Aunque, por razones de conveniencia lógica, sería prudente, antes de exponer este contemporáneo argumento teísta (publicado póstumamente en los Collected Works. Vol III: Unpublished Essays and Lectures), desarrollado por el matemático y gran lógico-matemático Kurt Gödel, exhibir aquel del que deriva por extensión: el afamado históricamente, en círculos teológicos y filosóficos Argumento Ontológico (AO) de San Anselmo De Canterbury, procederemos en orden inverso, dejando la cuestión histórica de la génesis del AO gödeliano y la exposición del AO de San Anselmo, para después de la demostración (un poco larga, y que precisa de una notable cantidad de conceptos lógico-modales, que he de explicar previamente) del AO de Gödel, cuyo desarrollo será una variación del inicialmente demostrado, en 1941, por el eximio lógico-matemático austriaco.
El Argumento Ontológico de Gödel (en adelante, AOG) se desarrolla en una extensión de la Lógica de Predicados o Cálculo de Predicados: La Lógica Modal de Predicados de Segundo Orden, concretamente en el Sistema de Lógica Modal S5, ampliado con predicados de segundo orden, que posteriormente definiremos.
Expongamos, pues, las herramientas conceptuales que nos permitan la correcta intelección del AOG.
El Sistema de Lógica Modal S5
Las sentencias del lenguaje (fbfs) serán de las siguientes formas:
p1, p2, ....: fórmulas atómicas.
┬: constante que designa 'verdad'.
┴: constante que designa 'falsedad'.
Si φ, ψ designan fbfs cualesquiera, son también sentencias:
Según la semántica leibniziana, necesario es lo que es verdadero en cualquier mundo posible. Posible lo que es verdadero en al menos un mundo posible.
Para no alargar la exposición, considérese la noción de 'mundo posible' como primitiva, o bien admítase la siguiente definición formal, en cuyos conceptos no entraré, por brevedad, aunque admiten un desarrollo riguroso.
DEFINICIÓN 0.- Un mundo posible es un posible estado de cosas maximal o completo.
Y tomamos, entonces, el concepto de estado de cosas como primitivo e indefinible.
Consideremos una sucesión infinita de conjuntos de mundos posibles:
Intuitivamente, para cada n natural, Mn es el conjunto de los mundos posibles en los que la correspondiente proposición, pn es verdadera. Entonces pn es verdadera en un mundo posible μ si y solo si (abreviado syss) μ ϵ Mn.
DEFINICIÓN 1.- Un modelo (de la Lógica Modal) es un par ordenado:
M = (M,M)
en el que M es un conjunto de mundos posibles, y M = {M0, M1, M2,...} es una sucesión infinita numerable de subconjuntos de M.
Sea, ahora, φ una sentencia, μ un mundo posible (μ, μ', μ'', ..., μ0, μ1, ..., ν, ν', ... designan mundos posibles: μ0 siempre designará el mundo actual) en un modelo M = (M,M). Por el símbolo:
╞μM φ
significamos que 'φ es verdadera para μ en M '.
Definimos, entonces, las condiciones de verdad de sentencias, mediante:
(1) ╞μM pn syss μ ϵ Mn, ∀n ϵ {0, 1, 2, ...}
(2) ╞μM ┬
(3) No- ╞μM ┴
(4) ╞μM ¬φ syss no- ╞μM φ
(5) ╞μM (φ ˄ ψ) syss ╞μM φ y ╞μM φ
(6) ╞μM (φ ˅ ψ) syss ╞μM φ o ╞μM ψ
(7) ╞μM (φ → ψ) syss, si ╞μM φ entonces ╞μM ψ
(8) ╞μM (φ ↔ ψ) syss ╞μM φ syss ╞μM ψ
(9) ╞μM □φ syss ∀ν en M , ╞νM φ
(10) ╞μM ◊φ syss ∃ν en M , ╞νM φ
DEFINICIÓN 2.- Una sentencia φ es válida (y se representa por ╞ φ) si y solo si, para todo modelo M , y ∀μ en M , se verifica:
╞μM φ
Estableceremos, en el próximo mensaje, el Sistema Axiomático Modal S5, y probaremos la validez de sus axiomas, además de una breve introducción al Álgebra de Predicados, necesaria para comprender la demostración del teorema de Gödel.
11 comentarios:
Me resulta impactante ( y a la vez evidente) que se pueda demostrar la existencia de Dios desde las matemáticas. Yo no lo necesito porque yo ya he tenido mi propia vivencia de Dios y le conozco, pero estoy segura de que este argumento le puede hacer bien a muchas personas.
