Algunas veces, los mejores científicos cometen pequeños errores al redactar libros de divulgación, incluso aunque sean especialistas en la ciencia de la que tratan. También suele ocurrir que una traducción deficiente de un libro técnico o cuasitécnico convierte una determinada aseveración, originalmente correcta, en falsa (en la correspondiente traducción).
Una de estas dos cosas (probablemente la primera, a juzgar por el contexto) es la que ha ocurrido en el, por otra parte, magnífico libro del eximio matemático y físico teórico Roger Penrose, The Emperor's New Mind (La nueva mente del emperador, Ed. Mondadori, 1991).
Dicha obra, en su página 138, dice lo siguiente:
«¿Es absurdo suponer que un conjunto pueda ser realmente miembro de sí mismo? Ciertamente no. Consideremos, por ejemplo, el conjunto I de los conjuntos infinitos (conjuntos con infinitos miembros). Ciertamente hay una infinidad de conjuntos infinitos diferentes, de modo que I es él mismo infinito.»
En la anterior cita hay dos errores, cuyas correspondientes aseveraciones verdaderas (corregidas de las respectivas falsas) son estas:
- Ningún conjunto puede ser miembro de sí mismo.
- La clase de todos los conjuntos infinitos no es un conjunto, sino una clase propia.
Probemos estos dos asertos.
Sea
I = { x : x conjunto infinito}.
Entonces I no puede ser un conjunto.
Necesitamos exte axioma de la teoría de conjuntos ZFC (base conceptual de toda la Matemática).
AXIOMA (Esquema de Regularidad)1.-
"S [S ≠ Ø → (Ǝx ϵ S) S ∩ x = Ø]
TEOREMA 1.- La clase I es infinita.
Demostración.-
Que dicha clase es infinita se demuestra fácilmente conociendo que, si N es el conjunto de los números naturales (que, obviamente, es infinito), y definimos recurrentemente el conjunto potencia n-ésima de un conjunto x, mediante:
- P(0)(x) = P(x)
- " n ϵ N, P(n+1)(x) = P(P(n)(x))
Entonces, el conjunto infinito {P(n)(N) : n ϵ N}, es una subclase de la clase I, que en consecuencia es infinita.
Q.E.D.
TEOREMA 2.- "x, si x es conjunto, entonces x ∉ x (x no pertenece a x).
Demostración.-
Por reducción al absurdo. Sea x ϵ x. Por el Axioma de Regularidad, aplicándolo a S = {x}, tenemos que Ǝy ϵ S (S ∩ y = Ø). Pero y = x (único elemento de S), luego S ∩ x = Ø. Es decir, {x} ∩ x = Ø. En consecuencia: x ∉ x, contra la hipótesis de partida.
Q.E.D.
COROLARIO.- I no es un conjunto.
Demostración.- Si I es un conjunto, dado que I es infinito por el Teorema 1, es un conjunto infinito, luego I ϵ I, en contra del Teorema 2. Q.E.D.
ESCOLIO.- I es una clase propia.
Demostración.- Inmediata, a partir del Corolario anterior. Q.E.D.
1Lo que el axioma establece es que existe un elemento ϵ-minimal en todo conjunto S ≠ Ø, o bien que S está bien ordenado por la relación ϵ.
90 comentarios:
Aprovecho este mensaje para recomendarles, a quienes amen la ciencia (Física y/o Matemática) y deseen tener una fuente fiable de nuevas ideas en su biblioteca, que lean y estudien todas las obras de este gran científico, pero sobre todo dos: La nueva mente del emperador (en España hay una nueva edición en rústica) y su última (magna por el volumen y por las pretensiones) publicación: El camino de la realidad: Una guía completa de las leyes del Universo, Ed. Debate, 2006.
Roger Penrose es actualmente un físico teórico proviniente de la Matemática pura (especialista en Geometría Algebraica), con importantes contribuciones a la formulación matemática de la Teoría General de la Relatividad (Techniques of Differential Topology in Relativity, Spinors and Space-Time), a la Cosmología (teoremas de singularidad de Hawking-Penrose), etc.
"El camino de la realidad" es bastante duro de pelar, a ver si lo puede desgranar un poco para los aficionados a la matemática y a la física.
Qué casualidad que nuestros últimos respectivos posts tocan el tema del infinito, ocasión de pasadas escaramuzas.
Donde dice Que dicha clase es infinita se demuestra fácilmente conociendo que, si N es el conjunto de los números naturales (que, obviamente, es infinito)
yo diría el conjunto de los números naturales no termina ni puede terminar en un número finito mientras vamos pensando en esa serie, pero termina cuando dejamos de pensar en él, y termina cuando estábamos pensando en un número finito; por lo tanto, de hecho, no se da la serie de los números naturales como algo completo, que es a lo que nos referimos con la palabra "infinito".
La noción de conjunto implica el hecho de encerrar, abarcar, contener, es por eso que es contradictorio hablar de "conjunto" para una serie como la de los números naturales formada con la fórmula n+1.
Pero en fin, es útil aceptar esa ficción de concepto que llamamos "infinito", donde hacemos ver que hemos concebido la serie como algo completo... ni que las definiciones matemáticas fueran todopoderosas... su poder se termina en el umbral de la contradicción.
Si quiere "morderme" a gusto le comento que estoy básicamente de acuerdo con Javier Pérez Jara en su crítica al concepto de de infinito.
Sea la recta real R y tomemos un intervalo de la misma, el intervalo cerrado I =[0,1] de los números reales mayores o iguales que 0 y menores o iguales que 1. Este intervalo tiene longitud finita igual a 1. ¿Está actualmente dado dicho intervalo? Si decimos que no, dado que la longitud (que existe actualmente, pues tiene el valor, aquí y ahora, de 1) es la de todo el intervalo actualmente existente (no hablamos de la longitud ‘potencial’ del mismo, sino de la ‘actual’), dicha longitud no estaría actualmente dada y no tendría sentido decir que tiene el valor actual de 1, lo cual es absurdo. El absurdo viene de suponer que no puedo tener la totalidad del intervalo I bajo el escrutinio matemático, pero sí su longitud, que es (no que será, sino que es) igual a 1.
Luego debemos adimitir que el intervalo cerrado de números reales I = [0,1] existe actualmente, tiene existencia actual.
Ahora bien, el intervalo cerrado I = [0,1] es exactamente lo mismo que el conjunto
{x ε R : 0 ≤ x ≤ 1}
Luego el anterior conjunto también existe actualmente. Pero el anterior conjunto es un conjunto infinito (de longitud finita, pero con una infinidad no numerable, 2^ﬡ_o, de elementos), y no puede separarse, actualmente, su infinitud (que es una de sus propiedades), de sí mismo. Luego existe actualmente un conjunto infinito, a saber, el conjunto I.
Porque si decimos que, por una parte, sí existe la longitud del intervalo I (longitud que tiene en cuenta, actualmente, porque su valor es actual, a todos los miembros de I), pero que, por otra, no existe actualmente todo el intervalo I, sino sólo una parte (finita) del mismo, aquella que es posible 'construir' finitamente, entonces estamos declarando un absurdo, pues si sólo existe una parte de dicho conjunto actualmente (y no todo él, en su completa infinitud), también sólo existe una parte de su longitud (la longitud de la parte finita que existe actualmente, que menor que la unidad), cosa que no ocurre ni hemos supuesto.
Es más, ni siquiera tendría en ese caso, valor actual, distinto de 0, la longitud de I, pues la longitud actual de un conjunto actual finito de números reales(que es todo lo que la concepción finitista constructivista permite) es idénticamente nula, igual que su medida de Lebesgue, y será idénticametne nula en cada instante (actual) de tiempo, pues jamás podremos tener (actualmente) la infinidad de números reales que constituyen el intervalo I, si seguimos la doctrina 'intuicionista' hasta sus últimas consecuencias.
Qué astuto, don Francisco, vio que a través del axioma del infinito de Zermelo-Fraenkel es mucho más complicado defender a "doña Infinita", y lo intenta desde otro ángulo más asequible. No está mal, sobre todo porque el concepto de infinito de hecho surge a partir de diferentes perspectivas.
¿Qué decir a su argumentación? Que lo primero que ya está dado es un intervalo, completo, entre O y 1. Estos dos números son la cota inferior y la cota superior de las operaciones de división y subdivisión y subsubdivisión, etc, que nos permiten construir la serie de los números reales.
Es decir, no es necesario recurrir a los números reales para afirmar que el intervalo se da completo. ¿Cuál es la longitud del intervalo entre 0 y 1? 1.
Ahora bien, podemos empezar a divivir indefinidamente ese intervalo, pero esas divisiones son posteriores a la existencia del intervalo completo (los números reales se sostienen sobre los naturales en último término), por lo que no ha lugar la objeción que fundamenta la existencia actual del intervalo en la existencia actual de una infinitud de partes; la consitución de las partes es una operación matemática lógicamente posterior a la existencia de la totalidad, que visto de forma simple puede considerarse formada por una sola parte que se identifica con el todo (entre 0 y 1 el valor del intervalo es 1).
En el fondo es casi el mismo problema que con la serie de los naturales pero cambiando el 1 por w (omega). Y no me hace problema que los matemáticos finjan que se da una totalidad cuando en realidad sólo se da una serie indefinida, que no puede detenerse mientras se piensa en ella. Esa ficción, aunque se apoye en la contradicción que señalo en mi blog, no afecta a la utilidad de las matemáticas.
¿Así que soy intuicionista? No sé si me va a creer, pero no he leído nada de esa escuela, llegué a las conclusiones que llegué por mi cuenta. ¿Tiene algún vínculo a mano sobre intuicionismo y las otras escuelas que hablan de los fundamentos de las matemáticas?
En la introducción de su libro, si no recuerdo mal, Penrose habla del significado del infinito desde el punto de vista de la física.
Apasionante este infinito.
Perdón, Dark Packer, el intervalo [0,1] no existe previamente a los números reales. De hecho, no existen los intervalos [0,n] de números naturales. La existencia de números reales es previa a la existencia de intervalos.
De hecho, no existen los intervalos [0,n] de números naturales. La existencia de números reales es previa a la existencia de intervalos.
Sí existen dichos intervalos de números naturales, que se definen de la misma forma. Si N es el subanillo de los naturales con la relación de orden usual y n ε N, se define:
[0,n] = {k ε N : 0 ≤ k ≤ n} = {0,1,2,...,n}
Y como el cuerpo de los reales contiene como subanillo al de los naturales, la restricción de la relación de orden usual de los reales a los naturales es precisamente la relación de orden usual de los naturales, luego también se tiene, si [0,n]' indica el intervalo en R, y [0,n] lo indica en N:
[0,n] = [0,n]' ∩ N
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NOTA.- El 0 se suele considerar, en los textos técnicos, como número natural.
Qué astuto, don Francisco, vio que a través del axioma del infinito de Zermelo-Fraenkel es mucho más complicado defender a "doña Infinita", y lo intenta desde otro ángulo más asequible. No está mal, sobre todo porque el concepto de infinito de hecho surge a partir de diferentes perspectivas.
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No, Dark. Es más fácil de la primera forma que de esta, y más riguroso. Esta nueva argumentación la hice por usted, para que, sin necesidad de tanto aparato técnico, pueda comprender que la existencia del infinito matemático actual es no sólo consistente y fructífera para la Matemática, sino necesaria: su exclusión genera inconsistencias y contradicciones.
¿Qué decir a su argumentación? Que lo primero que ya está dado es un intervalo, completo, entre O y 1. Estos dos números son la cota inferior y la cota superior de las operaciones de división y subdivisión y subsubdivisión, etc, que nos permiten construir la serie de los números reales.
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Claro que estaá dado un intervalo completo, el [0,1]. Usted mismo lo ha dicho: 'está dado'. Y si está dado (actualmente) y este intervalo es infinito, es que está dado un infinito actual. No puede estar dado un intervalo infinito (con infinitos miembros, se entiende) sin la infinitud esencial del mismo.
Y no hay tales 'operaciones de división y subdivisión' en la definición del mismo, sino simplemente una propiedad característica de sus elementos, a saber, el ser mayores o iguales que 0 y menores o iguales que 1. Lo que sucede es que dicha propiedad define un infinito actual, pues actual es dicha propiedad.
En la recta real, un intervalo I es un conjunto que se define así:
DEFINICIÓN.- Un subconjunto I de la recta real es un intervalo sí y sólo si, para cualesquiera a,b ε I, y para todo x tal que a ≤ x ≤ b, entonces x ε I.
Es decir, no es necesario recurrir a los números reales para afirmar que el intervalo se da completo. ¿Cuál es la longitud del intervalo entre 0 y 1? 1.
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Si estamos hablando de intervalos de números reales, claro que sí hay que recurrir a ellos (son sus puntos) para hablar del intervalo real y de su 'completud'.
Ahora bien, podemos empezar a dividir indefinidamente ese intervalo, pero esas divisiones son posteriores a la existencia del intervalo completo
Eso es evidente. Las divisiones de algo son posteriores a la existencia previa de ese algo: el objeto que se divide. No podemos dividir lo inexistente.
Pero que algo pueda se dividido indefinidamente no significa que su definición consista en esa división indefinida, o que dicha división pueda ser real y prácticamente llevada a cabo por el humano. No es lo mismo poder ser objeto de división indefinida que serlo realmente por un humano, ni siquiera mentalmente. Puede (como es el caso) que el sujeto dividiente deba tener alguna característica común o semejante (alguna naturaleza, su infinitud actual, por ejemplo) con el objeto dividido, para poder llevar a cabo efectivamente semejante operación.
(los números reales se sostienen sobre los naturales en último término), por lo que no ha lugar la objeción que fundamenta la existencia actual del intervalo en la existencia actual de una infinitud de partes; la consitución de las partes es una operación matemática lógicamente posterior a la existencia de la totalidad, que visto de forma simple puede considerarse formada por una sola parte que se identifica con el todo (entre 0 y 1 el valor del intervalo es 1).
Más que 'se sostienen' podemos decir con algo más de rigor que 'son extensión de'. Pero el conjunto de los números naturales cuya extensión (después de pasar por los enteros y por los racionales, o por los racionales mediante cortaduras de Dedekind) existe como una totalidad actual dada, para que sea posible semejante extensión, pues se opera con el conjunto entero, no con aproximaciones finitas al mismo.
Básicamente, el proceso de generación de los reales (uno de ellos, por clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales, es, desde los naturales, el siguiente).
Primero se define el conjunto (totalidad actual infinita) de los naturales, mediante los Axiomas de Peano.
DEFINICIÓN.- Un sistema de números naturales es un par ordenado, formado por un conjunto N y una aplicación s: N → N, que verifica las siguientes propiedades:
1. s es una aplicación inyectiva.
2. Existe un único elemento 1 ε N tal que s(n) ≠ 1, para todo ε N.
3. Si un conjunto U de N verifica:
a) 1 ε U
b) n ε U implica que s(n) ε U.
Entonces U = N.
Hay otra forma de introducir los naturales desde ZFC.
Después de demostrar que el conjunto N de los números naturales, con las operaciones 'suma' y 'producto' (definidas ad hoc) es un semianillo ordenado conmutativo y unitario, en el conjunto producto cartesiano
N ᵡ N se define la relación de equivalencia R, mediante:
(a,b) R (c,d) cuando a+d = b+c
Pues bien, al conjunto cociente N ᵡ N /R, de las clases de equivalencia que R genera, se le denomina conjunto de los números enteros, Z. Luego un entero es una clase de equivalencia (mod R) de pares ordenados de números naturales: [(a,b)]. El 0 entero se representa así: [(a,a)], donde a es cualquier natural. El opuesto del entero [(a,b)] es [(b,a)]. Etc.
Si Z* = Z - {0}, en el par ordenado Z ᵡ Z*, se define una nueva relación R', mediante: (a,b) R' (c,d) cuando ad = bc, con a,b,c,d números enteros.
La relación anterior determina una partición en el conjunto Z ᵡ Z* en clases de equivalencia, y cada clase se denomina un número racional. Luego el conjunto (infinito actual) de los números racionales es el conjunto cociente: Q = Z ᵡ Z*/R'. El elemento neutro para la suma es el racional [(0,1)]; y el neutro para el producto, el [(1,1)].
Finalmente, desde el conjunto de las sucesiones de Cauchy de números racionales (una sucesión (a(n) de racionales es de Cauchy si, para todo δ > 0 existe un número natural n_0 tal que, para cualesquiera p,q naturales con p,q ≥ n_0, se verifica |a(p) - a(q)| < δ), C, y el conjunto de sucesiones de números racionales con límite 0, N, se define sobre el conjunto C una relación de equivalencia, R'', de la forma:
Para todas (a(n)), (b(n)) ε C, se dice que (a(n)) R'' (b(n)) cuando (a(n)-b(n)) ε N
Entonces, esta relación de equivalencia determina una partición de C en clases de equivalencia. Al conjunto cociente C/R'' se le denomina el conjunto de los números reales.
Ahora bien, dicho todo esto, hay que decir también que las diferentes clases de números son entre ellas de naturaleza distinta, aunque puede demostrarse que hay determinados isomorfismos de orden que hacen una determinada clase subclase de otra: los naturales de los enteros, los enteros de los racionales y los racionales de los reales. Pero en estricto rigor matemático, son números de clases diferentes. Una razón más para inadmitir la afirmación de Dark.
En el fondo es casi el mismo problema que con la serie de los naturales pero cambiando el 1 por w (omega).
No hay tal serie o sucesión de números reales en el intervalo [0,1], dado que, precisamente para dos reales r y r' en [0,1], cualesquiera, existe (actualmente siempre, pues no tendría sentido una existencia potencial) un número real s tal que r < s < r'.
Dado un real r en [0,1] no existe su siguiente en la sucesión. No son bien ordenables (están totalmente ordenados, pero no bien ordenados)los reales en [0,1]. No cabe aplicarles la sucesión del orden de los naturales a todos los reales del intervalo [0,1]
Y no me hace problema que los matemáticos finjan que se da una totalidad cuando en realidad sólo se da una serie indefinida, que no puede detenerse mientras se piensa en ella.
No. In-definido es aquello que no está definido. Pero cuando considero el conjunto N, de números naturales, no lo considero 'indefinido', sino perfectamente dado, para estudiar sus propiedades; pero no las de cada vez un mayor número de naturales, nunca acabado, sino para todos ellos, para la infinidad numerable de los mismos. Cuando estudio una sucesión de números reales
(a(n) : n ε N),
estoy considerando (no otra cosa es la sucesión) una aplicación
a: N → R,
tal que, para todo natural n, se verifica que
a(n) ε R.
Si el cuantificador universal no agotase a todos los naturales (en el supuesto de que su existencia no fuera una totalidad acabada, sino cada vez mayor, pero de la que no cabe que exista, en un 'ahora', entera), eso contradiría la existencia de la definición, que establece la imagen de cada natural, para todo natural. Luego es absurdo decir que N no está definido completamente y afirmar la vez la existencia de una aplicación, que por naturaleza está definida (actualmente definida) para todo n ε N. Cada vez que nos encontramos con un conjunto infinito, pues, se nos hace patente que su actualidad es necesaria para concebir una definición consistente que haga uso del mismo.
Esto es lo que debe comprender: Que algo no pueda ser (por razones de limitación espacio-temporal) conocido por el humano, en un 'ahora', en una actualidad, no significa que el objeto conocido no exista en su total y completa extensión, sino que no puede ser objeto de conocimiento/declaración extensivo por el humano. Eso es lo que usted sistemáticamente confunde en el infinito matemático: ser con ser objeto de conocimiento. Pero entonces, si aceptamos que sólo lo conocido completamente es, entonces casi nada de lo que existe (finito o no) en el Universo tiene existencia actual para un sujeto humano cognoscente cualquiera. Sea Pedro, amigo de Juan. Siguiendo con su doictrina falaz, dado que Juan no puede conocer todo lo atinente a Pedro actualmente (aunque Pedro no es infinito), Pedro no tiene una existencia actual (en sus atributos, propiedades, estados cuánticos de su cuerpo, etc.), sino sólo sucesiva. Pero eso es absurdo.
Hay razones filosóficas (amén de las apuntadas, matemáticas) para la existencia del infinito actual. Además de que lo 'potencial' no tiene cabida formal en Matemáticas, el concepto de 'infinito potencial' es una contradicción en los términos. En realidad un 'infinito potencial' es un 'indefinido'. Pero si es indefinido no podemos, a su vez, definirlo como algo: un infinito potencial, algo que cada vez es mayor, o tiene más elementos, sin tenerlos nunca todos en acto.
¿Qué es un infinito potencial? Un potencial infinito. Una cantidad u objeto que nunca puede llegar a ser infinita actual, y que permanece siempre finita actual. Pero eso es un sinsentido, pues en ese caso el infinito potencial es un siempre finito que nunca accede al infinito, luego le sobra su pretendida infinitud: sería un simple finito cada vez mayor actualmente y nunca un actual infinito, pues si lo fuera actual en un momento dado, dejaría de ser lo que es: infinito potencial. Pero repitamos que no es lo mismo algo que nunca es actualmente infinito con algo que siendo infinito actual nunca puede ser actualmente conocido en su infinitud por un ser finito o acotado por lo finito, como el humano. Usted confunde ilegítimamente ambas cosas.
Luego no sólo no es contradictorio (inconsistente) el concepto de infinito matemático actual, sino que precisamente lo es el de potencial, en rigor estricto. Una totalidad puede ser conocida como tal, pero no exhaustivada en cada aspecto de la misma. Dios es una totalidad infinita, y ningún humano es capaz de agotar la riqueza ontológica del ser divino. Pero no por ello no existe actualmente (no existe actualmente como objeto de conocimiento completo humano, pero sí en sí, como objeto de conocimiento aunque no en su actual completitud).
Resumiendo, podemos decir que del infinito actual conocemos su infinitud actual, pero no al propio infinito actual en toda la infinitud del mismo. Eso sólo lo puede hacer Dios, y con cada infinito matemático, porque Dios es el Infinito Absoluto, que los comprehende a todos.
