Un (mal) argumento ateológico contra la omnisciencia divina.

Si por omnisciencia entendemos (o al menos implica) el conocimiento de todas las verdades (¹), y su inclusión en un 'todo', en un conjunto (conocido también por el ser omnisciente), supongamos existente el conjunto de todas las verdades, y llamémosle T. Entonces, sea ahora el conjunto potencia de T, o conjunto de las partes de T, P(T). A cada miembro, T', del último conjunto, le hacemos corresponder una verdad, de la siguiente forma. Sea t₁ una verdad particular; entonces tenemos una verdad:


't₁ es un miembro de T' o t₁ no es un miembro de T' '.

Ahora bien, por el Teorema de Cantor, el cardinal de T es estrictamente menor que el cardinal de P(T); pero, según el desarrollo anterior, P(T) es un subconjunto de T, luego el cardinal de P(T) es menor que el de T, lo cual es absurdo. Luego no puede existir el conjunto de todas las verdades.

En consecuencia, el concepto de omnisciencia es inconsistente, luego la propiedad de omnisciencia no está posiblemente ejemplificada. Por tanto, no puede existir ningún ser omnisciente.

De una manera más formal.

TEOREMA (Falso).- No puede existir un ser omnisciente.

Demostración. Supongamos que existe. Entonces conoce todas las verdades. Sea T = {verdades}, que es conocido por dicho ente. Sea P(T) el conjunto potencia de T, y sea t₁ una verdad particular. Definimos la aplicación:

β : P(T) → T

tal que, si T' ∈ P(T),


β(T) = 't₁ ∈ T' o t₁ ¬∈ T' '.
Entonces β(P(T)) ⊆ T, y β es inyectiva, luego


|β(P(T))| = |P(T)| ≤ |T|

Pero, por el Teorema de Cantor,


|T| ˂  |P(T)|,
lo que contradice la desigualdad previa.

Por tanto, el predicado omnisciencia es inconsistente, luego no está posiblemente ejemplificado; es decir, no puede existir un ser omnisciente. Q.E.D.

En realidad, no hay tal conjunto de 'todas las verdades'.

TEOREMA.- Lo conocido (o sabido) por un ser omnisciente no puede constituir un conjunto.

Demostración. Por reducción al absurdo. Sea Ξ el conjunto de lo conocido por un ser omnisciente.
Entonces, la clase de todos los ordinales, Ω, es una parte de Ξ. Como Ξ es un conjunto, existe el conjunto P(Ξ), y Ω ∈ P(Ξ).
Pero entonces Ω seria una clase que pertenece a otra clase (el conjunto P(Ξ) ), luego, por la Teoría de Conjuntos N-B-G, Ω es un conjunto, lo cual es imposible, porque Ω es una clase propia. Q.E.D.

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¹Por 'verdad' significamos 'proposición (enunciado, sentencia, etc.) verdadera'.