La curva triádica de Koch y Dios (II)

B. Algunas propiedades matemáticas de K_∞.


La curva de Koch es un conjunto fractal. En efecto, así es, si nos atenemos a la primitiva definición de conjunto fractal dada por su descubridor, el matemático Benoît Mandelbrot: Un conjunto fractal (en el espacio euclídeo E-dimensional, R^E), es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch, D, es estrictamente mayor que su dimensión topológica, D_T:



Mientras D_T es siempre un entero, D no tiene por qué serlo. Ambas dimensiones están sujetas a la desigualdad de Szpilrajn: D ≥ D_T. Para todas las figuras euclídeas D = D_T. Los conjuntos con D no entera son fractales. Pues bien, se demuestra fácilmente (hay varios procedimientos) que la dimensión de Hausdorff-Besicovitch de la curva de Koch es:

D = log4/log3 ~ 1. 261859507 142914874 199054228 685521708 599171280 263760855 741309887 677370402 761829610 122345377 098903491 122708031 876627430 389846898 293872950 827372392 786699900 071933281 169486623 354904431 225192399 703737345 585708681 699062162 417683875 218580368 371918764 437406164 057971585 137581802 626265515 437564979 509795228 760093987 247323071 540303159 165164406 238432170 538497215 697711884 401908327 288487894 188184430 791934599 025894063 232803598 326330111 321565389 398215678 672433940 966485603 393868166 178724258 198993744 864137621 117066529 036447939 350243402 291602738 272047275 237480896 568489361 869436181 434646568 385408203 359699524 040120901 630615882 784740549 926108297 267510926 117500502 065098304 915529944 288637865 147061767 177150990 357399220 927768017 319179104 341379523 743492273 145739313 055259583 614450823 678059350 477240545 136142088 987088352 071464883 689157702 031008619 538859879 555597996 037489946 515915911 871237116 710850370 869974397 643175368 555451267 849081682 628085057 057009029 463420769 592660850 062358146 517634491 364184406 318527205 090934888...

Con las mil primeras cifras decimales.

La dimensión topológica de K_∞ es 1 (es un objeto topológicamente unidimensional).

Sin pretensiones de completud, vamos a demostrar, de varias formas, que la dimensión de Hausdorff de la curva de Koch es log4/log3.

• Prueba semiheurística (Mandelbrot). La longitud de terágono triádico de Koch, de lado ε, L(ε), es ε^1-D. Es obvio que:
  
  L(1) = 1,
  L(ε/3) = (4/3) L(ε)
  
  Esta ecuación (de recurrencia) tiene una solución de la forma: L(ε) = ε^1-D, si D satisface:
  
  3^D-1 = 4/3
  
  Es decir: D = log4/log3.
  
• La dimensión de semejanza. En el espacio euclídeo E-dimensional, todos los parelepípedos D-dimensionales (D ≤ E) tienen una relación de semejanza de razón r(N) = 1/N^1/D, por lo tanto:
  
  Nr^D = 1
  
  o, equivalentemente:
  
  D = log N/ log (1/r)
  
  Si, como ocurre con las K_n, las figuras son autosemejantes, se pueden descomponer en N partes, relacionadas con el todo por una transformación de semejanza de razón r, seguida quizá de un desplazamiento y de una simetría (la curva de Koch contempla cuatro de dichas transformaciones, que por brevedad no expondré aquí). La D así obtenida cumple: 0 ≤ D ≤ E.
  
  En el ejemplo de la curva triádica de Koch, N = 4, r = 1/3, con lo que D =log 4/log 3, que coincide con la dimensión de Hausdorff.
  

Antes de proseguir con la demostración (parcial) de la dimensión de Hausdorff de K_∞, preguntémonos: ¿qué naturaleza algebraica tiene el número real log 4/log 3 ? Vamos a probar que es un número trascendente; pero antes unos conceptos previos.

DEFINICIÓN 1.- Un número algebraico es un número x que satisface una ecuación algebraica, es decir, una ecuación:

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n = 0

donde a₀, a₁, ..., a_n, son enteros no todos nulos.

Un número que no es algebraico se llama trascendente.

Si un número x satisface una ecuación algebraica de grado n, pero ninguna de grado menor, entonces se dice que x es de grado n. Un racional es un algebraico de grado 1, y un irracional un algebraico de grado > 1. Casi todos los números reales con trascendentes. Es decir, que si escogiéramos al azar un número real, con probabilidad 1 sería trascendente. Aunque casi todos los números reales son trascendentes, la demostración de la trascendencia de uno determinado es, en general, tarea difícil (es opinión común que la rama de la Matemática Pura, más difícil, es la Teoría de Números). Es lo que aconteció con la demostración, por Lindemann, de la trascendencia de π. Se conocen explícitamente pocos números trascendentes. Algunos ejemplos son:




e, π, sen 1, log 2, log 3/ log 2, e^π, 2^√2,...

TEOREMA 1.- Si α y β son algebraicos, α ≠ 0,1, y β irracional, entonces α^β es trascendente.



TEOREMA 2.- Si m, n son enteros positivos, y uno de ellos tiene un factor primo que el otro no tiene, entonces log_n m es irracional.

Finalmente, tenemos:

TEOREMA 3.- θ = log 4/log 3 es trascendente.

Demostración.- Por el Teorema 2, θ = log 4/log 3 es irracional; 4 = 3^θ. Aplicando el Teorema 1, si θ fuera algebraico, 4 = 3^θ sería trascendente, lo que es falso, porque 4 es entero. Por lo tanto, θ no es algebraico, luego es trascendente. Q.E.D.