Francisco dijo: Esto es lo que debe comprender: Que algo no pueda ser (por razones de limitación espacio-temporal) conocido por el humano, en un 'ahora', en una actualidad, no significa que el objeto conocido no exista en su total y completa extensión, sino que no puede ser objeto de conocimiento/declaración extensivo por el humano. Eso es lo que usted sistemáticamente confunde en el infinito matemático: ser con ser objeto de conocimiento.
Respondo: Pero cuando para un ente se que ser = ser conocido entonces su objeción no vale; y ese es el caso para la entidades irreales de las matemáticas, que agotan su ser en el hecho de ser objeto de conocimiento para un sujeto cognoscente.
Francisco dijo: Pero entonces, si aceptamos que sólo lo conocido completamente es, entonces casi nada de lo que existe (finito o no) en el Universo tiene existencia actual para un sujeto humano cognoscente cualquiera. Sea Pedro, amigo de Juan. Siguiendo con su doictrina falaz, dado que Juan no puede conocer todo lo atinente a Pedro actualmente (aunque Pedro no es infinito), Pedro no tiene una existencia actual (en sus atributos, propiedades, estados cuánticos de su cuerpo, etc.), sino sólo sucesiva. Pero eso es absurdo.
Respondo: Esta objeción queda refutada por lo que he dicho en el el párrafo anterior: en el caso de los entes matemáticos, el ser se agota en el ser conocido.
Pero en mi blog usted había puesto una objeción más sutil y difícil de responder: me refiero a los números enormes (finitos) que nuestra mente no puede abarcar en todo su extensión, por ejemplo 10^10000000000. ¿Qué responder a esto? Sé que no voy a utilizar el lenguaje técnico correcto, pero espero que capte la idea: voy a partir de un ejemplo más fácil: supongamos que 100 fuera la cifra inalcanzable para nuestra mente, en ese caso podemos decir, que las unidades que consituyen el cien están encerradas, abarcadas, contenidas, conjuntadas en la centena, que es el conjunto o clase superior que contiene las unidades de 0 a 99. En este caso aunque no podamos decir que actualmente estemos captando-conociendo todas las unidades que integran el conjunto, sí podemos dcir que captamos el conjunto que las encierra. Y como el n° 100 es el conjunto que encierra lógicamente todos sus antecesores desde el 99 hasta el 0, podemos decir que sí es conocido completamente y que se dan actualmente todos los elementos que le pertenecen (aunque quizá yo diría "virtualmente", como una forma especial de actualidad).
La gran cuestión es si podemos decir lo mismo del infinito (omega) para los números naturales.
¿Qué n° contiene lógicamente todos los números naturales, existiendo estos, por lo tanto, actualmente -"virtualmente"-? Dígame, por favor, qué número-cojunto.
El axioma del infinito de Zermelo-Fraekel dirá: "Existe al menos un conjunto infinito".
Es decir, que afirma el hecho en bruto, sin más, y mi objeción es la de siempre: ¿cómo se puede afirmar que hay un conjunto o n° omega que encierre la serie de los números naturales si esta serie no puede encerrarse? ¿Cuál es esa clase o conjunto que contiene a todos los naturales? Fíjese que no pido una exhaustividad en bruto, sino lógica, como el caso en que 10 decenas están contenidas en la centena.
Y no me diga que la serie de los naturales es contenida por los reales, pues, como usted decía, pertenecen a clases diferentes. Para incluso así, no haríamos más patear el balón un poco más lejos y la misma pregunta quedaría en pie, y nos quedaríamos sin respuesta, pues no existe "el infinito más infinito de todos y que los contiene a todos".
Francisco dijo: In-definido es aquello que no está definido. Pero cuando considero el conjunto N, de números naturales, no lo considero 'indefinido', sino perfectamente dado, para estudiar sus propiedades; pero no las de cada vez un mayor número de naturales, nunca acabado, sino para todos ellos, para la infinidad numerable de los mismos. Cuando estudio una sucesión de números reales
(a(n) : n ε N),
estoy considerando (no otra cosa es la sucesión) una aplicación
a: N → R,
tal que, para todo natural n, se verifica que
a(n) ε R.
Respondo: Evidentemente no uso "indefinido" en el sentido que usted dice, sino en el sentido de "series finitas que no terminan nunca en un número finito mientras se piensa en ellas".
La "indefinición" de la serie (en el sentido que acabo de decir), es compatible con la negación del infinito actual, simplemente porque las otras series con que se compara tienen la misma propiedad; así, por ejemplo, podemos establecer una biyección entre los naturales y un subconjunto propio como los pares sin necesidad de afirmar un infinito actual, basta que sean indefinidos y que en las operaciones que se realizan con los mismos ninguna serie se detenga en un número finito concreto. Esta interpretación filosófica del no-finito (=infinito) como indefinido, no afecta para nada el edificio matemático.
Así, yo le haría el siguiente añadido, en negrita, a su frase:
a: N → R,
tal que, para todo natural n en el que pensemos, se verifica que
a(n) ε R.
Pero no veo que el "todo" al que usted se refiere sea un conjunto que contenga lógicamente a todos los naturales, sino la especificación que permite sacar todo límite a la hora de añadir números naturales en la fórmula, lo cual es diferente del infinito.
Rectificaré si usted me muestra cuál es ese número maravilloso.
Pero ya ve que por ahora mi posición es intermedia entre finito e infinito, o sea, es una forma de no-finitud que creo más realista que los que afirman el infinito actual, y que no cambia para nada el actual edificio matemático.
Respecto a su crítica al infinito potencial: OK, estoy de acuerdo.
P.D: Para más clarificaciones sobre mi posición ya sabe dónde mirar.
Pero cuando para un ente se que ser = ser conocido entonces su objeción no vale
Eso es erróneo. Ni siquiera en los entes de razón (supuestos objetos no extramentales, lo que no es el caso) se verifica dicha ecuación.
En efecto.
a) En los entes reales, que existen extramentalmente, ni siquiera el ser-objeto-de-conocimiento supone un incremento entitativo del ente conocido. El ser-objeto-de-conocimiento no añade nada al ente conocido que no está ya contenido en él. Solo afecta al sujeto cognoscente. Dicho objeto es sin ser-objeto-de-conocimiento. Entre otras razones, antes de la existencia de sujetos cognoscentes humanos ), todo lo existente en el Universo era, sin ser objeto de conocimiento humano.
b) En los entes matemáticos, que son extramentales, el ser-objeto-de-conocimiento tiene dos momentos: Un ser-objeto y un serlo de-conocimiento. Luego ha de existir, previamente al conocimiento del objeto, el objeto del conocimiento. Esto vale también para los entes reales no de razón.
c) En los entes de razón definidos o generados mentalmente (no es el caso de los objetos de la Matemática, que, según afirma Penrose, poseen más entidad de lo que aparentemente es puesto en su definición o 'conocimiento' previo) si ser fuera ser-conocido, tendríamos un acto mental epistemológico sin objeto, pues ser-conocido reclama nuevamente un ser previo, un algo previo, por poca entidad que tenga, susceptible de ser-conocido. No hay actos de conocimiento de la pura nada de objeto, y un acto de conocimiento es de conocimiento de algo, de un algo que no puede ser puesto en el ejercicio del conocer, que es una mera actividad pasiva, salvo en Dios.
d) Si ser fuera ser objeto de conocimiento, por un lado afirmaríamos que la cifra G(M,M,M) del desarrollo de la expansión decimal de π (cifra que no podrá ser-conocida en toda la historia cósmica) no es nada, pues no es conocida (y ser=ser-conocido) y por otro que es algo, pues aunque no sea conocida en su valor, tiene el preciso valor unívoco (un número entre 0 y 9) que al objeto π le corresponde. Eso es absurdo. Absurdo que proviene de suponer su 'ecuación' óntico-epistemológica.
Lo que sí sería posible es que la entidad de un objeto matemático (no el conocimiento de la misma, que exige algún objeto previo sobre el que se ejerza dicha capacidad humana) sea puesta (no conocida, repito) por la mente humana. No es el caso de la mayor parte de los conceptos nobles de la Matemática, que poseen más 'entidad' que lo que el conocimiento de los mismos nos dice. Son objetos extramentales, que el humano descubre, conoce, pero no crea. El infinito matemático actual es uno de ellos.
Continuará...
Francisco, reconozco que la expresión era un poco ambigua, pero igual puede mantenerse. También podría decirse que "ser = ser objeto para un sujeto". O mejor todavía: "ser = ser concebido-comprendido por un sujeto".
Mi posición es parecida a la de Antonio Millán Puelles en "Teoría del objeto puro".
Francisco dijo: Eso es erróneo. Ni siquiera en los entes de razón (supuestos objetos no extramentales, lo que no es el caso) se verifica dicha ecuación.
Respondo: Me refería a los entes de razón, por supuesto, que son exclusivamente intramentales, mientras no se demuestre lo contrario.
Francisco dijo: b) En los entes matemáticos, que son extramentales, el ser-objeto-de-conocimiento tiene dos momentos: Un ser-objeto y un serlo de-conocimiento. Luego ha de existir, previamente al conocimiento del objeto, el objeto del conocimiento. Esto vale también para los entes reales no de razón.
Respondo: Yo diría que hay dos momentos pero no en el nivel epistemológico, sino que el primer momento es ontológico: es decir, que el mundo tiene un orden por sí mismo, y los conceptos matemáticos captan y expresan algo de ese orden aunque de forma imperfecta (de ahí, por ejemplo, que tengamos diferentes geometrías). Por lo tanto, en el primer momento (ontológico), no está implicado el sujeto cognoscente, pero en el segundo sí, y es ahí cuando empieza a existir el objeto (noción que usted usa indebidamente de forma ontológica, siendo que no hay objeto sin sujeto que lo constituya).
Francisco dijo: si ser fuera ser-conocido, tendríamos un acto mental epistemológico sin objeto, pues ser-conocido reclama nuevamente un ser previo, un algo previo, por poca entidad que tenga, susceptible de ser-conocido.
Respondo: Teniendo en cuenta que ser es ser concebido-comprendido (para los entes matemáticos), su objeción no ha lugar teniendo en cuenta mi distinción; por supuesto que hay algo previo al conocimiento, pero no objetos, sino entidades. Y esas entidades, en el caso de los entes matemáticos, no son otra cosa sino los mismas entidades en que se basa el conocimiento espontáneo, con la diferencia de que media un proceso de abstracción mucho mayor.
Francisco dijo: d) Si ser fuera ser objeto de conocimiento, por un lado afirmaríamos que la cifra G(M,M,M) del desarrollo de la expansión decimal de π (cifra que no podrá ser-conocida en toda la historia cósmica) no es nada, pues no es conocida (y ser=ser-conocido) y por otro que es algo, pues aunque no sea conocida en su valor, tiene el preciso valor unívoco (un número entre 0 y 9) que al objeto π le corresponde. Eso es absurdo. Absurdo que proviene de suponer su 'ecuación' óntico-epistemológica.
Respondo (pego lo que respondí más arriba): Sé que no voy a utilizar el lenguaje técnico correcto, pero espero que capte la idea: voy a partir de un ejemplo más fácil: supongamos que 100 fuera la cifra inalcanzable para nuestra mente, en ese caso podemos decir, que las unidades que constituyen el cien están encerradas, abarcadas, contenidas, conjuntadas en la centena, que es el conjunto o clase superior que contiene las unidades de 0 a 99. En este caso aunque no podamos decir que actualmente estemos captando-conociendo todas las unidades que integran el conjunto, sí podemos decir que captamos el conjunto que las encierra. Y como el n° 100 es el conjunto que encierra lógicamente todos sus antecesores desde el 99 hasta el 0, podemos decir que sí es conocido completamente y que se dan actualmente todos los elementos que le pertenecen (aunque quizá yo diría "virtualmente", como una forma especial de actualidad).
Que no haya un conocimiento "extensivo" del citado número, no significa que no haya un conocimiento "comprensivo" o "intensivo" del mismo (no sé qué terminología usar).
Francisco dijo: Lo que sí sería posible es que la entidad de un objeto matemático (no el conocimiento de la misma, que exige algún objeto previo sobre el que se ejerza dicha capacidad humana) sea puesta (no conocida, repito) por la mente humana. No es el caso de la mayor parte de los conceptos nobles de la Matemática, que poseen más 'entidad' que lo que el conocimiento de los mismos nos dice. Son objetos extramentales, que el humano descubre, conoce, pero no crea. El infinito matemático actual es uno de ellos.
Respondo: "Con el platonismo hemos topado Sancho". :)
Dejando de lado la ambigüedad del termino "conocer", no me parece mal lo "poner con la mente los objtos matemáticos". Aunque para mí, "poner", "concebir" y "comprender" son lo mismo.
Teniendo en cuenta que los números son conceptos que podemos calificar de irreales, y que son una invención (utilísima) del ser humano, todo el edificio matemático que se sustenta en ellos es también una invención, que llega a acercarse bastante a la realidad, pero que nunca se identifica con ella. Los conceptos matemáticos son una creación humana, pero no una creación fantástica que deforma la realidad, sino una creación que nos acerca muchísimo al orden de la realidad, lo cual nos permite interactuar con ella por medio de la ciencia y la tecnología. Lo que se descubre en parte es ese orden de la realidad, no los conceptos matemáticos, éstos son sólo la comprensión y la expresión de ese orden.
Si me demuestra que los conceptos matemáticos existen como tales fuera de la mente humana, retiro lo dicho.
Francisco, reconozco que la expresión era un poco ambigua, pero igual puede mantenerse. También podría decirse que "ser = ser objeto para un sujeto". O mejor todavía: "ser = ser concebido-comprendido por un sujeto".
Mi posición es parecida a la de Antonio Millán Puelles en "Teoría del objeto puro".
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Pero esa igualdad no es sostenible, pues vuelvo a repetir que nada se añade al objeto conocido el hecho de ser conocido por alguien. Luego todo lo que es el objeto, todo su ser, es independiente de que sea o no conocido. Y en el caso de objetos matemáticos determinados como el conjunto de Mandelbrot, un número trascendente, etc., se observa que lo que se conoce de él no es él en su totalidad, y además se conoce este hecho de inexhaustividad del conocimiento del objeto. Es decir, de un ente matemático como π conocemos su existencia como objeto infinito, algunas de sus propiedades algebraicas y que no conocemos ni conoceremos en este mundo a 'todo π', en su completa expansión decimal. Los tres géneros de conocimiento sobre π
son igualmente legítimos. Y como conocemos que hay algo -de hecho casi todo- sobre π que se halla fuera de nuestra capacidad de conocimiento, eso es un átomo de evidencia de su extramentalidad, de la independencia de la mente humana, que es incapaz de 'conocer a π', en este estado humano de incorporados, de forma completa. Pero eso ocurre con objetos finitos también, incluso con objetos familiares.
Me refería a los entes de razón, por supuesto, que son exclusivamente intramentales, mientras no se demuestre lo contrario.
Si todos fueran intramentales exclusivamente, es decir, generados por la mente, no se explicaría que, por ejemplo de un número trascendente determinado, se conociera sólo una cantidad de cifras finita y se supiera que una determinada cifra cuya existencia unívoca (no aleatoria, sino precisamente la cifra concreta desconocida pero existente que hace de ese número no otro, que lo determina unívocamente) conocemos y cuyo valor no podemos conocer, fuera independiente de nuestro conocimiento, que presuntamente la genera. Esa independencia cognoscitiva es una evidencia de su existencia extramental y de que el humano no crea el número, sino que lo descubre parcialmente (descubre sus propiedades algebraicas y alguna de sus series generadoras, por ejemplo, pero no su completa extensión, que, conocida existente, escapa al propio conocimiento de la misma).
Yo diría que hay dos momentos pero no en el nivel epistemológico, sino que el primer momento es ontológico: es decir, que el mundo tiene un orden por sí mismo,
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Pero para que haya un momento de conocimiento de algo, ese algo debe estar previamente expuesto a la potencia cognoscitiva humana, incluso si la inteligencia humana lo 'crea', en cuyo caso sería casi simultánea la 'creación' con el conocimiento del objeto mental creado.
Y ¿cómo sabe que el orden del mundo es por sí mismo y no es puesto al conocerlo usted? Al fin y al cabo, lo que observa son una serie de fenómenos sensibles, inconexos aparentemente, que su inteligencia puede hacerlos aparecer como causalmente conectados. ¿Cómo conoce que el orden que usted parece conocer es previo al conocimiento del mismo, igual que afirma que el infinito matemático no lo es, sino que es puesto en la existencia y conocido después por una y la misma potencia intelectual humana?
y los conceptos matemáticos captan y expresan algo de ese orden aunque de forma imperfecta (de ahí, por ejemplo, que tengamos diferentes geometrías).
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En absoluto para todos los conceptos matemáticos. No existe nada semejante al infinito actual o a un gran cardinal, o a un espacio de Hilbert en el mundo (material) y, sin embargo, el hombre capta esos conceptos, descubre sus propiedades y atisba a intuir otras, aunque trabajosamente. Luego o los crea mentalmente el humano (lo que ya hemos visto no explica ciertos hechos) o los descubre en lo que podríamos denominar el Paisaje Mental o Clase de Todas las Ideas, sito en la Mente de Dios.
Que tengamos diferentes geometrías no es consecuencia de la imperfección captativa del 'orden' del Universo, sino de la elección de unos axiomas que determinan cada geometría. Axiomas que si son consistentes, generan una nueva geometría, a la que se sujeta el Universo o no. El trabajo matemático suele ser independiente de la realidad física, aunque a veces halla aplicaciones en la misma.
De hecho, el Teorema de Lowenheim -Skolem, que dicho sea coloquialmente establece la existencia de interpretaciones o modelos (universos de objetos en los que son verdaderos todos los teoremas deducidos de los axiomas y reglas de inferencia de la teoría formal axiomática) de un sistema dado de axiomas que, sin añadir nuevos axiomas, son radicalmente diferentes. Y si eso ocurre con un sistema único de axiomas, cuánto más si el conjunto de axiomas es diferente. Hay una cierta arbitrariedad, por lo tanto, a la hora de asignar con univocidad una determinada teoría a la parcela de la realidad que pretende describir. Eso es una evidencia de que en general la Matemática es independiente de lo real-material y o es producto puro del intelecto humano (con las dificultades que he señalado) o, y ese es el caso, es descubrimiento de dicho intelecto (descubrimiento que curiosamente ha acaecido, a veces, simultáneamente en la Historia, por matemáticos que no tenían posibilidad de comunicación, aunque en último extremo (en complicidad con el dogma finitista) eso podría explicarse por la semejanza de la mente humana -y por lo tanto de sus productos mentales- en todo individuo de su especie).
Por lo tanto, en el primer momento (ontológico), no está implicado el sujeto cognoscente, pero en el segundo sí, y es ahí cuando empieza a existir el objeto (noción que usted usa indebidamente de forma ontológica, siendo que no hay objeto sin sujeto que lo constituya).
Si no hay objeto sin sujeto que lo constituya, entonces, antes de la existencia de la especie humana (obviando a Dios), no existía objeto alguno, lo cual es falso. Además usted se contradice, señalando un primer momento (que designa ontológico), y que obviamente es independiente del sujeto que conoce, para a continuación declarar que no hay objeto (ni por lo tanto momento ontológico) si no hay un sujeto que conoce dicho objeto. El objeto no empieza a existir desde que lo conozco, sino que es mi propio conocimiento (del objeto) el que empieza a existir en el acto de conocer dicho objeto. Y en el caso de Dios, como señalo más adelante, siendo Trino, y siendo 3 un número natural, y no pudiendo existir un número natural sin el resto, es inmediato que (al menos para el teísta) la Matemática preexiste al hombre, y desde toda la Eternidad. No en vano se dice que las verdades matemáticas, intemporales, son eternas, son verdades necesarias, independientes de la estructura accidental del mundo.
Teniendo en cuenta que ser es ser concebido-comprendido (para los entes matemáticos), su objeción no ha lugar teniendo en cuenta mi distinción; por supuesto que hay algo previo al conocimiento, pero no objetos, sino entidades.
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Suponiendo que sea así, eso no es una prueba, sino una mera declaración, pues precisamente lo que estamos intentando dilucidar es si existen objetos matemáticos extramentales, cuya existencia es independiente de las mentes humanas, una existencia eterna. Basta ver que Dios, que existe desde la eternidad, es en su esencia un Misterio Numérico. Luego antes de que el Universo existiera, con una anterioridad causal, no cronológica, ya existían las Matemáticas en Dios mismo. Pues si declaramos que Dios es Trino desde la Eternidad, es que el número tres (y por lo tanto todos los naturales y toda la Matemática) existía en Dios (codificado en Dios) desde la Eternidad. Por supuesto, esto es un argumento para un teísta. Para un ateo lo expondría de forma diferente.
Y esas entidades, en el caso de los entes matemáticos, no son otra cosa sino los mismas entidades en que se basa el conocimiento espontáneo, con la diferencia de que media un proceso de abstracción mucho mayor.
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No. No hay correlato real en conceptos tales como un espacio de Hilbert, una integral de Feynman, una variedad infinito-dimensional, un cardinal transfinito, etc. Son o creaciones de la mente humana, sin relación alguna con lo real, en su mayor parte, o descubrimientos de la razón humana, que trabajosamente (basta ver que hay teoremas, como el Teorema de Fermat, que han tardado hasta tres siglos en ser demostrados. Demasiado tiempo, para objetos que la propia mente supuestamente pone en la existencia, pero que parecen sustraerse al conocimiento humano una vez puestos. No tiene sentido) va comprendiendo, sin que los agote en muchos casos.
Respondo (pego lo que respondí más arriba): Sé que no voy a utilizar el lenguaje técnico correcto, pero espero que capte la idea: voy a partir de un ejemplo más fácil: supongamos que 100 fuera la cifra inalcanzable para nuestra mente, en ese caso podemos decir, que las unidades que constituyen el cien están encerradas, abarcadas, contenidas, conjuntadas en la centena, que es el conjunto o clase superior que contiene las unidades de 0 a 99. En este caso aunque no podamos decir que actualmente estemos captando-conociendo todas las unidades que integran el conjunto, sí podemos decir que captamos el conjunto que las encierra. Y como el n° 100 es el conjunto que encierra lógicamente todos sus antecesores desde el 99 hasta el 0, podemos decir que sí es conocido completamente y que se dan actualmente todos los elementos que le pertenecen (aunque quizá yo diría "virtualmente", como una forma especial de actualidad).
