual. Solamente cuando el Universo sale de dicha era, se produce una especie de 'transición de fase' al modelo geométrico conmutativo (RG), y en dicha transición de fase el e-t estándar emerge junto con su frontera singular. En esta interpretación, el fin de la Era de Planck supondría el tránsito del régimen no conmutativo al conmutativo. Sólo el observador macroscópico, situado en el e-t (fuera del nivel fundamental, por debajo de la escala de Planck) puede decir que nuestro Universo comenzó, hace un tiempo pasado, en una singularidad inicial.
Varios autores han propuesto este modelo.
___________________________
(*) Si consideramos la recta real R, y el espacio de Banach de las funciones complejas de variable real, de cuadrado integrable-Lebesgue sobre R: L²(R), el producto de dos funciones de L²(R) es conmutativo:
f·g = g·f,
pues, obviamente,
f(x)g(x) = g(x)f(x),
para todo x de R.
Sin embargo, si definimos, en este mismo espacio, una determinada álgebra de operadores en L²(R), observamos que es no conmutativa. En efecto, sean los operadores
x y Dᵪ ≡ d/dx,
y f(x) una función de L²(R).
Entonces se verifica que:
xDᵪ ≠ Dᵪx,
donde
xf(x) = xf(x),
y Dᵪf(x) = df/dx,
para todo x de R.
Publicar un comentario