T├(σ ˄ ¬σ).
El Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel afirma que, para toda teoría axiomática T cuyos axiomas contienen a los de Peano, la sentencia Con(T) no es un teorema de T, si T es consistente.
DEFINICIÓN 2.- Sea ahora T una teoría (matemática, en principio), y sea A un axioma adicional. Decimos que T+A es consistente relativa a T (o que A es consistente con T), si se verifica:
Si T es consistente, entonces T+A es consistente
LEMA.- T+A es consistente (relativa a T) si y solo si ¬A no es probable en T.
Demostración.- Sea T+A consistente. Por reducción al absurdo. Supongamos que T├ ¬A. Entonces, si T es consistente, T+A es consistente, y de T├ ¬A se infiere que T+ A├ ¬A. Pero T+A ├ A, luego T+ A├ A y T+ A├ ¬A, contra la hipótesis de consistencia de T+A.
Supongamos ahora que no-(T├¬A), y que T es consistente. Por el contrarecíproco del Teorema de Reducción al Absurdo (RAA), si no-(T├¬A), entonces {T,A} es consistente. Luego T+A es consistente. En consecuencia, T+A es consistente (relativa a T). #
Sea D la proposición:
“Dios existe”
CONJETURA.- ¬D no es probable en ZFC.
TEOREMA.- Si CONJETURA es verdadera, entonces ZFC+D es consistente relativa1 a ZFC.
Demostración.-
Consideremos (como base teorética de la Ciencia positiva) la Teoría de Conjuntos ZFC (en adelante, ZFC; deducida de los axiomas ZFC).
Si ¬D no es probable en ZFC, del Lema anterior se infiere que D es consistente con ZFC. #
O, dicho en román paladino: que la Matemática deducible de ZFC es ciencia consistente con la hipótesis de la existencia de Dios. Si demostramos que también lo es la Física Teórica, dado que cualquier ciencia, en definitiva, se reduce a estas dos (es lógicamente fundamentable en estas dos), habremos probado que la hipótesis de la existencia de Dios es plenamente compatible con las teorías de la Ciencia, en contra de lo que se suele predicar sobre la incompatibilidad entre 'Razón' y 'Fe', o entre 'Ciencia empiriológica' y Teología.
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1 También, si D no es probable en ZFC, entonces ¬D es consistente con ZFC.
2 comentarios:
“Dios existe”
CONJETURA.- ¬D no es probable en ZFC.
TEOREMA.- Si CONJETURA es verdadera, entonces ZFC+D es consistente relativa1 a ZFC.
Demostración.-
Consideremos (como base teorética de la Ciencia positiva) la Teoría de Conjuntos ZFC (en adelante, ZFC; deducida de los axiomas ZFC).
Si ¬D no es probable en ZFC, del Lema anterior se infiere que D es consistente con ZFC. #
Con este ejercicio, podrías demostrar que cualquier cosa, la que se te ocurra y también su negación, es consistente con ZFC.
Es puro artificio simnbólico lo aquí expuesto.
"Anónimo" escribió (numeración mía):
(1) Con este ejercicio, podrías demostrar que cualquier cosa, la que se te ocurra y también su negación, es consistente con ZFC.
(2) Es puro artificio simnbólico lo aquí expuesto.
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Su respuesta contiene una sentencia: (1), y un juicio de valor: (2).
Procedamos con la primera.
1º.- La sentencia (1) es falsa, incorrecta y repetitiva.
a) Falsa.
Primero, porque "cualquier cosa" incluye, por ejemplo, la sentencia contradicción ψ ˄ ¬ψ, donde ψ es una sentencia cualquiera; lo que, obviamente, si ZFC es consistente, es falso.
Segundo, porque, obviando lo anterior, la sentencia D a que se refiere el "ejercicio" debe cumplir el antecedente del condicional del Teorema, a saber, que ¬D no sea demostrable en ZFC. En símbolos:
¬(ZFC ├ D),
cosa que usted ha omitido. Ha dicho "cualquier cosa" (sentencia, obviamente), no cualquier cosa (sentencia) que verifique el antecedente del Teorema, que no es lo mismo.
En todo caso, debería haber escrito (1) de la siguiente forma:
Para toda sentencia (de la Lógica de Predicados de Primer Orden, que se supone implícitamente: LPPO) φ, tal que ¬φ no sea demostrable en ZFC (o en una teoría cualquiera T), se verifica que ZFC+φ es consistente relativa a ZFC ( o la teoría T).
Y si φ no es demostrable en ZFC, entonces ZFC+¬φ es consistente relativa a ZFC (que es justamente lo que la nota (respecto de la sentencia concreta D) dice, y que usted no ha debido de leer, porque en caso contrario habría omitido la última parte de (1)).
b) Incorrecta. El "ejercicio" a que usted se refiere no habla de "cualquier cosa", sino de sentencias formalizables en LPPO, de la cual es extensión la TC ZFC.
c) Repetitiva. Porque en la nota 1 se contiene la última parte de (1), siempre y cuando verifique el antecedente o prótasis del condicional del Teorema.
2º.- El juicio de valor, al margen de la ignorancia (en tres de sus principales acepciones) de la voz "artificio", que usted manifiesta implícitamente (dado que en otro caso no habría hecho uso de semejante dicción, en el sentido peyorativo argumental en que la ha hecho), es un sinsentido respecto de la cuarta acepción de dicha voz.
Primero, porque ni las definiciones ni por supuesto los teoremas son "incorrectos" o acientíficos (suponiendo que el "disimulo", la "cautela" y la doblez" le sean aplicables en ese sentido), dado que forman parte del cuerpo teorético de la Lógica Matemática).
Y segundo, porque lo que pretende el "ejercicio" es manifestar que la proposición ateísta que afirma la inconsistencia entre Ciencia y Religión no es admisible (es un mero pre-juicio de valor). ¿Por qué? Pues porque, justamente, en el "ejercicio" se demuestra que para que hubiera inconsistencia relativa (de, por ejemplo, la proposición toral de la Religión Católica: "Dios existe" -D) con la Ciencia (en esencia, con ZFC, de la que procede formalmente la Matemática, y de esta la Física Teórica, como señalo), tendría que haberse demostrado que la proposición "Dios no existe" - ¬D - es probable en ZFC, lo cual, obviamente, no es el caso. Y eso por varias razones.
Un ejemplo histórico, de carácter metamatemático, es el de la Hipótesis del Continuo (HC). Se ha demostrado, suponiendo que ZFC es consistente, que
a) ¬(ZFC ├ HC). Es decir Cons(ZFC + ¬HC)
b) ¬(ZFC ├ ¬HC). Es decir, Cons(ZFC + HC)
Cuando en ZFC (o en una teoría cualquiera, T) ocurre esto, la sentencia correspondiente (HC, en este caso) se dice independiente de ZFC ( de la teoría T).
HC es la sentencia:
2^ℵo = ℵ1
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