Antes de responder desarrollemos un poco la teoría de números ordinales.
DEFINICIÓN.- Un conjunto T es transitivo si Ʌx (x ϵ T → x está contenido en T).
En otras palabras, UT está contenido en T, ó T está contenido en P(T).
DEFINICIÓN.- Un conjunto es un número ordinal (o un ordinal) si es transitivo y está bien ordenado por ϵ.
Denotamos los ordinales por letras griegas minúsculas (α,β,γ,...). La clase de todos los ordinales se denota por Ord.
Definimos
α < β si y sólo si α ϵ β
Algunos hechos que pueden ser objeto de prueba sobre los ordinales, y de utilidad inmediata, son estos:
(a) 0 = Ø es un ordinal.
(b) Si α es un ordinal y β ϵ α, entonces β es un ordinal.
(c) Si α,β son ordinales y α está contenido en β, entonces α ϵ β.
(d) SI α,β son ordinales, entonces o α está contenido en β o β
está contenido en α.
(e) α < β es un orden lineal sobre la clase Ord.
(f) Para cada α, α = {β: β < α}.
(g) Para todo α, α U {α} es un ordinal, y
α U {α} = inf {β: β > α}
Se define α + 1 = α U {α} como el sucesor de α.
Si α = β + 1, entonces, se dice que α es un ordinal sucesor. Si α no es un ordinal sucesor, entonces α = sup{β: β < α} = Uα; α se llama entonces un ordinal límite. Se considera a 0 un ordinal límite.
Se denota al menor ordinal límite no nulo, por ω (o N). Los ordinales menores que ω (cuya existencia actual es inmediata, del desarrollo anterior, y por supuesto plenamente consistente), o elementos de N, son llamados ordinales finitos o números naturales. Específicamente:
0 = Ø,
1 = 0 U {0} = {Ø},
2 = 1 U {1} = {Ø} U {{Ø}}= {Ø,{Ø}},
.....
Observe detenidamente que, en virtud del desarrollo anterior, la existencia y consistencia de ω es inmediata.
Aplique su propio razonamiento a ω (sin nuevos añadidos postizos, como el de 'actualidad virtual', algo cuasicontradictorio), y verá que ω posee existencia actual y extramental: actual por su argumentación y mi desarrollo, y extramental por su inabarcabilidad mental, no obstante su existencia actual. Y de una manera semejante, aunque más eficiente, que la de un objeto material que el humano escudriña para comprenderlo, sin agotarlo nunca, aun siendo finito.
Abra su mente, Dark, y no se deje encasillar por autocomplacientes filósofos cuyo desconocimiento de la Ciencia Matemática (señor Lara) es manifiesto. En alguna obra de don Gustavo Bueno (el maestro intelectual de Lara) también he observado imprecisiones sobre cuestiones físicas. Por ejemplo, en Ensayos materialistas.
Fíjese que de
(1) Un objeto matemático es captado (incompletamente) mentalmente.
No se deduce que:
(2) Un objeto matemático tiene existencia mental.
Sólo podríamos inducir o abducir precisamente la negación de (2), como más probable, pues si algo es mental, es mentalmente aprehensible, cosa que no sucede con muchos objetos matemáticos.
Sin embargo sí podríamos postular:
(3) Un objeto tiene existencia extramental si no es posible captarlo mentalmente en su totalidad.
(3) es una hipótesis perfectamente razonable, intuitivamente verdadera.
Entonces, de (3), y
(4) Existen algunos objetos matemáticos incaptables mentalmente en su totalidad;
que es un hecho empírico-intelectual;
se deduce fácilmente
(5) Existen algunos objetos matemáticos extramentales.
Formalizando.
Sea:
E: '... existe extramentalmente'.
C: '... es captable mentalmente en su totalidad'
M: '... es un objeto (ente) matemático'
(3) Ʌx (Ex ↔ ¬◊Cx)
(4) Ǝx (Mx → ¬◊Cx)
(5) Ǝx (Mx → Ex)
Haga usted como ejercicio la deducción de (5), desde (3) y (4).
Pero hay más. El aserto:
(6) Todos los objetos matemáticos son mentales.
¿Cómo lo conoce? ¿Cómo sabe de la verdad de (6)? En usted es sólo un acto de fe. Yo le estoy dando argumentos de plausibilidad de la negación de (6), e incluso alguna prueba; pero usted sólo se mueve en un círculo argumental, partiendo de una hipótesis que no demuestra, ni de la que da argumentos de plausibilidad fuera de la cita de un deficiente conocedor de la Matemática, como es Lara.
No obstante, hay que decir en su descargo que la existencia del infinito matemático actual ha sido negada por egregios pensadores, desde el mismo Aristóteles en su Metafísica, pasando por santo Tomás de Aquino y varios matemáticos. Sin embargo, el descubrimiento del genial Cantor, hoy en día se ha convertido en un soberbio edificio que sostiene todo el cuerpo de las Matemáticas, uno de cuyos fundamentos es el infinito matemático actual. Por ello pudo decir David Hilbert (el genial matemático alemán, que Lara cita incorrectamente): Nadie podrá expulsarnos nunca del Paraíso que Cantor ha creado para nosotros.
Responderé en cinco puntos a partir de sus últimos comentarios, aunque le citaré sólo alguna vez: 1°) Objeto-sujeto; 2°) Ideas en la mente de Dios; 3°) Exhaustividad del conocimiento; 4°) Materialismo filosófico.
1) Objeto-sujeto: Son dos conceptos en oposición relativa, incomprensibles el uno sin el otro, como “padre-hijo” y “todo-parte”; por ejemplo, un árbol, cuando no había sujetos capaces de conocerlo, era una entidad real; ese mismo árbol, ante un sujeto cognoscente, además de ser una entidad, pasa a ser también un objeto, pero eso es una distinción mental que no lo cambia para nada. Por eso me parece abusivo el uso (tomista) que hace usted del término “objeto” en sentido ontológico; es como si me dijera que puede existir el color sin ojos y capacidad visual (que existan entidades llamadas fotones y ciertos fenómenos físicos de los mismos, está claro, pero la noción de color es algo más que eso, pues implica una referencia a ojo y a la capacidad visual). Por eso digo que no hay objetos si no hay referencia a sujetos cognoscentes, pero eso no significa que el ser de una entidad como el árbol se agote en el hecho de ser objeto de conocimiento para un sujeto, pues es sería un idealismo inaceptable. Recuso el uso que hace del término “objeto” en sentido ontológico. Pero entiendo por qué lo usa así: las ideas en la mente de Dios, que convertirían a todas las entidades en objetos de conocimiento ante la mente divina… ¿me equivoco? Trataré este tema en el punto segundo, pero antes, permítame citarle cuando dice: Y ¿cómo sabe que el orden del mundo es por sí mismo y no es puesto al conocerlo usted? Al fin y al cabo, lo que observa son una serie de fenómenos sensibles, inconexos aparentemente, que su inteligencia puede hacerlos aparecer como causalmente conectados. ¿Cómo conoce que el orden que usted parece conocer es previo al conocimiento del mismo, igual que afirma que el infinito matemático no lo es, sino que es puesto en la existencia y conocido después por una y la misma potencia intelectual humana?
Respondo: Para empezar, nadie ha podido encontrar un infinito en el mundo físico. Para seguir: puedo demostrarle empíricamente que el orden del mundo que percibimos no es puesto total y exclusivamente por mi mente haciendo un experimento: yo subo a un puente y usted se pone justo debajo de mí, a 20 mts; yo tengo un ladrillo y calculo la trayectoria del mismo hasta su cabeza y lo dejo caer (usted tiene un casco, para que no le duela tanto); si repetimos la experiencia un millón de veces, el ladrillo caerá un millón de veces sobre su casco, lo cual no puede atribuirse al azar, como tampoco el dolor de cabeza subsiguiente que usted va a tener. Respecto al infinito de nuevo: no hay experimento similar para demostrar su existencia, y por otra parte, como le digo más extensamente en mi blog, el infinito es contradictorio, porque pretendemos hacer de él un conjunto que abarca lo que es inabarcable, es decir, una serie que no termina nunca mientras se piensa en ella (y que yo llamé “indefinida”). Completaré mi argumentación cuando hable en el punto 3° de la exhaustividad del conocimiento.
2) Ideas en la mente de Dios:
Creo que esa es la base ontológica en la que se apoya para hacer un uso del término “objeto” en sentido ontológico. ¿Qué responder a esto? Que Dios es un ser absolutamente simple en el que no hay una distinción real entre ser y pensar, esa distinción la hacemos nosotros para aclararnos un poco e intentar comprender cómo conoce Dios; pero no podemos tomar esa distinción literalmente para apoyar la dualidad sujeto-objeto en Dios y afirmar que todos los entes creados son objetos. Como mínimo es confuso, por no decir que es falso ese punto de apoyo, porque de Dios casi no podemos decir cómo conoce, pero al menos sí que podemos decir cómo no conoce. La intima unión entre Dios y su creación no puede describirse adecuadamente con el parche platónico de Santo Tomás de Aquino al hablar de las ideas en la mente de Dios que serían las esencias presentes en que cada creatura, pues en Dios, ser y pensar (conocer) no se distinguen realmente.
3)Exhaustividad del conocimiento:
Francisco dijo: (3) Un objeto tiene existencia extramental si no es posible captarlo mentalmente en su totalidad.
Comento:
1°) Enfermedades que impiden el cálculo: alguien con la enfermedad llamada acalculia puede no captar mentalmente en su totalidad ciertas operaciones que otros sí captan; entonces tendríamos que los conceptos matemáticos son extramentales y no lo son al mismo tiempo, porque unos los captan totalmente y otros no. Esto significa que la dilucidación de la cuestión no puede ir en la línea de una excesiva subjetivización de la misma, sino que hay que analizar cómo se forma esos conceptos.
2°) Hay dos formas de comprender la exhaustividad del conocimiento:
a) La abstracción de los fundamentos de la matemática como causa principal de la inexhaustividad de la ciertos conceptos matemáticos:
Si tenemos en cuenta que los fundamentos de las matemáticas son abstracciones, no es para nada extraño, que no podamos captar completamente algunas de esas abstracciones cuando se combinan de forma más compleja (eso sin contar con que en realidad algunas de las paradojas que encontramos en matemáticas no sean otra cosa que contradicciones, y, por lo tanto incomprensibles); pero conviene que hagamos una distinción respecto al concepto de exhaustividad del conocimiento o captación de los entes matemáticos en el punto siguiente.
b) Exhaustividad intensiva y extensiva:
ya le respondí pero me salió con una reflexión evasiva sobre la ordinalidad numérica, presentando a W (omega) como “el menor ordinal límite no nulo”, lo cual no quita que se lo saque de la manga porque sí con el axioma del infinito. Para fundamentar la ordinalidad basta con tener el 0 y la sucesión n+1. Lo que omega viene a significar, sin más complicación, es que la serie de los naturales no puede detenerse en ningún número finito, y esa es una característica intrínseca, pero de ahí no se sigue, por contradictorio, que se pueda abarcar esa serie como una totalidad, con un número-conjunto llamado W (omega). “Totalidad” y “conjunto” implican la abarcabilidad, encerrabilidad de lo que contienen, y la sucesión de los naturales (n+1) es por esencia inabarcable, incontenible.
En todo caso, a lo que iba es a mostrar que usted usa un concepto extensivo de conocimiento exhaustivo, que no es adecuado para la cuestión que estamos tratando; como le decía en el ejemplo donde hablaba del n° 100 (para simplificar y para mostrar que se puede dar una exhaustividad intensiva): en ese caso podemos decir, que las unidades que constituyen el cien están encerradas, abarcadas, contenidas, conjuntadas en la centena, que es el conjunto o clase superior que contiene las unidades de 0 a 99. En este caso aunque no podamos decir que actualmente estemos captando-conociendo todas las unidades que integran el conjunto, sí podemos decir que captamos el conjunto que las encierra. Y como el n° 100 es el conjunto que encierra lógicamente todos sus antecesores desde el 99 hasta el 0, podemos decir que sí es conocido completamente y que se dan actualmente [implícitamente] todos los elementos que le pertenecen.
Resumiendo: Sí que se da una exhaustividad intensiva, que es propia de las abstracciones matemáticas, donde unas clases incluyen a otras, donde unos conjuntos incluyen a otros; esto significa no que se da un supuesta existencia extramental de esos conceptos, sino que simplemente el nivel de abstracción de los mismos impide una exhaustividad extensiva, que dicho de paso no es esencial para que esos conceptos existan, pues se da una exhaustivadad intensiva, con lo cual nos quedamos sin motivos para afirmar una existencia extramental de objetos matemáticos.
Si niego precisamente la existencia del n° W (omega) de cardinalidad infinita es precisamente por que no corresponde a ninguna clase o conjunto que pueda abarcar la serie de los números naturales, así como puede hacerlo la centena respecto a las diez decenas que la componen.
3°) Se podría decir que la existencia extramental se prueba por el hecho de que matemáticos que no se comunicaban entre ellos descubrieron las mismas fórmulas y llegaron a las mismas conclusiones: a esto respondo, que, una vez puesta la base de esa abstracción que son los números, el desarrollo lógico de los axiomas y teoremas posteriores queda condicionado en gran parte, y no es extraño que haya desarrollos coincidentes.
4°) Materialismo filosófico:
Que coincida en algunas conclusiones con este sistema no significa que parta de sus principios ni que siga sus procedimientos (como usted mismo habrá comprobado), ni que acepte acríticamente lo que afirman.
Ah, por cierto, el autor del artículo de mi blog se llama Jara, no Lara.
Saludos y gracias por su tiempo.
Reconozco que no he demostrado necesariamente que no existan extramentalmente las abstracciones matemáticas, como tampoco puedo demostrar que no exista blancanieves y los siete enanitos, pero si mostramos la invalidez de todos los argumentos que apoyan la extramentalidad de las entidades matemáticas, pues bien, la afirmación de la existencia extramental de las mismas tendrá tanta validez como la de blancanieves y los 7 enanitos...
Antes de comenzar, comentar un error grave en que usted ha incurrido. El concepto de número no es el fundamento de la Matemática, sino el de conjunto (incluso el de clase, anterior a él) , que es lógicamente anterior. Y el concepto de conjunto se sustenta sobre el de clase (en la axiomática NBG). A su vez, el de clase se sustenta en el de propiedad (un concepto plenamente lógico), que se supone primitivo (siempre ha de partirse del algún o algunos conceptos primitivos porque no todo es susceptible de ser definido, como se puede demostrar a su vez):
Dada una propiedad φ, existe la clase C = {x : φ(x)}, de los objetos matemáticos (o no) x que poseen la propiedad φ. Sin embargo, no toda propiedad constituye o genera o define un conjunto (paradoja de Russell, etc.). Entonces, un conjunto x es una clase que pertenece a otra clase:
DEFINICIÓN.- La clase x es un conjunto si y sólo si existe una clase y tal que
x ϵ y.
El primer ordinal, el 0, se define precisamente como un conjunto (bien ordenado y transitivo), el conjunto vacío (que verifica trivialmente estas propiedades), y no al revés, como sería si todo lo matemático se fundamentase en el concepto de número (natural). Es un error que hay que explicitar. No se define Ø =(Def) 0, sino al revés 0 =(Def) Ø. Es importante la distinción, porque aunque se suela escribir, en la teoría de conjuntos (ordinales), la ecuación
0 = Ø, que en principio es equivalente a Ø = 0, no lo es en este caso, porque se trata de una definición, y el definiendum, 0, es que ha de definirse en función o desde el definiens, Ø. Sólo desconocedores de la Matemática, como Jara, Lara, Mara o como se llame el interfecto suelen cometer estos errores.
Para ser un poquito más precisos, aunque no del todo, debemos decir que la Teoría de Conjuntos ZFC (fundamento de los números y de todas la Matemática), en realidad se sustenta en el Cálculo de Predicados de Primer Orden con el predicado igualdad, = ). Entonces el lenguaje de la teoría de conjuntos consiste en el CPPO + = + relación binaria ϵ (de pertenencia o membresía). Las fórmulas bien formadas de la TC se construyen desde la fórmulas atómicas
x ϵ y, x = y
mediante las conectivas lógicas habituales (¬, ˄, ˅, →, ↔) , y los cuantificadores:
Ǝx φ, Λx φ
Luego no es cierto que los números sean fundamento, sino consecuencia.
Por eso digo que no hay objetos si no hay referencia a sujetos cognoscentes,
Supongamos que fuera cierto. Pero un sujeto cognoscente es también un objeto. Luego no habría sujetos cognoscente sin que se conociese a sí mismo en un acto de conocimiento. Eso es falso. El objeto-de-conocimiento primero es objeto, y luego pasa a ser -de-conocimiento (que a él mismo no le añade nada de entidad que ya no tenga previamente, y mediante la cual puede ser-objeto de conocimiento) si hay otro objeto que realiza el acto de conocerlo (obviamente con la capacidad de conocer). Mi conocimiento del mundo no añade nada a este mundo, que preexiste sin mí y mi facultad cognoscitiva. En caso extremo, caemos en un radical solipsismo.
Otra cuestión, que usted parece confundir, son las llamadas realidades-objeto (siempre apoyadas en una realidad-objeto) con el sentido de las realidades objeto (podríamos decir, con las realidades-sentido). En la realidad-sentido mesa, árbol, etc. sólo tiene sentido ser-mesa o ser-árbol, para quien conoce qué es una mesa o un árbol, y sensorialmente aprehende un objeto (realidad-objeto) de madera, por ejemplo, con la figura de una mesa o de un árbol. Pero el propio objeto tiene existencia previa, aunque el significado de la figura que el que la conoce aprecia en ese objeto y que denomina mesa o árbol en realidad esté determinada por el sujeto que la conoce.
pero eso no significa que el ser de una entidad como el árbol se agote en el hecho de ser objeto de conocimiento para un sujeto, pues es sería un idealismo inaceptable.
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No sólo no se agota, sino que nada se añade a dicha entidad que esta ya no posea. El ser-objeto-de-conocimiento no es una real forma de ser, sino la actividad de un sujeto cognoscente que adquiere una nueva información que él antes no tenía, respecto de algo externo a él (o incluso de sí mismo, en un acto reflexivo de instrospección). En todo caso, dicha actividad modifica el estado del sujeto cognoscente (respecto de lo que sabe del mundo real) pero no modifica un ápice al propio objeto conocido.
Recuso el uso que hace del término “objeto” en sentido ontológico. Pero entiendo por qué lo usa así: las ideas en la mente de Dios, que convertirían a todas las entidades en objetos de conocimiento ante la mente divina… ¿me equivoco? Trataré este tema en el punto segundo, pero antes, permítame citarle cuando dice: Y ¿cómo sabe que el orden del mundo es por sí mismo y no es puesto al conocerlo usted? Al fin y al cabo, lo que observa son una serie de fenómenos sensibles, inconexos aparentemente, que su inteligencia puede hacerlos aparecer como causalmente conectados. ¿Cómo conoce que el orden que usted parece conocer es previo al conocimiento del mismo, igual que afirma que el infinito matemático no lo es, sino que es puesto en la existencia y conocido después por una y la misma potencia intelectual humana?
Respondo: Para empezar, nadie ha podido encontrar un infinito en el mundo físico.
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Trataré sobre el conocimiento divino en un artículo ad hoc. Nadie ha podido encontrar en el mundo físico (es decir, en lo material) un infinito por la sencilla razón de que lo material es esencialmente finito, le repugna lo infinito.
Nadie lo ha podido encontrar por que no lo hay. El mundo físico, el mundo material, es por su propia naturaleza finito. Existen en el Universo del orden de 10^80 partículas fundamentales (vid. Mecánica, Berkeley Physics Coruse, Ed. Reverté), y una cantidad mucho mayor, pero siempre finita, de estados cuánticos. Y todo lo que es capaz de hacer y codificar la materia está acotado por el número máximo de estados cuánticos que puede tener. Finito siempre. Por lo tanto, no sólo no cabe hallar nada infinito en el Universo, sino que es sorprendente que, si el humano hubiera evolucionado desde la materia inanimada, sólo por las leyes de la Física y la Química, no se explica su propensión, conocimiento y elaborada teoría de los infinitos matemáticos actuales, que repugna la materia. Eso ya es sospechoso, pues el principio de causalidad (que vulgarmente lo podemos glosar como nadie da lo que no tiene) impide semejante tránsito, incluso a nivel de mero conocimiento.
Para seguir: puedo demostrarle empíricamente que el orden del mundo que percibimos no es puesto total y exclusivamente por mi mente haciendo un experimento: yo subo a un puente y usted se pone justo debajo de mí, a 20 mts; yo tengo un ladrillo y calculo la trayectoria del mismo hasta su cabeza y lo dejo caer (usted tiene un casco, para que no le duela tanto); si repetimos la experiencia un millón de veces, el ladrillo caerá un millón de veces sobre su casco, lo cual no puede atribuirse al azar, como tampoco el dolor de cabeza subsiguiente que usted va a tener.
Mi pregunta no era por desconocimiento, sino puramente retórica. No obstante, usted ha hecho una generalización precipitada. Usted no puede asegurar que repitiendo el experimento un millón de veces, siempre le ocurra lo mismo. Eso es un acto de fe. Usted no puede asegurar, con probabilidad 1, que las leyes de la Física siempre se verifican y son de la misma forma en todo el Universo. Eso es un nuevo acto de fe. Se requiera más fe para aceptar la generalización de ese experimento, que para admitir el infinito matemático actual. Por ejemplo, el suceso el Sol 'saldrá' mañana no puede asegurarse, no es un suceso de probabilidad 1, pues muy bien puede ocurrir (aunque es poco probable) que las fluctuaciones cuánticas de las partículas constituyentes del Sol hagan que este esté por la mañana en otra región del Universo. Ese no es un suceso físicamente imposible, aunque su probabilidad sea extremadamente baja. Luego hay más actos de fe en la Física que incluso en la propia Religión.
