El Argumento Ontológico de Kurt Gödel (IV) [El Teorema Ontológico de Gödel]

Finalmente se demuestra, en el sistema axiomático de Gödel, la existencia y unicidad de Dios.

De un ente x dícese tener la propiedad de la existencia necesaria (NE(x)), si es necesariamente verdadero que la esencia de x está ejemplificada.

EN1. NE(x) ↔ □Ǝy (Xy)

Gödel añade un axioma más.

EN2. Pos(NE)

El axioma EN2 participa de la esencia argumental del Argumento Ontológico de San Anselmo.


DEFINICIÓN 7.- Defínese a un ente como Dios-semejante o Teomorfo si posee la conjunción de todas las propiedades positivas.

Sea ahora G la colección de todas las propiedades positivas.

DEFINICIÓN 8.- Definimos el predicado G (Dios-semejanza o Teomorfidad), mediante:

G = ˄ G

TEOREMA 5.- Pos(G).

Demostración.- Inmediata, por el Axioma P4.Q.E.D.

COROLARIO 1.- G ϵ G.

Demostración.- Es inmediata. Q.E.D.

TEOREMA 6.-  ∀x [Gx → NE(x)].

Demostración.- Por el axioma P3 y por el Teorema 5, se sigue que cualquier propiedad implicada por G es positiva. Pero, por EN2, NE es una propiedad positiva. Luego NE ϵ G, de donde se concluye el enunciado del teorema. Q.E.D.

TEOREMA (Ontológico de Gödel).- □[∃₁y Gy]

Demostración.-

Como G ϵ G, por el Teorema 2, tenemos que
◊∃x Gx


De esto y del Teorema 6, se deduce que

◊∃x [Gx ˄ NE(x)]

Pero un individuo que posee todos los atributos positivos, no puede poseer ninguno no positivo, porque, si no fuera así, entonces poseería algún atributo F y su negación, ¬F, lo que constituye una contradicción. Por lo tanto si Gx es verdadera, entonces G = X. Esto es, un invididuo Dios-semejante, debe tener la Dios-semejanza como su esencia:

Gx ↔ (G = X)


Sustituyendo, ahora, EN1 en ◊∃x [Gx ˄ NE(x)], y usando la anterior equivalencia, se tiene:

◊∃x [Gx ˄ □∃y Gy]

De la sentencia anterior se deduce:

◊□ [∃y Gy]

Ahora, el contrapositivo del Postulado de Becker, Axioma 6, nos dice que:

◊□ [∃y Gy] → □ [∃y Gy]

Y ahora, aplicando Modus Ponens a las dos últimas sentencias, se concluye:

□ [∃y Gy]

Finalmente, para demostrar la unicidad, basta aplicar el PII (Principio de Identidad de los Indiscernibles, de Leibniz). En conclusión:

□ [∃₁y Gy]
Q.E.D.