La curva triádica de Koch y Dios (IV)

La longitud de la curva de Koch es infinita. En efecto, dicha longitud es:

long(K_∞) = long (lím geom_{n → ∞} K_n)

= lím_{n → ∞} long(K_n) = lím_{n → ∞} (4/3)ⁿ = ∞.

Más aún: la longitud de arco de la curva de Koch, entre dos puntos distintos cualesquiera, es también infinita. Estas dos propiedades son notables, habida cuenta de que el área subtendida por la curva de Koch con el eje de abcisas es finita y que dicha curva hállase contenida en el cuadrado unidad, es decir, está en el interior de una región acotada del plano euclídeo.

Veamos una consecuencia de esta propiedad.

El movimiento, a velocidad finita, de un punto sobre la curva de Koch es imposible.

En efecto, dado que ∀p,q ϵ K_∞, p ≠ q:

d_K∞(p,q) = ∞

donde d_K∞(p,q) es la distancia entre dos puntos sobre la curva de Koch, si suponemos que un punto A en p pretendiera moverse para llegar a q, a velocidad finita, resultaría que tardaría un tiempo infinito en llegar a q; pero entonces, como esto es cierto para todo q, todo lo 'próximo' (si definimos un sentido de recorrido de la curva u orientación, basta definir un q' 'más próximo a' p si está 'antes' de q, es decir, si está entre p y q) a p que queramos, es imposible que A pueda moverse, pues tarda un tiempo infinito para llegar a cualquier punto q desde p (posterior a p). Veremos una cierta analogía entre esto y la Eviternidad, cuando analicemos las consecuencias teológicas de K_∞.

Para hacernos una idea de qué pueda ser la distancia de Koch (distancia de arco) entre dos puntos de K_∞, consideremos una bola (en la topología euclídea. Aquí |A| designa del diámetro del conjunto A, en el espacio métrico correspondiente, es decir:

|A| = sup{d(p,q): p,q ϵ A}

con la distancia, ahora, en el plano euclídeo), de centro en p ϵ K_∞ y radio ε > 0, B_E(p,ε), con ε << 1. Consideremos ahora

B_E(p,ε) ∩ K_∞

Para todo q ϵ B_E(p,ε) ∩ K_∞, d_E(p,q) < ε, y tiende a 0 cuando ε → 0. También |B_E(p,ε)| = 2ε → 0, cuando ε → 0. Pero, sobre K_∞,

|B_E(p,ε) ∩ K_∞| = ∞,

y tiende a ∞ cuando ε → 0, pues, manteniendo p ϵ K_∞ fijo, ∀ ε > 0,

|B_E(p,ε) ∩ K_∞| = ∞.

La curva K_∞ es continua en todos sus puntos y diferenciable en ninguno. Así como cada curva poligonal aproximación es diferenciable en todos salvo un número finito de puntos de la misma, la curva límite, K_∞, no es diferenciable en ningún punto de la misma. Esta extraña a la intuición propiedad (la carencia de recta tangente en todo punto, su infinita 'rugosidad') fue la que llevó a algunos matemáticos del siglo XIX y principios del XX a rechazar, por patológicos, estos ajenos a la intuición objetos matemáticos.

El área comprendida entre la curva de Koch y el eje de abcisas, entre 0 y 1, es finita. En efecto, como el área de un triángulo equilátero de lado l es

Entonces, si S_k es el área comprendida entre la k-esima poligonal y el eje de abcisas, entre 0 y 1:

S₀ = 0;
S₁ = área de 4⁰ triángulos equiláteros de lado l₁ = 1/3.
S₂ = S₁ + área de 4¹ triángulos equiláteros de lado l₂ = 1/3²;
S₃ = S₂ + área de 4² triángulos equiláteros de lado l₃ = 1/3³;

...

S_n = S_n-1 + área de 4^n-1 triángulos equiláteros de lado l_n = 1/3ⁿ.

Y así sucesivamente. Luego



S_n es el área comprendida entre la poligonal n-ésima de aproximación a la curva de Koch, K_n y el eje de abcisas (entre 0 y 1). Entonces, el área delimitada por dicho eje (entre esos dos puntos) y K_∞ será la suma de la serie numérica convergente:



Es demostrable que la sucesión de poligonales {K_n: n = 1, 2, ...} converge uniformemente a K_∞.