Qué trabajo más precioso haces Francisco, y con cuánta dedicación, no te imaginas cómo mi corazón arde en deseos de alabanza por lo que ha hecho el Señor contigo. Nunca había conocido a nadie como tú.
Un abrazo eterno.
Francisco: mis felicitaciones por tu blog. Es excelente. Sólo para los que tengan varios cursos universitarios de matemáticas, pero insisto, excelente.
A mí también me interesan estos temas. Me gustaría saber tu opinión sobre las paradojas de la mecánica cuántica.
Eres partidario de las teorías de las variables ocultas?, o del multiverso?. A mi ésto último me atrae aunque no veo cómo encajarlo con la Historia Sagrada. ¿En todos los universos posibles existió Cristo?
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Juanjo escribió:
Eres partidario de las teorías de las variables ocultas?, o del multiverso?. A mi ésto último me atrae aunque no veo cómo encajarlo con la Historia Sagrada. ¿En todos los universos posibles existió Cristo?
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1ª PARTE.
La llamada teoría del estado relativo ( o, como es conocida más vulgarmente, del pluriverso o multiverso) de Everett y otros, es insostenible, tanto física como metafísicamente. Pero primero veamos brevemente en qué consiste, sin demasiados tecnicismos.
La teoría del estado relativo surgió como un medio (entre otros muchos) de resolver (disolver o interpretar) la denominada paradoja de la medida de la Mecánica Cuántica (en adelante, MC), en la interpretación de Copenhague.
Suponiendo, para simplificar, un sistema cuántico, S, del que se pretende medir un observable¹ ξ (variable dinámica real susceptible de medida, con un conjunto completo de eigenvectores (autovectores o vectores propios) y sus correspondientes eigenvalores reales, no degenerados -eigenespacios o autoespacios correspondientes a cada eigenvalor, autovalor o valor propio, de dimensión 1- y distribuidos discretamente), cuyo operador lineal real autoadjunto se designa con la misma letra griega, ξ, de tal forma que los eigenvectores de ξ pertenecen al conjunto:
{|ξ'1 >, |ξ'2 >, ... },
y los correspondientes eigenvalores (reales) al conjunto
{ξ'1, ξ'2, ...} (obsérvese la notación),
entonces, por un postulado de la MC, la medida del observable ξ, con el sistema S, inmediatamente antes de la medida, en un estado cuántico (expresable como combinación lineal de los eigenvectores, sistema completo, anteriores):
|Ξ > = Σ cᵢ |ξ'ᵢ >
con Σ |cᵢ|² = 1;
nos dará ('colapso de la función de onda') un eigenvalor ξ'ᵣ, de tal forma que el estado cuántico inmediatamente después de la medida será el correspondiente eigenvector |ξ'ᵣ >.
2ª PARTE
Antes de la medida, sea, como en la exposición precedente,
|Ξ > = Σ cᵢ |ξ'ᵢ >
el estado cuántico del sistema físico, S, y sea:
|Ψ >
el estado cuántico del aparato de medida M inmediatamente antes de la medición. Si hacemos interaccionar ambos sistemas, obtendremos el sistema compuesto S-M, cuyo estado antes de la medida será el producto tensorial:
|Ξ > ● |Ψ >
Si Û es el operador de evolución temporal del sistema compuesto (correspondiente al operador Hamiltoniano del mismo sistema), la evolución temporal del sistema S+M (no perturbado por una medida) será de la forma:
Û(|Ξ > ● |Ψ >) = Û(Σ cᵢ |ξ'ᵢ > ● |Ψ >) =
= Σ cᵢ U(|ξ'ᵢ > ● |Ψ >) = Σ cᵢ |ξ'ᵢ > ● |ψ'ᵢ >
Es decir, se producirá la evolución:
|Ξ > ● |Ψ > → Σ cᵢ |ξ'ᵢ > ● |ψ'ᵢ >
Pero para que haya una medida, la evolución debe ser de la forma:
|Ξ > ● |Ψ > → |ξ'ᵣ > ● |ψ'ᵣ >
que posee una probabilidad
|cᵣ|²
de producirse (el observador observa el aparato de medida M, en el eigenestado
|ψ'ᵣ >,
correspondiente al eigenestado del sistema S:
|ξ'ᵣ > ).
Pero esta evolución contradice el carácter lineal del Hamiltoniano del sistema compuesto S+M. El algún momento se produce la transición (discontinua):
Σ cᵢ |ξ'ᵢ > ● |ψ'ᵢ > → |ξ'ᵣ > ● |ψ'ᵣ >
Von Neuman² postuló que esto sucedía cuando el observador 'hacía consciente' el resultado de la medida (Wigner y London & Bauer admiten explicaciones similares), leyendo la posición de la 'aguja indicadora' o el 'registro' del aparato.
