El Argumento Ontológico de Kurt Gödel (II)

El Sistema Axiomático Modal S₅.


AXIOMA 1.- Para toda fbf φ, se verifica

◊φ ↔ ¬□¬φ

AXIOMA 2.- ∀ φ

□φ → φ

AXIOMA 3 (Modus Ponens Modal).- ∀φ ∀ψ

□(φ → ψ) → (□φ → □ψ)

AXIOMA 4 (Postulado de Necesitación).- ∀φ

├φ → □φ

Este axioma significa que si φ es un axioma o un teorema, entonces es necesariamente verdadero.

AXIOMA 5.-∀φ

□φ → □□φ

AXIOMA 6.-  ∀φ

◊φ → □◊φ

Los dos últimos axiomas establecen que el status modal de una proposición es una verdad necesaria. Este postulado se denomina Postulado de Becker.

Probaremos solamente la validez del axioma 3, por brevedad. Este axioma indica que, si un condicional y su antecedente son ambos necesariamente verdaderos, también lo es su consecuente.

Sea μ en M, tal que

╞_μ^M □(φ → ψ), ╞_μ^M □φ

Entonces, ∀ν en M, se verifica que

╞_ν^M (φ → ψ), ╞_ν^M φ


Luego, ∀ν en M, ╞_ν^M ψ. Por lo tanto:

╞_μ^M □ψ


Álgebra de Predicados.

Consideraremos la noción de predicado, atributo o propiedad, como primitiva.

Sean F y H dos predicados. Denotamos mediante F ⇒  H (y decimos que F implica H), si se verifica:

□∀x (Fx → Hx)

Sea F una colección de predicados. Definimos sobre ella una relación de equivalencia de predicados, mediante:

F ⇔ H syss (F ⇒ H y H ⇒ F)

Es fácil probar que se verifica:

• (RP) F ⇔  F (Reflexividad)
• (ASP) Si F ⇒  H y H ⇒ F, entonces F ⇔   H (Antisimetría)
• (TP) Si F ⇒  H y H ⇒ K, entonces F ⇒  K (Transitividad)

La relación de implicación de predicados es un orden parcial sobre el conjunto cociente F/⇔ . Es, además, un retículo, si suponemos a F cerrada bajo las operaciones '˄' y '˅', de tal forma que:

□∀x (F ˄ H)x ↔ □∀x(Fx ˄ Hx)
□∀x (F ˅ H)x ↔ □∀x (Fx ˅ Hx).

A F ˄ H le denominamos el predicado conjunción de F y H, y a F ˅ H, el predicado disyunción de F y H.

Sea, nuevamente, F una colección arbitraria de predicados. Que el predicado H implica cualquier predicado de F, lo denotamos mediante H ⇒  F. Análogamente, mediante

F ⇒  H

denotamos que H es implicado por cualquier predicado de la familia F. Entonces, definimos la conjunción de F, como el predicado:

˄F

con la propiedad:

˄F ⇒ F

el cual es minimal, en el sentido que:

∀H [(H ⇒  F) → (H ⇒  ˄F)].


Similarmente, la disyunción de F, es el predicado ˅F, con la propiedad:

F ⇒  ˅F

el cual es maximal, en el sentido que:

 ∀H [(F⇒ H) → ( ˅F ⇒  H)

Postulamos la existencia de dos predicados singulares, Φ y Ω, maximal y minimal, respectivamente, entre todos los predicados.
Denotamos mediante Φ, al predicado contradicción, la clase de equivalencia de los predicados de la forma F ˄ ¬F, con F cualquier predicado ( ∀F, H ϵ F:  F ˄ ¬F ⇒  H).

Denotamos mediante Ω al predicado tautología: la clase de equivalencia de los predicados de la forma: F ˅ ¬F, siendo F cualquier predicado. Se verifica que, ∀H ϵ F: H ⇒  F ˅ ¬F.

DEFINICIÓN 3.- Un predicado F se dice consistente si ¬(F ⇒  Φ) es un teorema.

DEFINICIÓN 4.- Un predicado F se dice ejemplificado si (∃ x) Fx es un teorema.

DEFINICIÓN 5.- Un predicado F se dice posiblemente ejemplificado si ◊(∃x) Fx es un teorema.

TEOREMA 1.- ◊(∃x) Fx ↔ ¬(F ⇒  Φ).

Demostración.- Como ∀x [(¬Fx) ↔ (Fx → Φx)] es un teorema, por el Axioma 4, se verifica que:

□∀x [(Fx → Φx) ↔ ¬Fx]

Distribuyendo el operador necesitación y el cuantificador universal sobre la equivalencia, se tiene:

□∀x (Fx → Φx) ↔ □∀x (¬Fx)

que es equivalente al enunciado del teorema. Q.E.D.