Se puede, por ejemplo, calcular la probabilidad de que, estando usted en una habitación cerrada, su cuerpo se materialice al otro lado de la misma, y esa probabilidad es del orden de 14^(-45), no nula. Etc.
Respecto al infinito de nuevo: no hay experimento similar para demostrar su existencia, y por otra parte, como le digo más extensamente en mi blog, el infinito es contradictorio,
1º.- Usted no ha probado, y no puede probar, que el infinito actual sea contradictorio.
2º.- Yo le he probado (en otro artículo) que su exclusión sí lo es.
3º.- Toda la Matemática moderna se sustenta en parte por la existencia de dicho infinito actual.
4º.- La creencia en su inexistencia es un acto de fe negativo de usted y un prejuicio cientifista, que contradice casi toda la Matemática, y que probablemente (como le demostraré posteriormente) surge de un deficiente conocimiento de la naturaleza axiomática de qué sea un conjunto.
porque pretendemos hacer de él un conjunto que abarca lo que es inabarcable, es decir, una serie que no termina nunca mientras se piensa en ella (y que yo llamé “indefinida”). Completaré mi argumentación cuando hable en el punto 3° de la exhaustividad del conocimiento.
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Usted define un conjunto (que en algunos sistemas es una noción primitiva) de tal forma que en la propia definición está contenida la finitud. Eso no es admisible. Su definición es deficiente e incorrecta. Antiguamente, en la Matemática clásica, un conjunto determinado se definía por tres formas exhaustivas y mutuamente excluyentes:
a) Por comprensión, dando una propiedad que verifican todos los miembros del conjunto y sólo ellos.
b) Por extensión: Enumerándolos.
c) Por recurrencia, dando un subconjunto finito de ellos, y definiendo el resto en función de de los de dicho conjunto. Etc.
Las tres formas de definir un conjunto dan como resultado conjuntos actualmente existentes (aunque un humano no pueda ser capaz de la enumeración de todos sus miembros).
Para usted sólo parece ser admisible la definición b), lo cual es falso.
1°) Enfermedades que impiden el cálculo: alguien con la enfermedad llamada acalculia puede no captar mentalmente en su totalidad ciertas operaciones que otros sí captan; entonces tendríamos que los conceptos matemáticos son extramentales y no lo son al mismo tiempo, porque unos los captan totalmente y otros no. Esto significa que la dilucidación de la cuestión no puede ir en la línea de una excesiva subjetivización de la misma, sino que hay que analizar cómo se forma esos conceptos.
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No ha leído usted bien mi exposición definitoria de lo extramentalmente existente.
1º.- Yo no he afirmado que todo concepto matemático sea extramental, sino sólo algunos de ellos, y cité varios.
2º.- Yo definí (como posible definición de lo extramental actualmente existente)
(3) Un objeto tiene existencia extramental si no es posible captarlo mentalmente en su totalidad.
Y después lo aclaré más al formalizarlo:
Sea:
E: '... existe extramentalmente'.
C: '... es captable mentalmente en su totalidad'
M: '... es un objeto (ente) matemático'
(3) Ʌx (Ex ↔ ¬◊Cx)
Que no sea posible algo no quiere decir que baste con que no sea posible para alguien. Esa no es la interpretación correcta del operador modal posibilidad. En el caso que nos ocupa, y que usted ha contraargumentado falazmente, significa que no es posible humano-mentalmente, es decir, para ninguna mente humana actual o futura, posible. Siendo algo más precisos, que en ningún mundo posible (mental-human) es captable mentalmente en su totalidad, sin residuo. Etc.
3º.- Sin embargo, usted lo ha malinterpretado, mediante un razonamiento similar a este:
(4) Hay un objeto x que un humano y (enfermo) no capta mentalmente en su totalidad.
(5) El objeto x sí es captado mentalmente por un humano z (no enfermo).
Conclusión de Dark:
(6) Luego tenemos un objeto extramental y mental a la vez.
Pero esa deducción es falaz, porque (3), como he dicho:
a) no se refiere sino a toda mente humana en su imposibilidad de captar mentalmente en su totalidad un objeto, no a una determinada que no puede captarlo;
b) en el caso que usted cita, lo único que tenemos sería un objeto x incaptable totalmente por un y enfermo pero captable por un z no enfermo.
Luego si es captable por un z, mentalmente, en su totalidad, no verifica la condición de (3), y no puede ser extramental, sino un objeto mental, captable por z, pero no por y (por su enfermedad mental).
Saludos cordiales.
Continuará más extensamente, cuando disponga de más tiempo...
Por cierto, en el nombre del interfecto materialista Jara, me equivoqué a propósito, porque la soberbia intelectual en un hombre que vive en el dogmatismo materialista excluyente y que pretende hacer filosofía de la Matemática sin conocerla (en conceptos bastante elementales), merece esta pequeña 'maldad' corruptora de su nombre. Espero que no le haya molestado esa pequeña 'malicia'.
Por supuesto que no me ha molestado, sólo creía que se había despistado. Pero no hay problema, un poco de "pimienta" entre tanto formalismo lógico es buena para la digestión.
No le voy a dar una respuesta extensa por ahora, esperaré que usted termine de responder. Pero permítame alguna pequeña indicación que puede favorecer el desarrollo posterior de su instructiva respuesta :
1-Aceptada la corrección de la afirmación que los números son fundamento de las matemáticas ("felix culpa" que le ha permitido explayarse de forma muy instructiva).
2-Cuando usted dice que Usted define un conjunto (que en algunos sistemas es una noción primitiva) de tal forma que en la propia definición está contenida la finitud. está dando en el clavo. Después presenta los tres tipos de definición de conjunto de las antiguas matemáticas (por comprensión, por extensión y por recurrencia), y afirma que yo sólo acepto la definición por extensión, lo cual no es cierto: relea el ejemplo que he puesto varias veces de los números inabarcables (tomando el n° 100, la centena, como una simplificación de esos números); si se fija bien no fundamento la finitud en la extensión, sino que la sitúo sobre todo en la línea de la comprensión. O sea: si N es el conjunto (infinito) de los números naturales, entonces, según su definción, para que N sea un conjunto ha de ser una clase que pertenece a otra clase (digo "pertenece" porque en la definición que pone me aparece un cuadradito entre X e Y, ¿lo interpreté bien?).
Siendo que N está abarcada en su supuesta infinitud y totalidad por W (omega), ¿qué tipo de clase es W? ¿que propiedad define esa clase? ¿cómo se vincula lógicamente esa clase con N?
Ah, no olvide esta frase que usted mismo dijo y que está al "acecho": Sin embargo, no toda propiedad constituye o genera o define un conjunto (paradoja de Russell, etc.).
La respuesta a estas últimas preguntas creo que nos puede ayudar avanzar en la resolución de la cuestión.
Tómese su tiempo, no hay problema. Y gracias por las precisiones terminológico-conceptuales y por la paciencia por entrar en vaivén dialéctico (muy fructífero para progresar en el conocimiento).
Tómese su tiempo, pero no un tiempo infinito.
Siendo que N está abarcada en su supuesta infinitud y totalidad por W (omega),
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No, no es que N esté abarcado por ω, sino que N es precisamente ω, el menor conjunto inductivo. Y este conjunto inductivo está dado en su totalidad, aunque ningún humano pueda 'abarcarlo', es decir, pueda enumerar o definir dicho conjunto (por eso es infinito) por extensión. El no-poder-ser-extensionado-actualmente-por-un-humano no implica que no exista dicho conjunto en toda su extensión. La propiedad de infinitud no lo hace inexistente, sino simplemente inabarcable por un humano. Pero la inabarcabilidad no implica inexistencialidad actual. Como le comenté hace unos mensajes, hay muchas cosas finitas que no son extensivamente abarcables por un humano, y no por ello carecen de existencia actual (por ejemplo, mi actual estado cuántico)
En una forma más técnica, el Axioma del Infinito se postula así:
Axioma del Infinito.-
ƎS [Ø ε S ^ (/\x ε S) [x U {x} ε S] ]
Es decir: Existe un conjunto (ahora, aquí, actual) que contiene como elementos al conjunto vacío y al sucesor de cada uno de sus elementos. Este es precisamente el menor conjunto infinito actualmente existente.
¿qué tipo de clase es W? ¿que propiedad define esa clase? ¿cómo se vincula lógicamente esa clase con N?
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Un conjunto con la propiedad definida en el AI se llama inductivo. Luego otra forma de enunciar el AI es: Existe un conjunto inductivo.
¿Qué es, entonces N? Pues N es precisamente el menor conjunto inductivo o el conjunto inductivo mínimo, por la relación 'contenido en':
N = ∩ {X : X es inductivo}
Y se denota:
0 = Ø, 1 = {Ø}, 2 = {0,1}, ...
Si n ϵ N, n+1 = n U {n}, y se define < sobre N por:
n < m ↔ n ϵ m
Luego podríamos definir a N como la clase que tiene entre sus elementos al conjunto vacío y al siguiente de cada uno de sus elementos, no deforma potencial, sino plenamente actual, pues lo que estamos definiendo o de lo que estamos hablando es de conjuntos completos (no de fragmentos o de aproximaciones finitistas a los mismos), aunque su cabal y extensiva completud escape (por su infinitud) al conocimiento humano. Usted conoce que hay un conjunto actual infinito (N) pero conoce también que, por su infinitud, no es exhaustible extensivamente por usted. En caso contrario, no hablaríamos de infinitud ni de conjunto infinito (actual), sino de otra cosa.
Pero desarrollemos con algo de extensión y rigor la teoría de números ordinales, que prodece a su vez de la de conjuntos bien ordenados.
Una relación binaria < sobre un conjunto P es un orden parcial de P si:
(i) p ¬< p, para todo p ϵ P
(ii) Si p < q y q < r, entonces p < r
(P, <) se llama un conjunto parcialmente ordenado. Un orden parcial < sobre P es un orden lineal si, además:
(iii) p < q ó p = q ó q < p, para cualesquiera p,q ϵ P.
Si < es un orden (lineal) parcial, entonces la relación ≤ se llama también un orden parcial lineal (< se denomina a veces un orden estricto).
Si P es un conjunto parcialmente ordenado, y X es un subconjunto no vacío de P, y a ϵ P, entonces:
a es elemento maximal de X si a ϵ X ^ (Ʌx ϵ X) [a ¬< x];
a es elemento minimal de X si a ϵ X ^ (Ʌx ϵ X) [x ¬< a];
a es el mayor elemento de X si a ϵ X ^ (Ʌx ϵ X) [x ≤ a];
a es el menor elemento de X si a ϵ X ^ (Ʌx ϵ X) [a ≤ x];
a es una cota superior de X si (Ʌx ϵ X) [x ≤ a];
a es una cota inferior de X si (Ʌx ϵ X) [a ≤ x];
a es el supremo de X (sup Xsi a es la menor cota superior de X;
a es el infimo de X (inf X) si a es la mayor cota inferior de X.
Si (P,<) y (Q,<') son conjuntos parcialmente ordenados, y f : P → Q, entonces f es orden-preservante si
x < y → f(x) <' f(y)
Un isomorfismo de orden entre (P,<) y (Q,<') es una biyección entre P y Q que es orden-preservante.
Un orden lineal < sobre un conjunto P es un buen orden si cualquier subconjunto no vacío de P tiene elemento mínimo o menor elemento.
Los números ordinales son introducidos como tipos de orden de conjuntos bien ordenados.
Dados dos conjuntos bien ordenados, W_1 y W_2, decimos que poseen el mismo tipo de orden si son orden-isomorfos, y se escribe, entonces:
o.t. W_1 = o.t. W_2
Si W es un conjunto bien ordenado, y u ϵ W, entonces {x ϵ W: x < u} es un segmento inicial de W (dado por u).
Si W_1 es isomorfo a un segmento inicial de W_2, entonces se escribe (y dice):
o.t. W_1 < o.t. W_2
Ahora definiremos formalmente los números ordinales.
La idea es definir los números ordinales (representados, en general, por letras griegas minúsculas) de tal forma que:
α < β syss α ϵ β
y
α = {β : β < α}
Un conjunto T es transitivo si
Λx(x ϵ T → x contenido en T)
En otras palabras: UT contenido en T, o T contenido en P(T).
Un conjunto es un número ordinal (o un ordinal) si es transitivo y está bien ordenado por ϵ.
Y se define
α < β syss α ϵ β
Se pueden probar los siguientes hechos:
(a) 0 = Ø es un número ordinal.
(b) Si α es un ordinal, y β ϵ α, entonces β es un ordinal.
(c) Si α y β son ordinales, y α contenido en β, entonces α ϵ β.
(d) Si α y β son ordinales, entonces α contenido en β ó β contenido en α.
Y usando los resultados anteriores, puede ser demostrado lo siguiente:
(1) Si por Ord denotamos la clase (propia) de todos los ordinales, entonces < es un orden lineal en ella.
(2) Para cada α, α = {β : β < α }. Es decir, todo ordinal es precisamente el conjunto de los ordinales menores que él. Luego ω será el conjunto de todos los ordinales menores que él (finitos todos) y precisamente el menor ordinal que verifica dicha propiedad, como veremos. Por eso ω, el conjunto de los ordinales finitos, es el primer ordinal no finito o infinito.
(3) Si C es una clase no vacía de ordinales, entonces
nC ϵ C, y nC = inf C.
(4) Si X es un conjunto no vacío de ordinales, entonces UX es un ordinal, y UX = sup X.
(5) Para cualquier ordinal α,
α U {α} es un ordinal, y
α U {α} = inf{β : β > α}.
Al ordinal α U {α} se le denomina el ordinal sucesor de α.
Tenemos también este resultado importante:
TEOREMA.- Cualquier conjunto bien ordenado es isomórfico a un único número ordinal.
Si β = α U {α} , decimos que β es un ordinal sucesor. Si β no es un ordinal sucesor, entonces,
β = sup{α : α < β}, y se denomina un ordinal límite. Se considera a 0 un ordinal límite, definiendo sup Ø = 0.
La existencia de ordinales límite diferentes de 0 se sigue del AI. Entonces, se denota al menor ordinal límite no nulo por ω (o N). Los ordinales menores que ω (elementos de N), se llaman ordinales finitos o números naturales, de los que ya hemos hablado y definido.
Ah, no olvide esta frase que usted mismo dijo y que está al "acecho": Sin embargo, no toda propiedad constituye o genera o define un conjunto (paradoja de Russell, etc.).
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La negación del anterior aserto constituye el Axioma (falso) Esquema de Comprehensión:
Dada una propiedad φ, existe un conjunto X = {x : φ(x)}
Dicho axioma es falso, y ha de ser sustituido por el siguiente:
Axioma Esquema de Separación.- Si φ es una propiedad, entonces, para cualquier conjunto X, existe un conjunto
Y = {x ϵ X : φ(x)}.
Este axioma resuelve (entre otras, la Paradoja de Russell).
Gracias por responder.
Francisco dijo: No, no es que N esté abarcado por ω, sino que N es precisamente ω, el menor conjunto inductivo.
Respondo: ¿El n° 5 no es el conjunto que abarca, incluye, los números 0, 1, 2, 3, 4?
Por supuesto que el ordinal ω es N (concesión hipotética), pero igual que el número cinco es el conjunto de números desde 0 hasta 4, ω abarca "todos" los números naturales finitos.
Es normal que desde la teoría de conjuntos se afirme que un número natural es o está constituido por todos los números que abarca. ¿Dónde está el problema?
De hecho usted mismo confirma esta noción de abarcabilidad presente en ω cuando dice:
(2) Para cada α, α = {β : β < α }. Es decir, todo ordinal es precisamente el conjunto de los ordinales menores que él. Luego ω será el conjunto de todos los ordinales menores que él (finitos todos) y precisamente el menor ordinal que verifica dicha propiedad, como veremos. Por eso ω, el conjunto de los ordinales finitos, es el primer ordinal no finito o infinito.
Pero para que se verifique una propiedad esta tiene que existir o tiene que poder existir (ser posible, no contradictoria). Veamos cómo usted concluye su explicación para afirmar en ω la propiedad de abarcar o ser el conjunto de todos los ordinales menores que él:
Si β = α U {α} , decimos que β es un ordinal sucesor. Si β no es un ordinal sucesor, entonces,
β = sup{α : α < β}, y se denomina un ordinal límite. Se considera a 0 un ordinal límite, definiendo sup Ø = 0.
La existencia de ordinales límite diferentes de 0 se sigue del AI. Entonces, se denota al menor ordinal límite no nulo por ω (o N). Los ordinales menores que ω (elementos de N), se llaman ordinales finitos o números naturales, de los que ya hemos hablado y definido.
Respondo: En este último párrafo esperaba la "gran revelación", sobre la propiedad que constituye ω, y su respuesta (es el menor ordinal límite no nulo), no es sino un recordatorio del axioma del infinito ("Existe al menos un conjunto infinito"); dicho simplemente, afirma que hay un número (no finito) que contiene, abarca, todos los números finitos de N, o dicho de otra forma, que es el mismo N (tomado como algo completo, como totalidad).
¿Pero cuál es la propiedad de la clase a que pertenece ω? Según lo que dice usted la propiedad sería la negación de la finitud (AI) (y que, por tanto, permite abarcarla). ¿Es correcto? Si fuera así le dejo esta pregunta: ¿Se puede constituir un conjunto cuando la propiedad del elemento abarcador (contenedor, totalizador) es la negación de las propiedades de los elementos que contiene? ¿No es eso afirmar que A = no A (N = ω)? ¿En ese caso no es contradictorio afirmar que existe un ordinal límite diferente de 0?
P.D: ¿Me puede enviar un archivo word con los signos matemáticos que se suele utilizar más a menudo? Gracias.
"¿Pero cuál es la propiedad de la clase a que pertenece ω? Según lo que dice usted la propiedad sería la negación de la finitud (AI) (y que, por tanto, permite abarcarla). ¿Es correcto? Si fuera así le dejo esta pregunta: ¿Se puede constituir un conjunto cuando la propiedad del elemento abarcador (contenedor, totalizador) es la negación de las propiedades de los elementos que contiene? ¿No es eso afirmar que A = no A (N = ω)? ¿En ese caso no es contradictorio afirmar que existe un ordinal límite diferente de 0?"
No lo has entendido bien, creo, Dark. La propiedad no la define w, la definen los ordinales. Ser "ordinal" y lo que convella serlo, es decir, los resultados que enumeró Francisco, es la propiedad. Los ordinales que engloba w no son infinitos, es el número de ordinales eglobados por w, el que es infinito, es decir, su cardinal. Por tanto, por ser w el menor conjunto inductivo y por coómo hemos definido los ordinales, y por el AI, w es el menor infinito.
Maelstrom dijo: La propiedad no la define w, la definen los ordinales.
Maelstrom, lo que hay detrás de mi pregunta es la explicación que Francisco Alvarez me había dado: El concepto de número no es el fundamento de la Matemática, sino el de conjunto (incluso el de clase, anterior a él) , que es lógicamente anterior. Y el concepto de conjunto se sustenta sobre el de clase (en la axiomática NBG). A su vez, el de clase se sustenta en el de propiedad (un concepto plenamente lógico), que se supone primitivo
A partir de esto pregunto: ¿cuál es la propiedad que constituye la clase a la que pertence ω (clase que al incluir la clase de los números naturales haría de estos un conjunto)?
Si usted me dice que ω es "el menor ordinal límite no nulo", yo puedo razonablemente preguntar ¿cómo puede tener un límite no nulo una serie constituida con la fórmula n+1 que parece ser esencialmente no limitada? De ahí que, ante la aparente contradicción que hay en la afirmación del Axioma del Infinito, yo pregunte: ¿cuál es la propiedad de la clase a la que pertenece ω, que abarca N y la convierte en un conjunto? Si la única propiedad que afirmamos es la negación de la finitud, entonces no veo cómo se escapa a la contradicción de afirmar N=ω, una forma de decir A=no A.
Mi pregunta sobre la propiedad de ω es anterior a la afirmación de ω como ordinal límite, pues para poder hacer esa afirmación, ésta no puede ser contradictoria (como parece que lo es).
Por el resto de su comentario, estoy de acuerdo.
Creo que le entiendo, ¿usted lo que está diciendo es si es posible un conjunto que contenga objetos que cumplen una propiedad (finitud)diferente a la del conjunto que los contiene (infinitud)? Si es así, lo suyo no es más que una reformulación de la paradoja de Russell. Con Fraenkel esa paradoja se resuelve.
Esperemos igualmente a la respuesta de Francisco.
Igualmente Dark, en tu defensa hay que decir que hay matemáticos que objetan contra la teoría axiomática de conjuntos por no pertenecer a la categoríade lo que es computable; y hay alternativas como la Teoría de los Topos y la escuela de Grothendieck.
Es normal que desde la teoría de conjuntos se afirme que un número natural es o está constituido por todos los números que abarca. ¿Dónde está el problema?
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Es problema está en que precisamente ω, que 'abarca' a todos los números naturales, no es él mismo, obviamente, un número natural, sino el conjunto de todos ellos. Sin embargo, ω es también un número ordinal, precisamente el número ordinal 'posterior' a todos los números ordinales finitos; es decir, el primer ordinal infinito.
ω no es un número natural (porque todos ellos son finitos), pero sí es un número ordinal, el 'posterior' mínimo a todos los ordinales finitos (ordinal límite).
¿Pero cuál es la propiedad de la clase a que pertenece ω? Según lo que dice usted la propiedad sería la negación de la finitud (AI) (y que, por tanto, permite abarcarla). ¿Es correcto?
Si fuera así le dejo esta pregunta: ¿Se puede constituir un conjunto cuando la propiedad del elemento abarcador (contenedor, totalizador) es la negación de las propiedades de los elementos que contiene? ¿No es eso afirmar que A = no A (N = ω)? ¿En ese caso no es contradictorio afirmar que existe un ordinal límite diferente de 0?
