El Argumento Ontológico de Kurt Gödel (III)

A. Positividad

Gödel introduce un predicado de segundo orden, denominado predicado positividad, Pos, que declara, de un predicado cualquiera (de primer orden), F, si este es positivo (en un sentido estético-moral o de atribución pura sin elemento de negatividad, análogamente al leibniziano cuando define un atributo de perfección pura). Lo consideramos concepto primitivo, sujeto a determinados axiomas, que procedemos a exponer (esta exposición difiere de la de Gödel).

AXIOMA P1.- Pos(F) → □Pos(F)

Lo que este axioma nos indica es que la positividad de un predicado es independiente de la estructura accidental del mundo.

AXIOMA P2.- Pos(F) ↔ ¬Pos(¬F)

Es decir, un atributo es positivo, si y solo si, la negación de este atributo no lo es.

AXIOMA P3.- [Pos(F) ˄ (F ⇒ H)] → Pos(H)

Este axioma expresa la idea de que el concepto de positividad es puro, esto es, que no contiene elemento de privación.

El último axioma captura la idea de que la positividad es preservada bajo conjunción de predicados.

AXIOMA P4.- Si F es una colección de predicados, y

 ∀F ϵ F, Pos(F)

entonces: Pos(˄F)

TEOREMA 2.- Pos(F) → ◊Ǝx Fx

Demostración.- Sea F tal que

Pos(F) ˄ ¬◊Ǝx Fx

Entonces, por el Teorema¹ 1, F ==> Φ. Ahora, por el Axioma P3, esto implica Pos(Φ). Pero, para cualquier predicado H, se verifica:

(Φ ⇒ H) ˄ (Φ ⇒ ¬H)

Luego, por el Axioma P3, se deduce que

Pos(H) ˄ Pos(¬H)

lo que contradice el Axioma P2. Q.E.D.

B. Esencias

Mediante X, Y, Z, ... denotamos la colección de todos los atributos pertenecientes, respectivamente, a los individuos x, y, z, ... Suponemos que cada una de esas colecciones es cerrada bajo las operaciones de implicación (de predicados), conjunción y disyunción.

DEFINICIÓN 6.- Sea x un individuo y X la colección de todos sus atributos. Defínese la esencia de x, Ess(x) mediante la conjunción: ˄X, y la denotamos por el predicado:

X = ˄X

De manera similar: Y = ˄Y, Z = ˄Z,...

Asumimos ahora el Principio de Identidad de los Indiscernibles, de Leibniz, bajo la forma esquemática:

PII.- ∀x ∀y (X ⇔ Y) → (x = y)

TEOREMA 3.- La esencia de un individuo es única (módulo equivalencia de predicados).

Demostración.- Inmediata, considerando PII. Q.E.D.

TEOREMA 4.- Sólo puede existir un individuo con todos sus atributos positivos.

Demostración..- Supongamos que hubiera dos: x, y, tal que X e Y contienen cualquier atributo positivo. Entonces, por el Axioma P2, para cualquier atributo F, tal que ¬Pos(F), se verifica que ¬F ϵ X. Pero F y ¬F no pueden ser a la vez atributos de ; luego los atributos de x son precisamente los positivos y solo estos. Mediante igual razonamiento, se obtiene lo mismo de y. Entonces, por PII, se concluye que x = y. Q.E.D.