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¹Si ξ es un observable y ξ el correspondiente operador lineal autoadjunto, siendo ξ' un eigenvalor de ξ cuyo eigenvector es |ξ' >, se verifica la subsiguiente ecuación de valores propios o eigenvalores:
ξ|ξ' > = ξ' |ξ' >
²Mathematical foundations of Quantum Mechanics.
3ª PARTE.
La reducción parece estar desencadenada por un proceso mental del observador, que obviamente no sigue las leyes de la Mecánica Cuántica (porque en este caso tendríamos un proceso ad infinitum a parte post de medidas del aparato de medida, que no tendría fin), y que ha sido fuente de algunas famosas paradojas (la paradoja del gato de Schrödinger, la paradoja del 'amigo' de Wigner, la paradoja de De Broglie, etc.). Sobre esto y su posible implicación para el acceso noético a Dios haré una entrada más adelante.
Ahora bien, para explicar cuándo se produce el colapso de la función de onda del sistema, que da como resultado la medida (y evitar las concomitantes paradojas suscitadas), ante la tesis (sostenida ya desde von Neuman, a raíz de su famoso teorema) de que sea un objeto extraño a la teoría física (la mente humana autoconsciente) que 'observa' en la medida la posición de un indicador -del dispositivo de medida- , por ejemplo, y 'decide', de entre la mixtura estadística que define la f. de o (aplicado el operador de evolución temporal), qué término resultará, Everett propuso que en realidad no había colapso de la función de onda, sino que cada término de la suma
Σ cᵢ |ξ'ᵢ > ● |ψ'ᵢ >
tenía realmente existencia, aunque en universos paralelos, ortogonales al nuestro, e inaccesibles (menos el de nuestra propia medida), de tal forma que, cuando el observador realizaba la medida, se generaba un haz de universos paralelos en cada uno de los cuales tenía lugar un término de la suma anterior, coexistiendo simultáneamente todos ellos con el nuestro, pero inaccesibles (ortogonalidad de los vectores kets de la base propia).
Las dificultades para la admisión de esta tesis son evidentes, a despecho de su consistencia matemática.
1ª.- No hay evidencia (ni puede haberla) experimental alguna de la existencia de un haz de universos, generados cada vez que una medida de observables se realiza por un observador humano, sobre un sistema físico.
2º.- Contradice el principio (navaja o cuchilla de Ockham): Entia non sunt multiplicanda præter necessitatem, No deben multiplicarse las entidades más de lo necesario, que es un principio de economía intelectual, razonable.
3º.- Es artificiosa y poco elegante matemáticamente.
4º.- Introduce más problemas de los que resuelve.
5ª.- Es ontológicamente inadmisible, puesto que un simple proceso de medida carece de capacidad, potencia activa o efectividad causal, per se, para generar universo alguno, inexistente hasta ese preciso momento.
En consecuencia, esta explicación genera más problemas de los que resuelve.
Francisco:
Te felicito por tu gran cantidad de conocimientos y la facilidad con que lo explicas.
Creo haber entendido el razonamiento aunque no estoy acostumbrado a la notación de Dirac.
Sin embargo la parte de las conclusiones es -desde mi punto de vista- la mas floja. A continuación intentaré exponer ordenadamente mis ideas.
SIGUE:
1)Quiero señalar en primer lugar que este problema se suscita para dar una explicación al problema de la medida en MC que tan brillantemente has expuesto.
2)Recordar que el postulado 3 de la MC dice: (resumidamente)
Sea A un observable representado por el operador autoadjunto  que actúa en el espacio de Hilbert de los estados.
a)Al efectuar una medida del observable A en el estado cuántico Ψ, los únicos resultados posibles son los autovalores del operador Â.
b)La probabilidad de obtener en dicha medida un autovalor discreto: a, está dado por:
PrΨ(a) = ║PaΨ║²
Donde Pa es el operador proyector ortogonal sobre el subespacio propio Ea de autovectores de  con autovalor a, esto es, la proyección ortogonal del vector de estado Ψ en Ea
Para los lectores que no tienen formación matemática, este postulado implica los siguientes puntos:
-el resultado de la medida es netamente probablístico
-el postulado solo hace referencia a medidas realizadas. No se puede afirmar que un observable tenga un valor definido antes de medirlo (notar las consecuencias metafísicas que implica esta frase, y recuerdo que es un postulado).