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En general, no sólo se puede, sino que se debe. En efecto, si (incorrectamente, porque sólo las propiedades que se denominan colectivizantes pueden formar conjuntos) se definiera un conjunto por una propiedad cualquiera φ: X = {x :φ(x)}, el mismo conjunto X ¡no podría tener dicha propiedad!, porque, en caso contrario, sería un miembro de sí mismo: X ε X, lo cual es imposible (se puede demostrar de varias formas, también axiomáticamente). Luego si X no posee la propiedad φ, es que por el principio del tercio excluso debe poseer la propiedad ¬φ. Ahora bien, precisamente lo que distingue a los naturales (finitos todos ellos) de ω es que cada natural contiene a todos los menores que él, y él mismo es natural, pero precisamente el primer conjunto que contenga no a un número finito de naturales menores, sino a todos ellos, no puede ser él mismo un número natural, y será, en consecuencia un número ordinal infinito: el menor de todos. No hay inconsistencia alguna, sino plena consistencia en la teoría de ordinales (*). Esta es una característica de las clases 'grandes', de los conjuntos infinitos, que difieren en (algunas) propiedades de los elementos que contienen. ω es el primero ordinal infinito, pero como ordinal (conjunto infinito bien ordenado por ϵ y transitivo) tiene también las propiedades de ordinalidad que cualquier natural (conjunto bien ordenado por ϵ y transitivo), pero además posee la no-finitud, la infinitud, que ninguno de los naturales posee.
Observe que ω no posee la negación de todas las propiedades de cualquier natural n, sino sólo la de la finitud, pues ω, igual que cualquier natural n, es un conjunto bien ordenado por ϵ y transitivo (el tipo de orden de los mismos). Luego ω, igual que cualquier n, posee la propiedad de la buena ordenación por ϵ, la propiedad de transitividad y, además, caracterizándolo sobre los naturales, la de la infinitud (que contiene a todos los ordinales finitos, menores que él). Y ω es precisamente el menor ordinal que se define así, porque, por ejemplo, ω + 1 > ω, pero 1 + ω = ω. Luego ω + 1 es el siguiente ordinal infinito de ω.
En efecto, es sencillo ver (aunque en un mensaje haré la demostración formal) que, si ω = {0,1,2,...}, entonces (**):
ω + 1 = ω U {ω} = {0,1,2,...} U {ω} = {0,1,2,...,ω}
Pero:
1 + ω = {1,0,1,2,...} = {0,1,2,...} = ω
.
Por eso la suma de ordinales no es conmutativa (es decir, no para cualesquiera ordinales β,α, se verifica que β + α = α + β, como sí lo es la de naturales.
Dado que los ordinales se definen como tipos de orden de conjuntos bien ordenados por la relación de membresía o pertenencia entre conjuntos, el tipo de orden de un conjunto bien ordenado W será el único ordinal isomórfico a W.
Si lo que desea es una 'propiedad ontológica' ('mágica) de ω que no tenga ningún natural finito, además de la infinitud (de la que deriva) es que ω no puede ser alcanzado, desde la finitud de los naturales, por ninguna operación o combinación de operaciones (suma, multiplicación, exponenciación, tetración, pentación, exación, ...) que en número finito se haga sobre una finitud de naturales. Esta es una propiedad notable de inaccesibilidad de ω desde lo finito. Luego, ampliando dicha propiedad a infinitos mayores, se observa una jerarquía entre ellos, de tal manera que hay infinitos inalcanzables desde infinitos menores operando con ellos una infinidad de veces (siendo dicha infinidad a la vez menor que el infinito que se pretende alcanzar). Etc.
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(*) se puede demostrar que, α es un ordinal límite si y sólo si , para todo ordinal β < α, se verifica que β + 1 < α.
Esta es otra forma de caracterizar a los ordinales límite.
(**) La suma de ordinales se define, de forma rigurosa, mediante orden isomorfismos:
La suma de dos ordinales β,α, α + β es el menor ordinal γ ≥ α que verifica β es orden-isomorfo a {ξ : 1 ≤ ξ < γ}
(Cuando, en un 'post' nuevo, demuestre la no conmutatividad de la operación de suma de ordinales infinitos, daré otra definición de suma de ordinales más operativa y sencilla.)
Continuará...
[DARK] Es normal que desde la teoría de conjuntos se afirme que un número natural es o está constituido por todos los números que abarca. ¿Dónde está el problema?
[FRANCISCO] El problema está en que precisamente ω, que 'abarca' a todos los números naturales, no es él mismo, obviamente, un número natural, sino el conjunto de todos ellos. Sin embargo, ω es también un número ordinal, precisamente el número ordinal 'posterior' a todos los números ordinales finitos; es decir, el primer ordinal infinito.
ω no es un número natural (porque todos ellos son finitos), pero sí es un número ordinal, el 'posterior' mínimo a todos los ordinales finitos (ordinal límite).
Respondo: Casi de acuerdo con su comentario; es evidente que ω no es un número natural, pero si hice esa precisión es porque usted había dicho: No, no es que N esté abarcado por ω, sino que N es precisamente ω, el menor conjunto inductivo.
Es decir, que no sólo se da la identidad que usted afirma, sino que también ω abarca todos los números naturales, y al abarcarlos los constituye como conjunto. Una cosa no excluye la otra.
Por otra, me parece que hay una cierta inconsistencia cuando usted dice ω es también un número ordinal, precisamente el número ordinal 'posterior' a todos los números ordinales finitos: fíjese que incluso usted lo pone entre comillas… ¿desde cuando los conceptos vienen entre comillas en matemáticas? ¿No se da cuenta de que, hablando estrictamente, la serie formada por la sucesión n+1 no tiene un número natural ordinal posterior, que sea el último número natural finito, que a su vez estaría seguido (ordinalmente hablando) por otro que sería posterior a éste, y que llamaríamos ω? ¿Cómo afirmar que hay un n° ordinal posterior si no hay un n° ordinal natural anterior? Y si el concepto de anterior y posterior no vale en este sentido, para afirmar ω como un ordinal, ¿en qué puede apoyarse? ¿En la consideración de la serie N como un todo? Pero eso presupone la afirmación de ω como el elemento que abarca y da identidad a ese todo, con lo que caemos en un círculo vicioso.
De aquí pasaré a responder (en el siguiente comentario) a la cuestión de la propiedad que constituye ω, que sería la única forma de sustentar la consistencia de ω (como ve, ω también es inalcanzable no sólo desde operaciones aritméticas, sino también desde la ordinalidad –conceptos “anterior” y “posterior”-).
[DARK] Si fuera así le dejo esta pregunta: ¿Se puede constituir un conjunto cuando la propiedad del elemento abarcador (contenedor, totalizador) es la negación de las propiedades de los elementos que contiene? ¿No es eso afirmar que A = no A (N = ω)? ¿En ese caso no es contradictorio afirmar que existe un ordinal límite diferente de 0?
[FRANCISCO] En general, no sólo se puede, sino que se debe. En efecto, si (incorrectamente, porque sólo las propiedades que se denominan colectivizantes pueden formar conjuntos) se definiera un conjunto por una propiedad cualquiera φ: X = {x :φ(x)}, el mismo conjunto X ¡no podría tener dicha propiedad!, porque, en caso contrario, sería un miembro de sí mismo: X ε X, lo cual es imposible (se puede demostrar de varias formas, también axiomáticamente). Luego si X no posee la propiedad φ, es que por el principio del tercio excluso debe poseer la propiedad ¬φ. Ahora bien, precisamente lo que distingue a los naturales (finitos todos ellos) de ω es que cada natural contiene a todos los menores que él, y él mismo es natural, pero precisamente el primer conjunto que contenga no a un número finito de naturales menores, sino a todos ellos, no puede ser él mismo un número natural, y será, en consecuencia un número ordinal infinito: el menor de todos.
Respondo: Reconozco que mi pregunta estaba expresada de forma imprecisa; la reformulo a continuación con lo que añado en negrita: ¿Se puede constituir un conjunto cuando la propiedad del elemento abarcador (contenedor, totalizador) es la negación de las propiedades esencialesde los elementos que contiene?
A partir de esto pongo la pregunta de forma más precisa: ¿Cuál es la propiedad colectivizante de ω que le permite incluir “todos” los números naturales y los constituye en un conjunto?
Respecto a su respuesta tengo que hacer un matiz: aunque un conjunto no pueda tener una propiedad que lo convierta en miembro de sí mismo (por ser eso contradictorio), eso no significa tampoco que cualquier propiedad diferente de las propiedades de sus elementos sea válida para constituir el conjunto, sobre todo si esa propiedad niega alguna propiedad esencial de la serie que tiene que contener, por ejemplo: si tenemos los perros, los gatos, los pájaros, etc, los podemos englobar en el concepto colectivo de “animal”, pero no sería válido englobarlos bajo el concepto “ángel”, pues este concepto implica esencialmente seres no-físico pero reales, por lo tanto es incompatible para englobar de forma colectiva a los animales concretos, que son necesariamente físicos. Es en este sentido que yo decía que veía una contradicción en afirmar la identidad N = ω, pues ω niega la finitud de N, como el concepto “ángel” niega la esencial fisicidad de los animales concretos que debería contener y constituir en conjunto, y por lo tanto no puede contenerlo.
Tengo algo más que añadir a esta frase que usted a dicho: pero precisamente el primer conjunto que contenga no a un número finito de naturales menores, sino a todos ellos, no puede ser él mismo un número natural, y será, en consecuencia un número ordinal infinito: el menor de todos
No sé si se dio cuenta de que, lo que he puesto en negrita, supone de hecho la existencia de ω (lo que convierte N en una totalidad), pero eso es precisamente lo que se trata de demostrar: que ω está constituido por una propiedad colectivizante que no es contradictoria con un elemento esencial de la serie que ha de contener, en este caso la finitud.
Maelstrom: ¿Dónde puedo encontrar referencias interesantes para profundizar en lo que has comentado? Incluso un comentario resumen de tu parte será bienvenido. Por mi respuesta a Francisco has podido ver que no me refería a la paradoja de Russell en mi objeción.
Todo viene de una no muy vieja diatriba entre dos formas de entender los entes matemáticos que comenzó a raíz de la demostración de Hilbert de la existencia (y solamente existencia) de objetos puramente matemáticos que nadie es capaz de imaginar y menos de construir (o al menos que todavía no se nos ocurre el cómo construirlos). Llegó un tal Luitzen Brouwer (matemático Holandés) que, admitiendo la demostración de Hilbert, le negó sin embargo significado alguno. Brouwer postula que hablar de ciertas cosas ideales, como el infinito por ejemplo, es no tener ni idea de lo que se habla. Por ejemplo, Cantor solamente demostró la existencia de los números trascendentales porque postular su no existencia llevaba a contradicción. Pero lo que ocurría es que antes de Cantor la reductio ad absurdum se aceptaba porque se trabajaba con objetos y conjuntos finitos ya que para mostrar su existencia sólo había que enumerarlos, y esto es precisamente lo criticado por Kronecker y Brouwer, si aplicar el método de la reductio ad absurdum era válido para objetos infinitos. Hay una conocida frase del intuicionismo que dice "La teoría axiomática de conjuntos son las matemáticas de Dios, que sea Dios pues, quien las piense".
Para ellos, sólo lo ligado con lo real tiene verdadero significado. Es como un radicalismo del sintético a priori kantiano. Ellos creen que sólo los objetos con ligazón en el mundo real (que son pensados como analogías mundanas) son los únicos con verdadero sgnificado. Es lo que se llama intuicionismo.
Por otra parte, la literatura que encontrarás sobre el tema está exclusivamente en inglés y no sé si fue en tu blog o en el de razón atea donde mencionaste que no tienes ni pajolera idea de inglés (aunque sí de francés)...
"Tengo algo más que añadir a esta frase que usted a dicho: pero precisamente el primer conjunto que contenga no a un número finito de naturales menores, sino a todos ellos, no puede ser él mismo un número natural, y será, en consecuencia un número ordinal infinito: el menor de todos
No sé si se dio cuenta de que, lo que he puesto en negrita, supone de hecho la existencia de ω (lo que convierte N en una totalidad), pero eso es precisamente lo que se trata de demostrar: que ω está constituido por una propiedad colectivizante que no es contradictoria con un elemento esencial de la serie que ha de contener, en este caso la finitud."
Una pregunta, ¿el adverbio "todos" para usted tiene solamente significado cuando este "todos" se refiere solamente a una cantidad finita de elementos?
"si tenemos los perros, los gatos, los pájaros, etc, los podemos englobar en el concepto colectivo de “animal”, pero no sería válido englobarlos bajo el concepto “ángel”, pues este concepto implica esencialmente seres no-físico pero reales, por lo tanto es incompatible para englobar de forma colectiva a los animales concretos, que son necesariamente físicos".
Me gusta la analogía, porque ilustra lo que precisamente no es. Suponga que tenemos una población de un solo animal (sea éste un ave, un reptil, lo que sea) que se reproduce linealmente del siguiente modo: un individuo origina otro individuo (y no tiene por qué ser de la misma especie, es decir, un elefante puede originar un águila); y supongamos también que estos animales, y sus descendientes, son inmortales. Pues bien, ¿cómo sería este "concepto colectivo llamado "animales"? ¿Porque ahora se trata de un conjunto de cardinal infinito orden-isomorfo a N el concepto colectivo "animales" dejaría de tener sentido para usted?
Respondo: Casi de acuerdo con su comentario; es evidente que ω no es un número natural, pero si hice esa precisión es porque usted había dicho: No, no es que N esté abarcado por ω, sino que N es precisamente ω, el menor conjunto inductivo.
Es decir, que no sólo se da la identidad que usted afirma, sino que también ω abarca todos los números naturales, y al abarcarlos los constituye como conjunto. Una cosa no excluye la otra.
Por otra, me parece que hay una cierta inconsistencia cuando usted dice ω es también un número ordinal, precisamente el número ordinal 'posterior' a todos los números ordinales finitos: fíjese que incluso usted lo pone entre comillas… ¿desde cuando los conceptos vienen entre comillas en matemáticas?
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Algo se entrecomilla porque: a) Está siendo mencionado, y no sólo usado; b) Se define; c) Contiene más información de la que la propia palabra denota, o ha de ser matizado su significado.
Eso significa que ω = U{n : n natural} y, puesto que ω es un ordinal límite, se verifica que ω = Uω. La unión de un conjunto de ordinales se demuestra que es el menor ordinal mayor que todos ellos. La 'posterioridad' (usé esa palabra entrecomillada para intentar que me comprendiera sin emplear conceptos más técnicos) viene declarada en la propiedad de ser ω mayor que cualquier natural (ordinal finito). No es el posterior a ningún natural finito (porque entonces sería un ordinal finito, el ordinal sucesor de un cierto número ordinal finito) sino a todos ellos. Coloquialmente hablando diríamos que está después de todos ellos (en el orden definido por la relación de pertenencia entre conjuntos, puesto que un ordinal es un conjunto), y por lo tanto no es uno de ellos. Un ser omnipotente podría contar desde 0 hasta ω, luego desde ω, ω+1, ω+2, ..., hasta ω+ω, etc. Y así sucesivamente. Ese es el sentido de los números ordinales.
¿No se da cuenta de que, hablando estrictamente, la serie formada por la sucesión n+1 no tiene un número natural ordinal posterior, que sea el último número natural finito, que a su vez estaría seguido (ordinalmente hablando) por otro que sería posterior a éste, y que llamaríamos ω?
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Usted lo ha dicho: no tiene un número natural ordinal (redundancia) posterior. Evidente: no es un número natural, sino el 'posterior' a todos ellos, que es infinito, porque si fuera un ordinal finito sería un natural, y por lo tanto tendría un natural posterior. No hay un último número natural finito, sino el primero número no natural ordinal no finito, infinito, y a este lo denomino ω. ω no es el último natural (que no lo hay) sino el primer no natural posterior a todos ellos (que lo hay pues es consistente su admisión, además de poder ser demostrada mediante el Axioma del Infinito, plenamente consistente con el resto de axiomas de ZFC).
No tiene un ordinal finito posterior, pues todo ordinal finito por definición tiene un siguiente o posterior también finito; pero la consideración de un ordinal posterior a todos los ordinales finitos: ω, es un ordinal infinito, y por lo tanto no hay contradicción en su definición y/o admisión. Todo ordinal es definible como el conjunto de los ordinales menores que él (que pertenecen a él). Lo que sucede es que, en este caso de ordinal finito, yo puedo dar (enumerar) extensivamente todos los ordinales menores que n , a saber, 0,1,2, ..., n-1, y en el caso de ω (precisamente por su infinitud) ello no es posible. Pero que no pueda dar la lista completa no significa que su existencia sea inconsistente, sino simplemente que mi constitutiva finitud me lo prohíbe.
Para la consideración de los infinitos matemáticos debe abandonar sus prejuicios finitistas, la intuición que, en el trato con lo finito, usted ha adquirido, y que le impide ver la esencia de lo infinito actual, creyéndola inconsistente. Lo sería si lo infinito actual participase de las mismas propiedades de lo finito, pero con otro nombre. Ya le he explicado (y le demostraré formalmente) que la conmutatividad en la suma de ordinales, verificándose en los ordinales finitos, no lo hace en los infinitos. Luego tenemos una sencilla propiedad (la conmutatividad de la suma) que es verificada por ordinales finitos, pero que no lo es por los infinitos.
Habría inconsistencia si ,como antes le he dicho, el número posterior a todos los ordinales finitos fuera también finito. Pero no lo es. Precisamente ω tiene la propiedad (que ningún natural finito tiene ) de que si n ϵ ω (esto es, n < ω), entonces n+1 ϵ ω (n+1 < ω). Y ademés es el menor ordinal con dicha propiedad.
¿Cómo afirmar que hay un n° ordinal posterior si no hay un n° ordinal natural anterior?
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Porque no es un ordinal 'posterior' a otro ordinal (su posterior, que es único) sino a un conjunto de ordinales. ω no es un ordinal sucesor (es decir, no es un ordinal de la forma α + 1, con α un ordinal. ), sino un ordinal límite, precisamente este:
ω = sup {α : α < ω} = Uω
Hay dos tipos de ordinales:
a) Ordinales sucesores. Son de la forma α = β + 1 = β U {β}.
b) Ordinales límite. Son los que no son ordinales sucesores, luego si β es uno de ellos, entonces:
β = sup {α : α < β} = Uβ.
Es decir, que los ordinales forman dos clases exhaustivas y mutuamente excluyentes. Un ordinal límite es precisamente el que es igual a su unión conjuntista. Por esto último podemos decir que un ordinal límite es 'posterior' a todos los ordinales menores que él (esto también sucede en los ordinales finitos), pero carece de 'anterior' (esto es exclusivo de los ordinales límite). Su dificultad se diluye entonces, pues 'ser posterior a' no significa que haya un anterior. Eso sólo en los ordinales sucesores (finitos o no)
Y si el concepto de anterior y posterior no vale en este sentido, para afirmar ω como un ordinal, ¿en qué puede apoyarse? ¿En la consideración de la serie N como un todo? Pero eso presupone la afirmación de ω como el elemento que abarca y da identidad a ese todo, con lo que caemos en un círculo vicioso.
De aquí pasaré a responder (en el siguiente comentario) a la cuestión de la propiedad que constituye ω, que sería la única forma de sustentar la consistencia de ω (como ve, ω también es inalcanzable no sólo desde operaciones aritméticas, sino también desde la ordinalidad –conceptos “anterior” y “posterior”-).
A partir de esto pongo la pregunta de forma más precisa: ¿Cuál es la propiedad colectivizante de ω que le permite incluir “todos” los números naturales y los constituye en un conjunto?
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Por ejemplo, esta:
'ω es el menor ordinal que tiene como elemento el 0 y que, para todo ordinal finito α ϵ ω, entonces α U {α } ϵ ω'
De esta propiedad que sólo verifica ω se deduce que ω no es posterior a ningún ordinal. Eso es un ordinal límite. ω contiene a todos los ordinales posteriores (y anteriores, salvo el 0) de los ordinales finitos, sin serlo él (posterior, pero sí anterior a su siguiente, ω + 1). Y precisamente porque no es posterior a ningún ordinal finito concreto (sino a todos ellos como conjunto, pues es la unión conjuntista, que existe por el Axioma de la Unión, de todos los ordinales finitos) es infinito, y por ser el menor ordinal que verifica esto, se llama ω.
O por ejemplo, esta:
Sea φ la propiedad 'ser ordinal mayor que todos los ordinales finitos'
Obviamente φ es una propiedad. Luego define una clase:
Θ = {x : φ(x)}
Entonces ω ϵ Θ (además de ω, todos los ordinales mayores que ω verifican dicha propiedad. Es decir, todos los ordinales -mayores que todos los finitos- pertenecientes a la clase propia Ord, de todos los ordinales, y mayores que ω, verifican esa propiedad) y, precisamente:
ω = min Θ.
Puesto que, por definición de ordinal, toda clase de ordinales está bien ordenada.
Etc.
Maelstrom dijo: Una pregunta, ¿el adverbio "todos" para usted tiene solamente significado cuando este "todos" se refiere solamente a una cantidad finita de elementos?
Francisco dijo: Y precisamente porque no es posterior a ningún ordinal finito concreto (sino a todos ellos como conjunto, pues es la unión conjuntista, que existe por el Axioma de la Unión, de todos los ordinales finitos) es infinito, y por ser el menor ordinal que verifica esto, se llama ω.
Respondo: Maelstrom, veo que percibió por donde van los tiros. ¿Cuando decimos "todos" qué queremos decir? Sobre todo una clase de algo que existe actualmente con una cierta(s) propiedad(es), (de forma real o irreal -o sea, exclusivamente mental-). Fíjese que he dicho "clase", no "conjunto".
Pero lo problemático es que a la noción de totalidad se le introduce el aspecto de la posibilidad (=lo que no es actualmente pero puede llegar a serlo).
Así, cuando se habla de la serie de los números naturales se suele hacer una mezcla de existencia actual con existencia posible (en el sentido de no ser actual, pero puede llegar a serlo).
