La curva triádica de Koch y Dios (III)

Prueba de que la dimensión fractal (de Hausdorff-Besicovitch) de K_∞ es log 4/log 3.

Para demostrar que la dimensión fractal, D = D_H de K_∞ es log 4/log 3, necesitamos antes exponer algunos conceptos y teoremas.

DEFINICIÓN 2.- Una transformación Ψ : Rⁿ → Rⁿ es una semejanza, si y solo si, para cierto r ϵ R, y "x,y ϵ Rⁿ, se verifica:

d(Ψ(x),Ψ(y)) = r d(x,y)

donde d es la distancia euclídea en Rⁿ.

Al factor r se le denomina razón de la semejanza, y expresa la reducción o dilatación operada sobre el tamaño de las figuras en las que actúa.

DEFINICIÓN 3.- Un subconjunto E de Rⁿ es autosemejante si existe una colección {Ψ₁,Ψ₂,...,Ψ_m} de semejanzas de Rⁿ, con razones todas menores que la unidad (contractivas), tales que:

1. E = U_i=1^m Ψ_i(E).
   
2. Para cierto s, es H^s(E) > 0, y
   
   H^s(Ψ_i(E) ∩ Ψ_j(E)) = 0, si i ≠ j.
   
   donde H^s designa la medida s-dimensional de Hausdorff, relacionada con la dimensión de Hausdorff.
   
   La curva de Koch se puede construir mediante cuatro semejanzas del plano, que transforman el segmento unitario I en los cuatro segmentos de la primera iteración. Cada una de estas semejanzas tiene razón igual a 1/3. Luego m = 4 y r = 1/3.
   

Doy ahora este teorema, sin demostración.

TEOREMA 4.- Sea S = {Ψ₁,Ψ₂,...,Ψ_m} un sistema de semejanzas contractivas, con razones, respectivamente, r_i, 1 ≤ i ≤ m, que verifican la condición de abierto (esto es, existe un conjunto abierto y acotado V contenido en Rⁿ, tal que: U_i=1^m Ψ_i(V) está contenido en V, y Ψ_i(V) ∩ Ψ_j(V) = 0, para i ≠ j). Entonces el compacto E, invariante para S, es autosemejante. La dimensión de Hausdorff de E viene dada por el único número real no negativo, s, que verifica:



cumpliéndose, además, que 0 < H^s(E) < ∞.

Ahora, el siguiente resultado final es casi inmediato.

COROLARIO.- D_H = dim_H K_∞ = log 4/log 3.

Demostración.- En K_∞ el sistema de semejanzas se compone de 4 semejanzas de razón 1/3, luego según el teorema anterior:



Es decir, 4 = 3^s, luego

s = log 4/log 3.
Q.E.D.