-En MC las magnitudes físicas no evolucionan con el tiempo sino que son operadores cuya forma matemática permanece inmutable. Lo que evoluciona con el tiempo es la probabilidad asociada a un posible resultado de la medida.
SIGUE:
3)Recordar brevemente que el postulado 4 de la MC viene a solventar el problema que plantea el postulado 3. Esto es, para conservar una mínima capacidad predictiva en Física se ha de cumplir que dos medidas consecutivas, separadas por un intervalo infinitesimal de tiempo, de una misma magnitud realizado en el mismo sistema ha de dar el mismo resultado.
Bien. Esto, ¿en que se traduce matemáticamente?. Dicho sin símbolos matemáticos: Antes de la medida de Â, Ψ es un desarrollo de Fourier de autoestados de Â. Después de la medida parte de la información contenida en la combinación lineal de Ψ “desaparece” o “colapsa”. El estado queda “reducido” a los componentes con autovalores compatibles con la medida.
Este último párrafo es un salto epistemológico sin precedentes que separa la MC de la Física clásica.
SIGUE Y ACABA:
4)Mi punto de vista personal es que para solucionar el problema de la medida en MC y el del colapso de la función de onda, es que hay que ser consecuente, y hasta que tengamos una teoría mejor (si la hubiere alguna vez) aceptar que:
El estado cuántico, que evoluciona unitariamente, describe por completo la realidad, por lo tanto todas las alternativas coexisten en superposición. Con lo cual el proceso determinista de la evolución del sistema existe (U) y se puede prescindir del artificio del colapso de la función de onda (prescindir del postulado 4 de la MC).
La idea es que existe efectivamente un mundo diferente para cada resultado diferente de la medida (postulado 3), y existe una copia independiente del experimentador en cada uno de estos mundos diferentes. Cada copia del experimentador experimenta un resultado diferente del experimento pero puesto que estas copias están en mundos diferentes , no hay comunicación entre ellos y cada uno piensa que solo se ha dado un resultado.
5)Finalmente argumentaré mi posición.
5.1) Argumento de autoridad: eminentes físicos como John Wheeler han apoyado esta teoría. También Roger Penrose en el pasado.
5.2) Esta teoría básicamente combate la idea de colapso de de función de onda. Dicha idea es absolutamente extraña y ad-hoc introducida como postulado en el formalismo d ela MC. Por tanto: combatir una idea extraña con otra igual de rara deja el tema al menos en tablas.
5.3) La teoría de los muchos universos es la única 100% compatible con la MC.
5.4) Tu argumento de la Navaja de Ockham es sólo un principio que no tiene por que cumplirse en todas las ocasiones.
5.5) La artificiosidad y poca elegancia es –permite que te lo diga- una cuestión casi casi de pareceres personales. Personalmente me parece una teoría absolutamente elegante, pero es una opinión personal, insisto.
5.6) El tema del multiverso enlaza con la computación cuántica, que como sabes está en fase de desarrollo. Pero el principio básico de la computación cuántica sólo se entiende en el contexto del multiverso. ¿Por qué los ordenadores cuánticos pueden ser tan potentes?. Porque están realizando los cálculos en otros universos.
Enhorabuena una vez mas por tu blog.
Las interpretaciones del multiverso, pluriverso u omnium (como las denomina Penrose), admiten dos características esenciales, comunes a todas ellas:
a) Suponen la existencia de una realidad física definida, que puede ser puesta en correspondencia con parte del formalismo matemático.
b) Fundamentan el formalismo matemático en el vector de estado (o ket de estado) |ψ〉, perteneciente a un espacio de Hilbert, V, y que sigue una evolución puramente hamiltoniana.
Esto puede ser esquematizado mediante el siguiente axioma:
AXIOMA 0.- Existe un espacio de Hilbert V, un operador hermítico o autoadjunto, H, y un continuum de estados |ψ(t)〉 ϵ V, para -∞ < t < ∞, tal que:
H |ψ(t)〉 = (ih/2π) ∂|ψ(t)〉/∂t
se verifica para todo t.
Diferentes interpretaciones de Multiverso incorporan conceptos y formalismo adicionales, además de establecer la correspondencia que existe entre dicho formalismo y la realidad física que pretende describir.
Por brevedad, analizaremos brevemente solo la versión (original) de Everett, del Pluriverso, dejando las versiones de Graham, DeWitt y otros, así como las implicaciones filosóficas e incluso teológicas de la admisión de estas interpretaciones, para más adelante.