Cuando actualizamos con nuestro pensamiento los números que antes sólo eran posibles, pero que todavía no existían, entonces obtenemos totalidades finitas.
Cuando los defensores del infinito afirman que hay un "más allá" de los números finitos, no hacen otra cosa sino negar los números finitos, pretendiendo que esta negación constituye el límite inalcanzable que contiene "todos" los números finitos: el infinito.
Pero fíjense en este pequeño detalle: ¿qué abarca la negación contenida en el infinito? ¿Cuál es la finitud que se niega? Un conjunto finito y actual de números naturales más un conjunto posible de números naturales (que no existen actualmente).
Y como lo simplemente posible (y no existente actualmente) no puede negarse (a no ser que sea contradictorio), nos queda que la negación de la finitud propia del infinito no es, de hecho, sino la negación de un conjunto finito y actual. Por lo que al afirmar que N = ω se está diciendo que A = no A. La negación de nuestro querido matemático no llega a abarcar y a contener lo que no existe actualmente (lo simplemente posible), y su negación, de hecho, sólo alcanza a negar un conjunto finito actual, lo cual es contradictorio, pues es evidente que este existe.
Espero haber salido al paso a la objeción que Francisco repite a menudo: que el hecho de que no se abarque extensivamente la serie de los naturales no significa que no se la abarque comprensivamente.
No se abarcan meras posibilidades, sino sólo existencias actuales, y estas son finitas.
Respondiendo a su pregunta Maelstrom: sí, cuando digo "todos" de hecho me refiero a una cantidad finita (una redundancia, por cierto), y siendo más preciso a una clase, que no es un conjunto en el caso de los naturales pues la clase de propiedad que abarcaría N está constituida por una propiedad contradictoria: la negación la finitud de N.
Un tema a profundizar: la totalidad, la totalidad como clase, y la totalidad como conjunto (clase abarcada por otra clase).
Entonces dark, ¿si quisieras probar una propiedad que se cumple para todo número natural, es decir, por eemplo \/n de N => n+1 es de N, cómo lo harías? La lógica matemática debería desecharse y utilizar una especie de método científico empírico análogo al usado en las ciencias experimentales. Tus pruebas matemáticas serían válidas hasta que encontráramos un contraejemplo. ¿Pero cómo encontrarías ese contraejemplo en un conjunto, N, que se define como inductivo?
La única explicación coherente que se me ocurre que pudieras dar es: no existe o no podemos definir tal propiedad para todos los naturales.
¿Qué tiene de extraño el aceptar el aspecto "empírico" de las matemáticas (que es un lenguaje)?
Fíjate que el concepto de infinito ejerce una función útil en matemáticas, por lo cual no veo que haya que desecharlo; otra cosa es que, el concepto en sí mismo esté libre de contradicción, pero si, dentro del armazón conceptual que lo contiene, su función es útil, ¿para qué renunciar a él?
En todo caso, creo que hay que profundizar en el aspecto temporal que está implicado en una noción tan primitiva como "todo" (es otra forma de abordar el análisis de otra noción primitiva: la relación de pertenencia). Comprendo que los matemáticos se pongan un poquito nerviosos cuando se introduce la temporalidad en las bases de la lógica matemática. ¿Y de dónde surgen los llamados conceptos primitivos en matemáticas sino de nuestra experiencia espacio-temporal (aunque no se limite a ella)?
No hay que desechar la lógica matemática, pero sí hay que desmitificarla un poco.
Creo que el problema del infinito matemático es que, se convierte (se hispostasia) una función práctica dándole categoría de concepto. En el ejemplo que citas basta con afirmar que N no tiene un n° último de la serie para que las pruebas funcionen; no hay necesidad de imaginar (porque es eso lo que se hace) una vaga bruma de números naturales encerrados en el redil del infinito, que los contendría a "todos"... ¿"todos"? ¡pero si no hay "todos"! ¡Hay todos los que quieras!
La expresión "para todo n° natural" evidentemente tiene un aspecto de exhaustividad, la diferencia es que yo la limito a su aspecto práctico y funcional, sin pretender que se ha creado un nuevo concepto.
Otro aspecto a profundizar sería la comprensión de la contradicción dentro de un sistema conceptual; lo digo porque, ciertas funciones prácticas según como se las mire son perfectamente válidas, pero si se cambia la perspectiva pueden aparecer como contradictorias.
Respondo: Maelstrom, veo que percibió por donde van los tiros. ¿Cuando decimos "todos" qué queremos decir? Sobre todo una clase de algo que existe actualmente con una cierta(s) propiedad(es), (de forma real o irreal -o sea, exclusivamente mental-). Fíjese que he dicho "clase", no "conjunto".
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1º.- Su definición es circular. Si para definir el alcance de un cuantificador universal precisa hacerlo precisamente sobre la clase (actual o no, dejemos ahora eso) a la que alcanza, está definiendo falazmente este concepto. El cuantificador universal es posterior a la clase (conjunto) a la que su alcance pertenece. Siempre decimos para todo x de la clase o conjunto y, luego presuponemos una clase o conjunto y de la que (de cuyos miembros) vamos a decir algo. Incluso con las clases universales (la clase de todos los conjuntos, por ejemplo, una clase propia, o la clase de todos los ordinales, etc.), hay un universo sobre el que el cuantificador universal despliega su alcance.
2º.- El todos o para todo en Matemáticas siempre se refiere a objetos matemáticos actuales, entre otras cosas porque lo posible, la existencia posible, no tiene cabida en una Matemática rigurosa. Es un concepto puramente metafísico, no matemático. Todo lo que existe en Matemáticas existe actualmente. Más aún, existe eternamente, con independencia de las mentes humanas que lo descubren. Las verdades y conceptos de las Matemáticas son intemporales. El tiempo, salvo para estudiarlo topológicamente (o métricamente) no tiene cabida en las Matemáticas. No es un concepto matemático.
Pero lo problemático es que a la noción de totalidad se le introduce el aspecto de la posibilidad (=lo que no es actualmente pero puede llegar a serlo).
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Todo lo que, en Matemáticas, no es contradictorio (no implica contradicción) existe (o podemos aceptarlo como existente -actualmente, por supuesto). Lo 'posible', salvo en la Lógica Modal, no tiene sentido en Matemáticas. Cuando demuestro, por ejemplo, el Teorema Fundamental del Álgebra (a saber, que toda ecuación polinómica, con coeficientes complejos, de grado n, tiene n raíces complejas), no estoy haciendo una demostración posible de posibles polinomios con coeficientes complejos posibles, sino una demostración sobre todos los polinomios con coeficientes complejos. Sería ridículo incluir, en el enunciado del teorema, la voz 'posible', que como digo no tiene cabida en la Matemática formal. El 'poder llegar a ser', la potencia de ser, es un concepto metafísico, no matemático, y no es admisible usarlo fuera de su dominio de expresión.
Así, cuando se habla de la serie de los números naturales se suele hacer una mezcla de existencia actual con existencia posible (en el sentido de no ser actual, pero puede llegar a serlo).
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No hay tal cosa como números naturales actuales y números naturales posibles. Y, para apercibirnos de semejante absurdo, probemos esta aserción (por esta vez incluiré el concepto de 'actualidad' en una demostración formal):
PROPOSICIÓN.- El conjunto N de (todos) los números naturales es actualmente existente.
Demostración. Dado que un número natural no puede ser, a la vez, posiblemente existente y actualmente existente, podemos clasificar o dividir el conjunto N en dos subconjuntos disjuntos y que exhaustivan N, a saber: N_actual y N_posible, de tal forma que se verifica:
N = N_actual U N_posible. (1)
Por la ley del Tercio Excluso, o bien existe el número natural:
m = máx N_actual
o no existe.
Si no existe m, es decir, si no hay un máximo número natural en N_actual, es que, para todo n ϵ N_actual, n ϵ N (definición de máximo del subconjunto N_actual de N, por (1)). Luego N existe actualmente, puesto que N no es sino la reunión de sus elementos.
Sea ahora m = max N_actual. Ahora bien, 1 tiene, evidentemente, existencia actual, y la operación suma de dos naturales actualmente existentes es actualmente existente , luego lo es el resultado de la suma (que no tiene sentido sin la suma actual de dos números naturales actuales): m + 1.
Luego m + 1 existe actualmente, contra la hipótesis. Q.E.D.
Según Dark el conjunto N no existe como totalidad dada actualmente, pues sólo lo hace un subconjunto, finito, del mismo: N_actual. Acabamos de ver que eso es absurdo.
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Cuando actualizamos con nuestro pensamiento los números que antes sólo eran posibles, pero que todavía no existían, entonces obtenemos totalidades finitas.
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1º.- En Matemáticas hay números, conjuntos, espacios, etc. No hay tales cosas como números posibles o actuales, espacios posibles o actuales, relaciones posibles o actuales, etc. Eso es un sinsentido.
2º.- Cuando yo pienso, pienso en acto, tengo el acto de pensar. Y, cuando no pienso (estando en coma, por ejemplo, suponiendo que el coma reduzca mi conciencia a cero, cosa que es cuestionada por algunos neurólogos), tengo la potencia de hacerlo, pero no tengo un pensamiento posible. Un pensamiento posible tiene la misma realidad y consistencia que un ente matemático posible. Es un mero juego de palabras inane. Yo puedo tener el pensamiento de un pensamiento posible, pero no un pensamiento en posibilidad. No tiene sentido un pensamiento pasado o futuro. En todo caso el pensamiento actual de un pensamiento pasado o futuro, pero nada más.
Cuando los defensores del infinito afirman que hay un "más allá" de los números finitos, no hacen otra cosa sino negar los números finitos, pretendiendo que esta negación constituye el límite inalcanzable que contiene "todos" los números finitos: el infinito.
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Los 'defensores del infinito' son los que observan que, sin este concepto, casi todo el edificio de la Matemática es inservible, y conceptos tan importantes para explicar la realidad física como el de espacio de Hilbert, integral de Lebesgue, ramas enteras de la misma como el Análisis Matemático, el Análisis Funcional, etc., no tienen cabida formal consistente. En Matemáticas no hay que 'defender nada' partiendo de presupuestos ideológicos (como los del finitismo del Materialismo Filosófico, que niega la existencia del infinito matemático actual simplemente porque no cuadra con sus apriorístico y mendaz sistema filosófico. Menuda razón), sino para admitir algo, establecer la no contradictoriedad de los conceptos (finitos o infinitos) que se introduzcan o que se descubran. Pura y simplemente. Las discusiones ideológico-metafísicas son ajenas a la Matemática. En todo caso pertenecen a una disciplina paralela pero disjunta (formalmente) con ella : la Filosofía de la Matemática.
Pero fíjense en este pequeño detalle: ¿qué abarca la negación contenida en el infinito? ¿Cuál es la finitud que se niega? Un conjunto finito y actual de números naturales más un conjunto posible de números naturales (que no existen actualmente).
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Un conjunto es finito si es biyectable con un número natural. Luego si no lo es, es infinito. Lo que se niega en un conjunto finito es la existencia de una aplicación biyectiva entre dicho conjunto y un número natural. Así de sencillo. Luego, se pueden dar más definiciones de infinitud de conjuntos, todas ellas isomorfas entre sí, esto es, deducibles unas de otras.
Los conceptos de actual y posible no tienen lugar en Matemáticas. Son, como le dije, de origen metafísico. Sólo por ello sobrarían todas las discusiones sobre su procedencia en esta ciencia. Para el resto, recurro a la Proposición demostrada.
Y como lo simplemente posible (y no existente actualmente) no puede negarse (a no ser que sea contradictorio), nos queda que la negación de la finitud propia del infinito no es, de hecho, sino la negación de un conjunto finito y actual.
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No. Esa no es la definición de conjunto infinito. En la definición de conjunto infinito se niega la finitud, no la finitud y la actualidad, presuntamente concomitante de sólo lo finito. ¿Por qué no puede haber objetos, matemáticos o no, infinitos? ¿Qué clase de apriorismo ontológico es el que afirma que sólo lo finito tiene actualidad? Precisamente lo finito exige una fundamentación no finita del mismo. Si sólo pudiera existir actualmente lo finito, no habría nada, puesto que la indigencia ontológica de lo finito reclama un ser infinito que la fundamente, que le de el ser limitado que posee, que no es el ser mismo: Dios. Y nada hay más actual que Dios, Actualidad Pura. Es de lo finito de lo que podríamos predicar posibilidad. Nada finito es necesario, sino meramente posible, contingente. Sólo un ser infinito puede ser necesario. Y los conceptos matemáticos precisamente pertenecen al Paisaje Mental, o Clase de Todas las Ideas, contenida en la Mente de Dios. De ahí su intemporalidad, su trascendencia de lo finito humano, su eternidad, en definitiva, su coeternidad con Dios.
Por lo que al afirmar que N = ω se está diciendo que A = no A.
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Le he demostrado varias veces que eso es falso. Cada aserción suya me sugiere extensos comentarios aclaratorios y/o refutatorios, por lo que, para evitar extenderme y prolongar mi tiempo de conexión (desatendiendo asuntos que reclaman mi atención) procuraré ser breve.
Voy a demostrar una vez más que N (ω) es un conjunto.
Antes doy dos axiomas del ZFC (en realidad es un mismo axioma declarado de dos formas distintas, pero nominado diferentemente por dos autores).
AXIOMAS de SUBCONJUNTO.- Para cada fbf φ que no contenga B, se verifica:
Λt_1 ... Λt_k Λc ƎB Λx (x ϵ B ↔ x ϵ c ^ φ)
Que dicho en román paladino, afirma: para todo t_1, ..., t_k y c, existe un conjunto B cuyos miembros son exactamente aquellos x en c tales que φ.
AXIOMA ESQUEMA DE SEPARACIÓN.- Sea φ(u,p) una fórmula.
ΛX Λp ƎY Λu (u ϵ Y ↔ u ϵ X ^ φ(u,p)).
A este axioma se le puede dar esta forma:
Sea la clase C = {u : φ(u,p)}. Entonces
ΛX ƎY (C ∩ X = Y)
O, dicho verbalmente: la intersección de una clase con un conjunto es un conjunto. O, más informalmente: una subclase de un conjunto es un conjunto.
Una Consecuencia sencilla es esta: Si C es una clase no vacía de conjuntos, entonces ∩C es un conjunto.
También doy este axioma (que lo renombro para que Dark no se obsesione con ciertos conceptos).
AXIOMA DEL CONJUNTO INDUCTIVO.-
ƎS [Ø ϵ S Λ (Ʌx ϵ S) [x U {x} ϵ S]]
Pues bien, definimos N de la siguiente forma:
N = ∩{X : X es inductivo}
Ahora se prueba fácilmente que N es un conjunto.
Prueba 1.
En efecto, la clase (definida por la propiedad correspondiente) de conjuntos inductivos es no vacía, por el Axioma del Conjunto Inductivo. Y como, por la consecuencia del Axioma Esquema de Separación, la intersección de una clase no vacía es un conjunto, se concluye que N es un conjunto. Obviamente, un conjunto dado actualmente, pues todas las operaciones y clases están definidas actualmente, como no podía ser de otra forma.
N, el conjunto actual de los números naturales (que como ordinal se denomina ω, es el menor conjunto inductivo. Y sus primeros elementos, como ya se ha denotado, se escriben:
0 = Ø
1 = {0}
2 = {0,1}
y si n ϵ N, se escribe n + 1 = n U {n}
Además, se define < sobre N por:
n < m ↔ n ϵ m
Prueba 2.
Partimos de una definición, un axioma (la otra forma del Axioma Esquema de separación) y otra definición.
DEFINICIÓN.- Para cualquier conjunto a, su sucesor a+ se define por: a+ = a U {a}
Ahora decimos que un conjunto A es inductivo si y sólo si Ø ϵ A, y (Ʌa ϵ A) a+ ϵ A.
Axioma de Subconjunto. El anteriormente dado con ese nombre.
DEFINICIÓN.- Un número natural es un conjunto que pertenece a cualquier conjunto inductivo.
TEOREMA.- Hay un conjunto cuyos miembros son exactamente los números naturales.-
Demostración.- Sea A un conjunto inductivo. Por el Axioma del Conjunto Inductivo es posible encontrar tal conjunto. Por el Axioma del Subconjunto, hay un conjunto ω tal que, para cualquier x,
x ϵ ω ↔ (x ϵ A) ^ (x pertenece a cualquier otro conjunto inductivo)
↔ x pertenece a cualquier conjunto inductivo.
Q.E.D.
El conjunto de todos los números naturales es denotado por ω:
x ϵ ω ↔ x es un número natural
↔ x pertenece a cualquier conjunto inductivo.
En términos de clases, se tiene:
ω = ∩{A | A es inductivo}
Pero la clase de todos los conjuntos inductivos no es un conjunto, sino una clase propia. Y la intersección de una clase no vacía es un conjunto, como hemos visto antes.
.
La negación de nuestro querido matemático no llega a abarcar y a contener lo que no existe actualmente (lo simplemente posible), y su negación, de hecho, sólo alcanza a negar un conjunto finito actual, lo cual es contradictorio, pues es evidente que este existe.
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Si defino un conjunto finito como el que es biyectable con un número natural, como conjunto infinito el que no posee esta propiedad, o si defino como conjunto infinito el que es biyectable con un subconjunto propio, su aparente dificultad se desvanece, porque al definir la infinitud (que obviamente es la negación de una propiedad conjuntista, no de ningún conjunto de números, como usted da a entender) estoy negando la propiedad contraria, no a ningún conjunto. No tienen sentido matemático en ZFC las negaciones de conjuntos (lo más parecido a la 'negación de un conjunto A, subconjunto de X, sería el complementario de A, respecto de X: X - A, pero eso no es de lo que estamos hablando). Se niegan propiedades, atributos, predicados lógicos, enunciados proposicionales, etc., pero no conjuntos. No podemos argumentar utilizando conceptos mal comprendidos. De igual forma que, por ejemplo, cuando afirmo que una determianada función real de variable real es no-diferenciable, no estoy negando ninguna función, sino la propiedad de diferenciabilidad de una función. Etc.
Espero haber salido al paso a la objeción que Francisco repite a menudo: que el hecho de que no se abarque extensivamente la serie de los naturales no significa que no se la abarque comprensivamente.
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Cuando expuse estas nociones, aclaré que pertenecían a la época clásica de la Teoría de Conjuntos. Hoy en día contamos con una Teoría de Conjuntos plenamente axiomatizada, y las cosas se definen de otra forma más consistente, para evitar las paradojas que contaminaron los fundamentos de la Matemática a principios del siglo XX. La actual Teoría de conjuntos ZFC (o su isomorfa, la Teoría de Clases NBG) es una teoría formal axiomática, con lo que ello implica lógicamente.
Y no olvidemos que la Lógica Matemática es no sólo absolutamente necesaria para la Matemática y sus Fundamentos, sino que incluso podemos decir que toda la Matemática es deducible de ella. Y como la Física no es nada sin la Matemática, tenemos que, por una especie de transitividad de fundamentación de teorías, no tendríamos Física sin Lógica Matemática. Así que no despreciemos tan preciada joya intelectual.
No se abarcan meras posibilidades, sino sólo existencias actuales, y estas son finitas.
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0º.- Que lo que abarque sea finito no implica que lo abarcado lo sea. Yo puede 'abarcar' finitamente la infinitud (es lo que hago con Dios, al conocer su existencia y atributos, aun siendo un ser finito. Lo que de Dios se es finito, y finitamente lo conozco en esta vida, pero el ser, conocido finitamente, puede ser infinito a su vez, como Dios, sin que quepa contradicción), si estoy dotado para ello (esa potencia humana me dice que no soy reductible a sólo materia, que hay un elemento supramaterial en mí que, aunque acotado por la finita materia, es capaz de trascenderla de alguna forma). Esto, como comento posteriormente, también sucede con los seres finitos conocidos por otro ser finito.
1º.-Si la existencia (actual o no) dependiera de la aprensión cognoscitiva por un ente cognoscente, no existiría casi nada, y algunas cosas existirían y no existirían al mismo tiempo, en función de que fueran aprehendidas por unos, pero no por otros. Los objetos matemáticos infinitos pueden perfectamente existir extramentalmente (en el Paisaje Mental, o Clase de Todas las Ideas, contenido en la Mente de Dios), y el humano descubrirlos (en su totalidad o en algunas de sus propiedades, sin aprehenderlos completamente, como ocurre con los conjuntos infinitos) o no.
2º.- Además, contamos con al menos un ente infinito actualmente existente (tan actualmente, que sin Él nada existiría): Dios. Dios no sólo posee absoluta actualidad, sino también absoluta actuidad, por ser Acto Puro, sin mezcla alguna de potencialidad, como puede probarse.
3º.- Yo puedo conocer perfectamente la existencia de un ente, pongamos Pedro, sin agotar lo que Pedro es, aun siendo finito. Que mi conocimiento de Pedro sea parcial no implica que sólo lo que operativamente (funcionalmente, como usted dice) sea conocido de Pedro, tenga actualidad (como si en Pedro hubiera dos entes: el que es actualmente conocido por un cognoscente, y el resto). En Pedro, no sólo tiene actualidad lo que puedo conocer actualmente de Pedro, sino todo lo que Pedro es, lo conozca actualmente o no. A mayor abundamiento, esto es cierto con objetos que trascienden las potencias intelectivas humanas. Puedo conocer la existencia de un conjunto infinito, su infinitud, ambos conocimientos actuales sin que, sin inconsistencia o contradicción, no pueda actualizar (por razones obvias) a todo el conjunto, como en Pedro.
4º.- ¿Cómo puede afirmar que sólo es cognoscible actualmente lo finito o que sólo lo finito es cognoscible actualmente?
De
(1) Conozco finitamente algo.
no de deduce que
(2) Lo conocido por mí es finito.
Ni siquiera actualmente. Todo lo que de (1) podemos afirmar es que conozco algo actualmente y que lo conozco de manera finita, pero nada podemos afirmar sobre la naturaleza actual (finita o no) de lo conocido por mí actualmente.
Igualmente, de
(1') Conozco infinitamente algo.
no se deduce que
(2') Lo conocido por mí es infinito.
Todos los actos de Dios (indistinguibles de Dios mismo) son infinitos, como el Ser divino; pero eso no quiere decir que lo conocido por Dios (creado por Él) lo sean también. Dios conoce/crea infinitamente cosas finitas, como el hombre, los ángeles y el Universo. El humano conoce finitamente cosas que pueden ser finitas o infinitas, sin que en ninguno de los dos casos quepa decir que el conocimiento humano de dichas cosas las agote. No, obviamente, en el caso infinito.
Pero todas estas reflexiones son meramente filosóficas, no matemáticas. Y me temo que la dificultad de aceptación por parte de Dark del infinito matemático actual es de naturaleza filosófica, no matemática.
Francisco dijo: Pero todas estas reflexiones son meramente filosóficas, no matemáticas. Y me temo que la dificultad de aceptación por parte de Dark del infinito matemático actual es de naturaleza filosófica, no matemática.
Respondo: El que esté libre de pecado que tire la primera piedra. Yo no escondo que mi investigación se dirige hacia las raíces filosóficas de la matemática, pero al menos intento apoyar las matemáticas en el ser que las piensa, el ser humano. En cambio usted apoya la actualidad de los conceptos matemáticos en una más que dudosa analogía: las ideas en la mente de Dios (Ser simple en el cual ser y pensar es una sola cosa). A parte de ser una cuestión muy oscura para nosotros, eso del "pensamiento de Dios", y por lo tanto no ayuda a clarificar, las analogías no son demostrativas.
Hay que progresar de lo más claro a lo menos claro, sino podemos extraviarnos fácilmente. Me parece que es ilusorio intentar hacer abstracción del humus empírico, espacio-temporal de los conceptos raíz de las matemáticas, pues caemos en el riesgo de pretender haber concebido conceptos cuando en realidad sólo hemos dado nombres a ciertas experiencias subjetivas confusas.
Ahora no puedo responder a su larga exposición (en los próximos días lo haré), que quede como intermedio este último pensamiento: me parece que usted confunde la apertura de la mente humana al infinito ontológico que es Dios (que no es abarcable por nuestra mente), con una supuesta capacidad de la mente humana para constituir mentalmente el infinito a partir de finitudes matemáticas (con los fuegos de artificio llamados "biyecciones", "totalidades", etc); creo que usted traslada esa apertura mental humana al infinito ontológico (sin abarcarlo), a la capacidad de concebir el infinito matemático, donde sí que se da una abarcamiento (en mi opinión ficticio, imaginativo, pero no conceptual).
Saludos.
Respondo: El que esté libre de pecado que tire la primera piedra. Yo no escondo que mi investigación se dirige hacia las raíces filosóficas de la matemática, pero al menos intento apoyar las matemáticas en el ser que las piensa, el ser humano.
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Que el humano sea capaz de escudriñar el universo matemático no implica que el humano lo cree. Puede ocurrir que, como así sucede con determinados conceptos matemáticos (como Penrose admite, por ejemplo respecto del conjunto de Maldelbrot o del cuerpo de los complejos) el humano descubra dichos conceptos y sus relaciones, en lugar de 'crearlos'. La eficacia explicativa de la Matemática sobre la realidad física (eficacia creciente, a medida que las teorías físicas se hacen más abstractas, más matematizadas) no es explicable si la Matemática fuera mera creación de la mente humana, y esta se nutriera para dar cuenta de la realidad de meros experimentos/experiencias extramentales, poco frecuentes con respecto a la universalidad de la ley física.
Además, como le he mostrado (y de-mostrado) hay constructos matemáticos totalmente ajenos a la realidad empírica, que no poseen correlato alguno (ni siquiera aproximado) con ella, e inducir que son meras abstracciones de la misma (sin sustancia existencial propia) es poco razonable. Es una creencia empirista no probada sobre el origen del todos los conceptos matemáticos. Ya le dije que precisamente en un estado de aislamiento de lo real sensorial es cuando el matemático más profundiza en su Ciencia, descubriendo conceptos, relaciones, estructuras, de una riqueza inexplicable por un simple origen empírico. Eso es un átomo de evidencia de que esas estructuras son más accesibles a la inspección sólo después de un ejercicio de aislamiento sensitivo.
En cambio usted apoya la actualidad de los conceptos matemáticos en una más que dudosa analogía: las ideas en la mente de Dios (Ser simple en el cual ser y pensar es una sola cosa).
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En absoluto. Yo apoyo la actualidad de los conceptos matemáticos por una cuestión de consistencia teórica. No tienen sentido científico los conceptos matemáticos meramente posibles. Le repito que lo 'posible' o 'temporal' no tiene cabida en Matemáticas (salvo para ser ello mismo objeto de estudio lógico-matemático). No hay tal cosa como una Matemática lógico-conceptualmente dependiente del tiempo. El Teorema de los Números Primos, por ejemplo, demostrado por Euclides hace más de dos mil años, sigue siendo plenamente válido (igual que su demostración primigenia) hoy tanto como entonces (y lo seguirá siendo eviternamente). En Matemáticas es susceptible de existencia todo lo no contradictorio, y susceptible de inexistencia lo que implica contradicción. He demostrado por activa y pasiva que su tesis de no existencia actual de determinados conceptos matemáticos es contradictoria (implica contradicción). Luego es falsa, inadmisible. Y todo lo que usted me ofrece para apoyarla es un prejuicio finitista semiderivado de una concepción falaz de la realidad (la del Sistema del Materialismo Filosófico y sus secuaces ideológicos). Y es curioso que me acuse de apriorismo ideológico quien no admite demostraciones estrictamente técnico-matemáticas de la existencia del infinito matemático actual. O que cite a autores como Lara, que pretenden hacer filosofía de la Matemática desde la ignorancia de esa ciencia, como he denunciado.
A parte de ser una cuestión muy oscura para nosotros, eso del "pensamiento de Dios", y por lo tanto no ayuda a clarificar, las analogías no son demostrativas.
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Se equivoca. De la misma forma que puedo demostrar causalmente la existencia de Dios desde de sus efectos en lo creado (que reclaman una causa suficiente de su ser), puedo atisbar, en los más notables conceptos matemáticos (el universo de los infinitos matemáticos es una prueba) una razón intelectual que trasciende la materia, esencialmente finita y sin capacidad por sí misma de trascender lo finito. Es una mera aplicación epistemológica del Principio de Causalidad el descubrimiento de conceptos, de entidades captables por la mente, que no son ni pueden ser reductibles a explicación material.
Más adelante expondré, en un nuevo mensaje, una demostración de la inmaterialidad de la mente humana, con argumentos lógico-matemáticos.
Me parece que es ilusorio intentar hacer abstracción del humus empírico, espacio-temporal de los conceptos raíz de las matemáticas, pues caemos en el riesgo de pretender haber concebido conceptos cuando en realidad sólo hemos dado nombres a ciertas experiencias subjetivas confusas.
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Perdone usted. Una 'experiencia subjetiva' (¿cómo sabe que estas experiencias matemáticas, universales por sí mismas, son subjetivas? ¿No será más subjetiva la impresión o conocimiento presunto de la propia subjetividad de dichas experiencias?) no construye el soberbio y preciso edificio matemático, capaz de comprender la realidad hasta límites de descripción inauditos. O bien el hombre tiene una especie de 'revelación de la materia' en dichas experiencias subjetivas constructoras de dicho edificio, o es que hay un átomo de realidad en la trascendencia de la mente humana sobre la materia, que es capaz de superarla para aprenderla intelectualmente, y que constituiría una evidencia de su no reductibilidad a materia. Etc.
Ahora no puedo responder a su larga exposición (en los próximos días lo haré), que quede como intermedio este último pensamiento: me parece que usted confunde la apertura de la mente humana al infinito ontológico que es Dios (que no es abarcable por nuestra mente),
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Vuelve a confundir la 'abarcabilidad' de algo con la abarcabilidad de su existencia y algunos de sus atributos. No sólo existe lo completamente abarcable pro la mente humana, sino lo que, no siéndolo, es abarcado existencialmente (es aprehendido como existencialmente existente, aunque no quepa su aprehensión completa). Por ejemplo, los infinitos matemáticos actuales que, aun no siendo aprehensibles completamene por el humano, si lo son en su existencia y propiedades.
con una supuesta capacidad de la mente humana para constituir mentalmente el infinito a partir de finitudes matemáticas (con los fuegos de artificio llamados "biyecciones", "totalidades", etc);
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Es que la mente humana no 'construye' mentalmente el infinito matemático a partir de finitudes. (¿Por qué la mente irracional animal es incapaz de siquiera proponérselo?) Lo descubre. Y, sinceramente, llamar 'juegos de artificio' a conceptos que son capaces de explicar lo real con precisión, es ridículo,. En todo caso juegos de artificio (sin importancia no meramente especulativa) las argumentaciones de los finitistas y materialistas filosóficos cuyo sistema es incapaz de explicar lo real con un mínimo de precisión, e incapaz de predecir su comportamiento, como sí hace la Física Teórica, haciendo uso imprescindible de esos que usted displicentemente denomina 'juegos de artificio intelectuales'. Alguna brizna de realidad y potencia explicativa deben poseer semejantes 'juegos de artificio alejados de la realidad' como para dar cuenta cabal de la misma, tal y como lo hace la Física Matemática. Y eso, esa eficacia predictivo-descriptiva, sí es una evidencia experimental de su capacidad, y no meras especulaciones filosóficas de un sistema falaz, que por algunos es preaceptado sin análisis crítico alguno.
creo que usted traslada esa apertura mental humana al infinito ontológico (sin abarcarlo), a la capacidad de concebir el infinito matemático, donde sí que se da una abarcamiento (en mi opinión ficticio, imaginativo, pero no conceptual).
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No, amigo, más bien es usted el que, desde un prejuicio finitista, cerrado a la evidencia formal y material de una Ciencia poderosa como descripción de lo real físico cual es la Matemática (y su hermana, la Física Matemática) traslada la obturación mental de un sistema insonsistente a una ciencia que es capaz además de dar cuenta racional, desde sí misma, de sus conceptos, de una manea rigurosa (como estoy haciendo con lo del infinito matemático), sin que a cambio obtengamos salvo una negación prejuiciosa de lo que otros, con arduo esfuerzo, descubren. Es un precio demasiado alto para tan poco beneficio. Y es el mismo precio que los intuicionistas, constructivistas y finitistas, estos sí, matemáticos, no estuvieron finalmente dispuestos a pagar, de ahí la hoy generalizada aceptación en el mundo científico matemático de estos nobles y trascendentes conceptos.
Este es el punto clave en el que me ha malinterpretado cuando dice: 1º.- Su definición es circular. Si para definir el alcance de un cuantificador universal precisa hacerlo precisamente sobre la clase (actual o no, dejemos ahora eso) a la que alcanza, está definiendo falazmente este concepto. El cuantificador universal es posterior a la clase (conjunto) a la que su alcance pertenece. Siempre decimos para todo x de la clase o conjunto y, luego presuponemos una clase o conjunto y de la que (de cuyos miembros) vamos a decir algo.
Respondo: No me refería al cuantificador universal, sobre todo porque lo que está en discusión es que N sea un conjunto infinito; lo que está en discusión es que haya un conjunto que contenga y abarque N de forma completa y no finita, lo cual daría evidentemente al cuantificador universal ('para todo N') una cardinalidad infinita.
Si N no es un conjunto completo, la expresión "Todos los números naturales" sólo significa, "Todos los números naturales que quiera pensar".
Yo le había objetado preguntando cuál era la propiedad del concepto colectivo W que engloba N; usted me respondió diciendo que era "el menor ordinal límite diferente de 0", dando a entender que W era el sucesor de "toda" la serie de los naturales, y no de un n° finito concreto.
Fue entonces cuando yo le objeté que usted introducía subrepticiamente la afirmación de una totalidad infinita en N para justificar la existencia de W (omega) como ordinal límite, ¡cuando W debería fundamentar la existencia de la totalidad infinita N! ¿No se da cuenta del círculo vicioso?
Si, en cambio, me dice que, no es W la que fundamenta la infinitud del conjunto N, sino al revés, entonces yo le diría simplemente que la serie N formada por la sucesión n+1 no puede sino ser una serie finita, aunque sin cota máxima (digo "máxima", no "suprema", es decir, que por definición no hay un último n° finito, pero cuando dejamos de pensar en la serie necesariamente lo hacemos a partir de un número concreto, el cual sería de hecho el último en el que pensemos, pero no el último por definición).
La afirmación del Axioma del infinito: Existe almenos un conjunto infinito, implica, la afirmación de la existencia de W, que constituye N en totalidad infinita, pero ya he mostrado, que la justificación de la existencia de W como ordinal límite de N, implica la afirmación (almenos implícita) de una totalidad infinita. ¿Cómo sale del círculo vicioso?
Por cierto, no estoy argumentando desde el materialismo filosófico, aunque usted me lo achaque continuamente.
Off topic: en un blog ateo saqué a relucir su argumentación sobre el principio de la verificabilidad y me respondieron que el argumento era falso pues implicaba una autoreferencia. Yo intenté explicar que no era así, pero las clarificaciones no fueron suficientes. ¿Por qué no va usted mismo a clarificar lo que quería decir con el uso de los términos que utilizó? Es en este artículo, hacia los últimos comentarios (n°215-230).
PD: Francisco, me siguen fastidiando los cuadraditos cuando expone sus demostraciones.
Dark_Packer escribió:
Fue entonces cuando yo le objeté que usted introducía subrepticiamente la afirmación de una totalidad infinita en N para justificar la existencia de W (omega) como ordinal límite, ¡cuando W debería fundamentar la existencia de la totalidad infinita N! ¿No se da cuenta del círculo vicioso?
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Hay tres formas de definir al conjunto (infinito actual, pues no tiene sentido en Matemáticas hacer uso de un cuantificador universal, no sobre "todos" los elementos de un conjunto infinito, sino sobre todos aquellos que sean "pensados" (que, obviamente, es finito). Lo "pensado" no es objeto de argumento matemático, sino lo definido dentro de un lenguaje formal: el de la Teoría de Conjuntos ZFC) de los números naturales, N:
La primera es a través del sistema de axiomas de Peano, del que no hablo ahora.
La segunda, como el conjunto inductivo mínimo (en el sentido de la inclusión de conjuntos). Un conjunto S se denomina inductivo si verifica la siguiente sentencia:
Ø ∈ S ˄ ∀x ∈ S (x ∪ {x} ∈ S)
Entonces
N = ∩{S : S conjunto inductivo}
La tercera es como el menor ordinal límite no nulo:
N = ω = { n : n ˂ ω}.
Un número ordinal es el conjunto (transitivo y bien ordenado por la relación ∈) de todos los ordinales menores que él:
α = {β : β ˂ α}
Justamente, ω es el menor conjunto bien ordenado y transitivo que contiene a "todos" los ordinales finitos (números naturales), y es infinito (actual), porque si no lo fuera sería biyectable con un número natural (luego con un conjunto finito), lo que es imposible.
No existe círculo vicioso.
Por cierto, si α y β son ordinales cualesquiera, entonces:
α ˂ β ↔ α ∈ β
No me meto en la discusión (que al parecer es de hace varios años), don Francisco, y sobre todo por mis desconocimientos (soy el "Anónimo" del "post" anterior), pero quisiera mostrarle una respuesta que leí en la pagina de un filósofo y teólogo protestante sobre los números, y decía que su existencia plantea un problema teológico fundamental. Le cito una parte:
"Un buen lugar para empezar es de hacernos la pregunta: “¿Existe el número 3?" De hecho, puede haber tres manzanas, por ejemplo, sobre la mesa, pero aparte de las manzanas ¿el 3 en sí existe? No estamos preguntando si el número o el dígito "3" existe (el símbolo prestado de los Árabes para representar la cantidad tres). Más bien, nos estamos preguntando si el número 3 en sí existe. ¿Existen tales cosas como los números? ¿Realmente existen los números?
Algunas personas podrían pensar que esta pregunta es tan superficial como para que sea completamente irrelevante. Pero, de hecho, ella plantea un problema teológico fundamental, cuya importancia difícilmente podría ser exagerada, ya que si decimos que los números sí existen, ¿de dónde vienen? La teología cristiana nos exige decir que todo lo que existe aparte de Dios fue creado por Dios (Juan 1:3). Pero los números, si es que existen, son casi siempre considerados como seres necesarios. Por lo tanto, parecen existir independientemente de Dios. Esta es la visión llamada “Platonismo”, a la cual se le llama así en nombre del filósofo griego Platón.
Alguien podría tratar de evitar este problema adoptando un platonismo modificado, según el cual los números eran necesario y eternamente creados por Dios. Pero luego surge una circularidad viciosa: explicativamente antes de que Dios creara el número 3, ¿No era el caso de que el número de personas en la Trinidad era 3? Por supuesto. Pero entonces, el número 3 existía antes que Dios creara el número 3, lo que es imposible!
Recuerdo la sensación de pánico que sentí en mi pecho cuando me escuché por primera vez que se planteó esta objeción en una conferencia de filosofía en Milwaukee. Parecía ser una refutación absolutamente decisiva del teísmo. No veía ninguna salida.
La salida, descubrí, es de negar la visión platónica de que existen los objetos abstractos como números. Mi primera inclinación fue adoptar algún tipo de conceptualismo que interprete los objetos abstractos como ideas en la mente de Dios. Esto todavía podría ser el camino que tomaré, pero mientras más estudiaba el problema, lo más atraído estuve a varias visiones Nominalistas o antirrealistas de los objetos abstractos que rotundamente negaban su existencia en vez de re-interpretar su existencia en términos de realidades conceptuales. Como usted señala, el conceptualismo parece ser un tipo de realismo que identifica los números con pensamientos en la mente de Dios. Tales pensamientos son objetos concretos, no abstractos, a pesar de que son inmateriales. Esa identificación parece ser problemática en varias maneras, que no es necesito discutir aquí. Si, por otro lado, el conceptualista no considera los números como verdaderos pensamientos de Dios, entonces él realmente parece apoyar alguna visión antirrealista como el Ficcionalismo.
Así que ¿por qué deberíamos pensar que los objetos abstractos como los números no existen? El único argumento a favor del platonismo es el llamado el “Argumento de la Indispensabilidad”, inspirado por el difunto W. V. O. Quine. Quine se sintió obligado a dejar entrar los objetos matemáticos, específicamente los conjuntos, en su ontología (el relato personal de lo que existe) porque él pensaba que la verdad de nuestras mejores teorías científicas nos comprometerían con su realidad".
Hasta aquí. En esta página continúa, quizás le resulte interesante:
www.reasonablefaith.org/spanish/Trabajo-Actual-Acerca-de-Dios-y-los-Objetos-Abstractos#ixzz45uK5dkmW
Un saludo.
Fue escrito:
Pero luego surge una circularidad viciosa: explicativamente antes de que Dios creara el número 3, ¿No era el caso de que el número de personas en la Trinidad era 3? Por supuesto. Pero entonces, el número 3 existía antes que Dios creara el número 3, lo que es imposible!
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1º.- El razonamiento que usted realiza es incorrecto. En primer lugar, no tiene sentido hablar de un "antes" en las acciones divinas, dado que los actos de Dios no son sucesivos, sino simultáneos (respecto de Él mismo), dada su inmutabilidad y eternidad.
No es que Dios-Trino preexistiese al número 3 (lo que así denominamos los humanos y denotamos gráficamente con ese símbolo), sino que el número 3 y todos los conceptos de la Matemática (entes de razón, cuyo estatus ontológico es distinto al de los entes materiales; pero con una realidad plena -a no ser que consideremos plenamente reales solo a los entes materiales, con lo que Dios, Espíritu Puro, siendo el Ens Realissimum por antonomasia, careciera de realidad, fuera un mero ser-pensado, como afirman los creyentes ateístas) son coeternos con Dios.
No solo hay un número de Personas Divinas (3), natural, sino que entre ellas hay una relaciones reales (no meramente lógicas), que denotan también la existencia en Dios (hablando en el lenguaje humano) de una estructura matemática relacional (que es una forma simbólica de exponer parte del Dogma Trinitario). Todo esto lo detallaré en la bitácora Miscellanea Theologiae.
2º.- Precisamente, una vía de demostración de la realidad divina (de una Mente Infinita Autoconsciente: Dios mismo) es la de la existencia extramental-humana de los entes matemáticos. El humano simplemente los descubre y les pone nombre, de manera semejante a la que un microbiólogo descubre un nuevo microorganismo y lo bautiza, con la diferencia que en este caso se trata de un ente material que el microbiólogo encuentra explorando el Paisaje Material (Naturaleza material), haciendo uso de instrumentos que potencian su capacidad cognoscitiva (microscopios electrónicos, placas de Petri, ultracengtrifugadoras, etc.), y el matemático los descubre en el llamado Paisaje Mental o Clase de Todas las Ideas, contenido en la Mente de Dios: Dios mismo, mediante actos intelectuales de introspección, pensamiento o elaboración conceptual, probabemente estimulado, a su vez, por ciertas relaciones que observa en el mundo material creado (y en el que Dios ha impreso sus "huellas intelectuales", de forma que es accesible a la explicación matemática), que según Galileo está escrito en Lengua Matemática.
(Continuará...)
3º.- En segundo lugar, si Dios es Trino (desde toda la Eternidad), desde toda la Eternidad existe el ente de razón que los humanos denominamos "número 3" y las relaciones (conceptos metemáticos que explican infinitesimalmene el Misterio Trinitario) intratrinitarias inmanentes (ad intra, en Dios) que en Él hay, luego también todos los entes matemáticos que se derivan de esos conceptos (y desde los que se derivan).
4º.- Hay además (de las posibles pruebas de existencia) lo que podríamos denominar señales de evidencia o plausibilidad de la existencia extramental (humana) de los objetos matemáticos, cuales son las dificultades de demostración de muchos teoremas, algunas de las cuales han necesitado de varios siglos de exploración y estudio por las mentes matemáticas más geniales, antes de descubrir una demostración de dichos teoremas, tales que sus enunciados eran unas intuiciones (especies de revelaciones personales parciales o de inmersiones intelectuales en el Paisaje Mental) cuya verdad sospechábamos; pero no éramos capaces de justificar.