En su histórico documento, Everett indica que el formalismo matemático de su interpretación está plenamente descrito por el Axioma 0. La realidad física queda encapsulada en la evolución (determinista) de la función de onda, sin necesidad de posteriores axiomas interpretativos. Toma la función de onda mecano-cuántica como la entidad física básica, sin una interpretación apriorística de la misma. Esto puede ser formalizado, además de por el Axioma 0, por el siguiente:
AXIOMA 1.- El grafo de la evolución del vector de estado, es decir:
(|ψ(t)〉,t) ϵ V × (-∞,∞)
es una magnitud física.
Everett ahora señala que el producto interno del espacio de Hilbert define una medida sobre estados, μ, de tal forma que si {|ψ_i〉: i 0 1,2,...} es una base ortonormal de V, y
|ψ〉 = ∑ a_i |ψ_i〉
es la expansión de un vector de estado en función de dicha baase, entonces:
μ(|ψ〉) = √(∑ |a_i|²)
que por el Axioma 0 es parte del formalismo matemático.
Pero no se ve cómo dicha medida se conecta con la realidad física del Pluriverso. En efecto. Consideremos como ejemplo (experimento mental), a una partícula con espín ±1/2, cuyo estado de espín vamos a medir mediante un dispositivo de Stern-Gerlach, respecto de un eje tal que la probabilidad de medida de espín +1/2 es de 2/3.
Dado que solo estamos interesados en el espín, el estado cuántico de dicha partícula puede ser idealizado mediante el siguiente vector de estado:
|ξ〉 = a |ξ0〉⊗|Ξ0〉 + b |ξ1〉⊗|Ξ1〉
donde |ξ1〉 es el estado de espín +1/2 de la partícula, |Ξ1〉 el estado del dispositivo de medida cuando ha medido un espín de +1/2; |ξ0〉 y |Ξ0〉 son, respectivamente, el estado de espín -1/2 de la partícula y el estado del dispositivo de medida que ha medido un espín -1/2 de la partícula. |a|² + |b|² = 1.
Al interpretar este resultado en el formalismo del Omnium (versión de Everett, desde sus axiomas), existen estos problemas:
1º.- Dado que la información contenida en el vector de estado (después de la medida) es base-dependiente, y que no se ha especificado (en el formalismo matemático previo) qué base se utiliza podríamos expandir el vector de estado |ξ〉 en función de la base anterior o de, por ejemplo, cualquiera de la infinidad no numerable de bases ortonormales siguientes:
{ (cosθ |ξ0〉⊗|Ξ0〉 + sinθ |ξ1〉⊗|Ξ1〉, sinθ |ξ0〉⊗|Ξ0〉 - cosθ |ξ1〉⊗|Ξ1〉): θ ϵ R }
Pero cuando se trata de dar una interpretación física desde una particular base (por ejemplo, mediante las funciones de los coeficientes del representativo (Dirac) del vector de estado (|a|² y |b|²), ha de ser declarado axiomáticamente en la correspondiente interpretación del Omnium, cosa que no se ha hecho en los axiomas que Everett declara explícitamente para su particular versión del Pluriverso.
2º.- Supóngase que es seleccionada la base 'canónica':
{ |ξ0〉⊗|Ξ0〉, |ξ1〉⊗|Ξ1〉 }
Intuitivamente, se podrían ver las componentes del vector de estado |ξ〉 como dcescriptores de un par de universos paralelos e independientes (cada uno de ellos inaccesible desde el otro). Pero esta interpretación intuitiva (y popular en la literatura no técnica), trasciende a los propios axiomas postulados por Everett, y no es admisible. Como se puede observar, los axiomas nada dicen sobre la existencia de múltiples mundos físicos, correspondientes a las componentes de la función de onda (respecto de una determinada base, la 'canónica', en este caso).
3º.- No se ha dado significado físico a las constantes |a|² y |b|².
a) No pueden ser interpretadas como las respectivas probabilidades de que las correspondientes ramas de universo sean realizadas. No se puede decir que una proporción (recordemos que hablamos de conjuntos estadísticos de sistemas, en definitiva) |a|² del número total de mundos, está en el estado |ξ0〉⊗|Ξ0〉, pues nada hay en los axiomas que lo justifique. Si la interpretación de 'dos mundos' (en este sistema sencillo) fuera real, entonces cada estado correspondería a un mundo, y debería justificarse por qué cada medida no tiene probabilidad 1/2).
b) Tampoco puede arguirse que la probabilidad de que un observador particular se encuentre en el mundo con estado |ξ0〉⊗|Ξ0〉, sea |a|², pues esta conclusión no estrá justificada por los axiomas.
En resumen, una cosa es la exposición axiomática del trabajo original de Everett y otra muy distinta su exposición popular, introductora de hipótesis adicionales no deducidas de los mismos axiomas.
Continuará...
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