Si dichos objetos fueran puras generaciones intelectuales humanas, fuera de cuya mente no tienen realidad, ¿cómo se explica que se tarde tanto tiempo en demostrar esos teoremas, si bastaría con un simple acto intelectual de cada humano, una vez conocido su enunciado? No es cabalmente explicable.
Uno de los ejemplos más elocuentes es el del llamado último Teorema de Fermat, cuyo enunciado reza:
Teorema (Último Teorema de Fermat).- Para toda ecuación diofántica en tres variables x,y,z, de la forma:
x ͫ + y ͫ = z ͫ
con m natural, m > 2,
no existen soluciones de la misma, en N (conjunto de los números naturales, en Teoría de Números: N = {1,2,3,4,...}).
Es noticia común en la comunidad científica matemática que los enunciados teoremáticos de la Teoría de Números son de los más fáciles de exponer y a su vez de los más difíciles de demostrar.
Fermat afirmó tener una demostración de este resultado; pero no la escribió. A lo largo de los últimos ¡cuatro siglos!, algunos de los matemáticos más importantes dedicaron parte de sus esfuerzos a la demostración del resultado, sin conseguirlo hasta ahora, por lo que se piensa que Fermat estaba equivocado cuando creía tener una demostración.
Finalmente, en el año 1995, el matemático Andrew Wiles, en un artículo de 98 páginas publicado en Annals of Mathematics (1995), consiguió demostrar el teorema y asombrar al mundo.
(Continuará...)
Pero, dado que Dios es absolutamente simple, y los números, conceptos, etc, matemáticos coexisten con Dios desde toda la Eternidad (valga la redundancia), ¿entonces la Esencia de Dios se identifica con los números, conceptos, etc, matemáticos? ¿Los números son Dios entonces? Y no se olvide que, como dice Craig, la teología cristiana nos dice que todo lo que existe aparte de Dios fue creado por Dios, si los números no son Dios, entonces fueron creados por Él, dado que solo Dios es Eterno* (valga la redundancia), si lo son me quedaría un poco pasmado por la noticia, la Iglesia no se ha pronunciado sobre esto, que yo sepa. Saludos cordiales.
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*"Sólo Dios, Padre, Hijo y Espíritu Santo son eternos. Esto la fe católica lo tiene por indudable. Lo que se le opone debe ser desechado por herético." Santo Tomás de Aquino, Summa Theologica, I, q. 61, a. 2.
Pero, dado que Dios es absolutamente simple, y los números, conceptos, etc, matemáticos coexisten con Dios desde toda la Eternidad (valga la redundancia), ¿entonces la Esencia de Dios se identifica con los números, conceptos, etc, matemáticos? ¿Los números son Dios entonces? Y no se olvide que, como dice Craig, la teología cristiana nos dice que todo lo que existe aparte de Dios fue creado por Dios, si los números no son Dios, entonces fueron creados por Él, dado que solo Dios es Eterno* (valga la redundancia), si lo son me quedaría un poco pasmado por la noticia, la Iglesia no se ha pronunciado sobre esto, que yo sepa. Saludos cordiales.
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*"Sólo Dios, Padre, Hijo y Espíritu Santo son eternos. Esto la fe católica lo tiene por indudable. Lo que se le opone debe ser desechado por herético." Santo Tomás de Aquino, Summa Theologica, I, q. 61, a. 2.
4:04 p. m.
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No coexisten con Dios sino en Dios. No tienen una existencia extramental divina (podríamos decir). Lo que ocurre es que Dios participa (en sentido descriptivo humano, que se vale de dichas categorías matemáticas para hablar de Él) constitutivamente de los mismos.
Si en Dios hay tres Divinas Personas y cuatro relaciones intratrinitarias, y tanto "tres" como las relaciones binarias en Dios son conceptos matemáticos, y Dios existe desde toda la Eternidad en su Trinidad y sus relaciones inmanentes (que se identifican con la esencia divina), necesariamente esos conceptos matemáticos son coeternos con Dios, dado que no podría ser algo eterno sin que lo fueran las relaciones que constituyen su esencia.
(1) Dios es Trino y su esencia se identifica con las relaciones binarias intratrinitarias (Dogmas de Fe).
(2) Ser Trino y ser sujeto de relaciones binarias que se identifican con la esencia implica la coexistencia de conceptos matemáticos (entes de razón) en Dios (Evidente).
(3) Pero Dios es Eterno, es su propia Eternidad (Dogma de Fe).
(4) Luego los conceptos matemáticos con que dogmáticamente nos referimos a Dios son coeternos con Él (lo que no quiere decir que existan con independencia de Dios mismo, es decir, que sean eternos al margen de la Eternidad que Dios es). (de (1),(2),(3)).
No tiene sentido decir que en Dios hay 3 Personas Divinas coeternas y que el número 3 no es coeterno con Ellas (o más bien en Ellas). Si predico Trinidad (ser Tres Divinas Personas) en Dios, eternalmente, necesariamente debo predicar eternalmente del concepto numérico "3". No puede ser causalmente anterior a Dios-Trino el número 3 porque entonces no se podría predicar Trinidad de Dios desde toda la Eternidad.
No hay herejía alguna, sino, quizá, una incomprensión de lo que se propone.
Cuando se dice que las verdades de la Matemática (luego sus objetos) son eternos, no se quiere decir que lo sean al margen de la Inteligencia Divina, sino en Ella. La Inteligencia humana, infinitésimo de la divina, las/los descubre progresivamente.
Hace más de 2300 años, el gran matemático de la Antigua Grecia, Euclides de Alejandría, en su monumental obra (Los Elementos, de estudio en las Facultades de Matemáticas de todo el mundo hasta el sigo XX), donde recopiló todo el saber que se poseía sobre Geometría y Teoría de Números, con importantes contribuciones propias, demostró el siguiente teorema (cuya prueba es un modelo de elegancia matemática, hasta hoy mismo):
Teorema (Euclides).- Existen infinitos números primos.
La verdad que dicho teorema contiene ¿fue verdad desde que Euclides la demostró/descubrió? No, obviamente. Que exista una infinidad de números primos es verdad "desde toda la Eternidad". Son verdades necesarias (esto es, no contingentes, no sujetas a la estructura accidental del mundo). Y lo mismo ocurre con otros entes de la Matemática. Por ello es preciso una Razón Infinita que les dé existencia eterna (inmaterial, como les corresponde). De ahí Dios.
El Teorema de Euclides mencionado fue verdad antes de la existencia del Universo, es hoy verdad y será siempre verdad, aunque el Universo muera termodinámicamente o sea anonadado por Dios.
Y, evidentemente, no hay identidad alguna entre Dios, ente real, y los objetos matemáticos (entes de razón). Un ente de razón precisa de una razón que lo contenga, sin la cual carece de existencia. Pero una razón finita como la humana no puede ser capaz de contener un ente de razón infinito, como un cardinal transfinito o un conjunto infinito como el que demuestra Euclides en su existencia. A lo sumo puede conocer su existencia y algunas de sus propiedades. La esencia divina no es un objeto matemático, obviamente; pero el objeto matemático que la representa (para la inteligencia humana y para la divina) tiene existencia (como tal, inmaterial) desde que Dios existe, es decir, eternamente, sin principio ni fin, sin sucesión y sin mutación o cambio alguno. Y esa existencia la es en Dios mismo.
El alma humana (forma substancial del cuerpo, al que vivifica, según la Teoría Hilemórfica aplicada al hombre) es una substancia simple; pero ello no significa que las ideas y pensamientos que es capaz de generar (mediando el cerebro en el estado de incorporados mentales; pero, separada del cuerpo, sin necesidad de órgano alguno) sean parte de la misma, con lo que se negaría su simplicidad (es decir, su ausencia de composición). Algo análogo ocurre con Dios. La diferencia es que los "pensamientos" divinos dan realidad (inmaterial o material, en su caso) a los entes "pensados". Verbi gracia, la generación del Espíritu Santo (espiración) en Dios-Trino es intelectual; pero real.
Los entes de razón matemáticos que el humano descubre no poseen la misma forma o especie de realidad que los entes físicos, materiales; pero no por ello son menos reales.
Y es falso que dichos entes sean "creación" de la mente humana. Amtes de que el hombre existiese sobre la Tierra, por ejemplo, había unas leyes físicas cuya esencia era matemática (la Tierra, por ejemplo, describía una elipse en su órbita alrededor del Sol, con el Sol en uno de los focos (1ª Ley de Kepler). Luego "elipse", "foco de una elipse", "órbita elíptica", etc., poseían existencia ya antes de que hubiera una mente humana que les diera nombre. Y como son ens rationis, deben estar contenidos o ser generados en la mente de un ente racional que, obviamente, debe ser Dios.
NOTA.- La parte correspondiente a la respuesta sobre Bunge y la interpretación de Copenhague de la MC, que debería estar contenida entre los comentarios de la publicación El argumento mecano-cuántico, será objeto de una entrada en la bitácora Quantum, debido a la importancia de la misma.
Corrección de errata.
Donde dice: incorporados mentales,
debe decir:
incorporados mortales.
los "pensamientos" divinos dan realidad (inmaterial o material, en su caso) a los entes "pensados"
Pero si Dios es absolutamente simple (dogma de fe), ¿no deberían identificarse con Su Esencia sus pensamientos, y, consecuentemente los números, conceptos, etc, matemáticos? Y de paso, Dios nos "penso" desde toda la eternidad. ¿Y esos pensamientos no deberían también identificarse con Su Esencia?
¿Como resolver esta 'aporía'? Saludos cordiales.
Ah, por cierto, supongo (dado que no vi ninguna respuesta suya) que estara de acuerdo con los comentarios del "post" anterior en el que se expone como los musulmanes adoran a Dios, o no? Saludos cordiales.
Fue escrito:
los "pensamientos" divinos dan realidad (inmaterial o material, en su caso) a los entes "pensados"
Pero si Dios es absolutamente simple (dogma de fe), ¿no deberían identificarse con Su Esencia sus pensamientos, y, consecuentemente los números, conceptos, etc, matemáticos? Y de paso, Dios nos "penso" desde toda la eternidad. ¿Y esos pensamientos no deberían también identificarse con Su Esencia?
¿Como resolver esta 'aporía'? Saludos cordiales.
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Nuestra alma es simple (en sentido de que no está compuesta de partes). Tiene pensamientos y operaciones intelectuales en general (mediando el cerebro, en el estado de incorporados mortales; pero puede tenerlos estando separada del cuerpo, después de la muerte, en el estado de la llamada Escatología Intermedia) y, sin embargo, no los es; es decir, no es el conjunto de sus pensamientos, sino que los tiene (los genera); estos no son parte del alma, que es sustancia simple. Lo creado por Dios (o mantenido por Dios en la existencia, pues ningún ente salvo Dios, al ser contingente, tiene en sí la razón de su existencia) no es Dios ni parte de Dios ni sustancia de Dios, sino entes que, no pudiendo existir sin la Providencia sustentadora entitativa de Dios, no forman parte de Dios mismo. No hay ninguna aporía en esto. No existir sin Dios o con independencia de Dios no es equivalente a existir en Dios, siendo parte de Dios. El caso de los conceptos matemáticos es todavía más determinante, porque al ser Dios Trino y su esencia identificarse con sus relaciones intratrinitarias, 3 (luego todos los números, finitos e infinitos) y los conceptos de la Matemática (como es el de relación), coexisten con Dios eternamente (no porque constituyan parte de la esencia divina o se identifiquen con ella, sino porque no tendrían existencia, inmaterial en este caso, si Dios no se la diese. Pero que la esencia divina se identifique con las relaciones intratrinitarias (que son reales ontológicamente) no significa que dichas relaciones ó 3, como objetos matemáticos o conceptos, sean reales también ontológicamente, sino conceptualmente. El estatus ontológico esencial de los conceptos es su existencia pensada (en este caso por la Mente de Dios: Dios mismo). Pero el tener pensamientos no implica serlos. Yo no soy mis pensamientos, sino que los tengo y sin mí, no hay pensamientos en mí, aunque puedo imaginarme como siendo sin tener pensamiento alguno: por ejemplo, en el coma profundo.
Si no fuera así, el Universo (que es compuesto) sería una parte de Dios (en su Inteligencia Creadora), luego Dios no sería simple. Pero es que los objetos que Dios crea (desde toda la Eternidad, como en el caso de los matemáticos) no son parte de Dios (Dios ni es un número ni es la totalidad de los mismos, finitos e infinitos, ni mucho menos el Universo parte de la sustancia divina).
Su dificultad proviene de una mala intelección del concepto de "simplicidad absoluta divina". Algo parecido le ocurrió a Pascal cuando le objetaron que cómo podia ser posible que siendo Dios absolutamente simple, pudiera estar presente (omnipresente) en cada objeto creado, de manera más íntima que dicho objeto a sí mismo. Pascal puso un ejemplo físico-matemático para explicarlo. Un punto matemático, dotado de velocidad infinita, es simple (no tiene "partes", como definió ya Euclides) y, sin embargo, está al mismo tiempo en todos los lugares del espacio euclídeo tridimensional.
En nosotros hay un solo Yo, y sin embargo el mismo Yo que siente es el mismo que piensa, siendo el pensar y el sentir operaciones distintas de un mismo Yo ¿Eso rompe la unicidad y/o simplicidad del Yo que somos? No. Pues algo análogo ocurre en Dios. La dificultad es que el lenguaje humano es simple incompleto, pobre, para hablar del Infinito Absoluto que Dios es, y no puede capturar con precisión, exhaustivamente, la inmarcesible e inefable riqueza del Infinito Ontológico divino. Nuestras indigentes expresivamente palabras, siempre se quedarán a infinita distancia de la descripción verbal completa de lo que no puede ser completado verbalmente: Dios. Ni siquiera somos capaces de aprehender en un solo acto intelectual infinitos no ontológicos como por ejemplo la infinita numerable expansión decimal de un número real trascendente.
La absoluta simplicidad de Dios significa que en Dios no hay composición: ni de acto y potencia, ni de materia prima y forma sustancial, ni de sustancia y accidentes, etc. Lo que no quiere decir que los objetos por Él pensados o creados (mediante un acto intelectual, dado que Dios es incorpóreo) sean simples. El Universo material creado por Dios es compuesto, no es parte de Dios ni Dios mismo (Panteísmo), y sin embargo no puede tener existencia fuera de la Providencia adivina.
Además, los objetos matemáticos son simples (y su totalidad o Infinito Absoluto matemático igualmente), dada su inmaterialidad.
Dios, en efecto nos "pensó" desde toda la Eternidad (esto quiere decir que en Dios no hay sucesión de "pensamientos"); pero no nos pensó eternos, sino mutables y con una duración (que es la permanencia en el ser) que comienza. Nos pensó empezando a ser; pero no siendo desde siempre. Y por lo tanto empezamos a ser. El "pensamiento" divino (es una forma humana de referirse a Dios, como cuando la Sagrada Escritura afirma que Dios escucha (sin tener oídos) o habla, sin tener boca; etc.) que nos piensa como mutables y con un comienzo en la existencia, justamente hace que seamos mutables y no existentes desde siempre. Sin embargo, los conceptos matemáticos sí tienen existencia desde siempre, no porque Dios sea alguno de ellos, sino porque la esencia de los mismos (ser entes de razón) hace que no puedan existir sin una Razón que los ponga en la existencia, sin que esa Razón se identifique con ellos. No es que Dios sea el número 3 desde siempre, o que en Dios existen unas relaciones entre las tres Personas Divinas desde siempre, de tal forma que los conceptos que denotan dichas relaciones sean a su vez reales -esto es, ontológicamente reales, sino que su dependiente modo de existencia es con respecto a Dios (al ser este siempre Trino y existir en Él cuatro relaciones binarias reales, cuyo correlato matemático necesariamente es siempre, por ser siempre el Ente al que se refieren).
Su presunta aporía puede ser formalizada así:
(1) Dios, desde siempre (pues en él no hay "sucesión pe pensamientos" o actos intelectuales, al ser inmutable, eterno) conoce todo lo existente conociéndose a Sí mismo con exhaustividad).
(2) Pero los pensamientos de Dios dan existencia a lo pensado.
(3) Luego todo lo que existe realmente existe realmente desde siempre (de (1),(2)).
Pero (3) no se deduce de (1). En efecto. Si Dios piensa en el ente A eso no significa que el ente A exista desde que Dios existe, desde siempre, sino que la existencia de A está sustentada en la actividad intelectual divina, mediante una volición (En Dios, además de una intelección, en el discurso humano predicamos una volición, un querer) que la existencializa cuando Dios (además de pensarla) la quiere no intelectual, sino realmente. Como usted sabe, Dios conoce no solamente lo que cada humano va a hacer libremente en su vida, sino lo que haría si las condiciones de ese cada humano fueran distintas. Pero ese conocer/pensar en esto último no significa que, paralelamente a cada Yo humano con sus circunstancias, existan realidades exhaustivas de ese mismo Yo humano con otras circunstancias, dado que Dios las piensa o conoce. Además de intelección, hay volición, que nosotros distinguimos lógicamente en Dios, por analogía con las dos potencias de nuestro espíritu (inteligencia y voluntad); pero que en Dios se identifican por su ausencia de composición.
Dios, en efecto, conoce/piensa desde toda la Eternidad todo lo que ha existido, existe, existirá y podría existir (es decir, aquello cuya existencia no conllevara contradicción); pero además de ese conocimiento, Dios ha de querer la existencia y el modo en que existe aquello que es "objeto de su pensamiento/conocimiento". Eso es lo que ocurre con el Universo.
Como siempre, nuestros conceptos se quedan cortos al tratar de comprender a Dios.
Si Dios, Intelecto Puro, fuera la suma de sus pensamientos, sería un puro ente de razón, y además absurdo, pues la Clase de Todos los Pensamientos sería a su vez un pensamiento, lo que es absurdo, dado que una clase no puede ser miembro de sí misma. Pero no es lo mismo ser un Ente Racional que ser un ente de razón. Dios es lo primero, y por eso no puede ser lo segundo. En consecuencia, los "pensamientos" (la clase de todos ellos) no pueden constituir la esencia de Dios, que es Dios mismo. El ente de razón esta en (donde el estar en no significa ser parte de, constitutivo de, esencia de) la razón de un ente racional (raciocinante); pero, como se ha dicho, dicha razón no es la suma de sus razonamientos o pensamientos.
Dios, al pensarse o conocerse a Sí mismo, sin residuo, se conoce Trino y con su esencia identificada con las relaciones intratrinitarias. Entonces, al conocerse a Sí conoce su Trinidad y relaciones intratrinitarias, luego conoce la predicabilidad de Sí mismo de conceptos matemáticos (que no preexisten a Él, sino coexisten con Él; pero no sin Él).
El ejemplo del humano es pertinente analógicamente. Tenemos alma (luego razón); nuestra alma es una substancia real simple, no compuesta, luego no susceptible de corrupción o descomposición y en consecuencia inmortal (salvo que Dios la anonadase). Esa alma humana, incluso separada del cuerpo tras la muerte, es capaz de pensamientos y razonamientos, de intelección; pero no por ello se reduce a los mismos.
No debemos tomar al pie de la letra, cuando hablamos de Dios, los conceptos humanos de que hacemos uso, pues Dios, como sabe, excede absolutamente todo lo que podamos predicar de Él, aun siendo verdadero lo que prediquemos. Si un ente infinito matemático no puede ser exhaustivamente descriptible finitamente (por ejemplo, un número real trascendente, en su expansión decimal), cuánto más diremos del Infinito Ontológico.
2º.- En cuanto a lo de los musulmanes, ya le dije que es lógicamente absurdo que siendo la esencia de Alá (declarada en el Corán) distinta de la esencia de Dios-Trino, Alá y Dios Trino sean el mismo ente, luego que los musulmanes adoren al Dios-Trino, único verdadero. Las declaraciones magisteriales , que en absoluto son dogmáticas a este respecto (sería absurdo que lo fueran, porque nuestra Religión no es inconsistente), o bien se refieren a un metafórico Dios parte de cuyos atributos tiene el Dios-Trino: Eternidad, ser Creador, etc., o bien son meras opiniones teológicas sin grado de certidumbre teológica de sentencias de Fe o próximas a la Fe ( o sentencias ciertas), como ocurrió con el Limbo, que se consideraba existente por el Magisterio hasta el siglo XX, y depués se declaró su inexistencia. Con esto puede (y debe) ocurrir lo mismo. Y, por supuesto, dado que no son sentencias de Fe, no se precisa creer en su (no) verdad para salvarse. De ninguna forma.
¿Dónde están las pruebas de Tradición, Escritura y Magisterio dogmático, compatibles entre sí, que demuestren la tesis de que Alá y Dios-Trino son el mismo ente? En ningún sitio. No hay, ni puede haber, declaración dogmática de la Iglesia al respecto. Lo mismo sería decir que cualquier dios de una religión monoteísta que compartiera con Dios-Trino algunos de sus atributos (ser Creador, Eterno y Misericordioso (aunque la misericordia de Alá, a juzgar por lo que exige a sus fieles, no es tal), por ejemplo), no siendo Alá, también sería Dios. Un absurdo. ¿O es que los textos magisteriales (no dogmáticos, recalco), solo se refieren al dios de una religión monoteísta por ser esta multimillonaria en fieles, y de alguna forma congraciarse con ellos, con el fin de evitar conflictos? ¿Hablarían de un dios semejante a Alá si sus seguidores fueran unos cientos de miles de humanos, y no miles de millones? Y puestos a respetar o conceder semina verbi a otras religiones, incluso extintas, ¿por qué no reconocer en el dios azteca Ketzalcoatl al Dios-Trino, vagamente intuido por esa antigua civilización mesoamericana? Y así sucesivamente.
Finalizo con la formalización (al estilo, la primera, de la Filosofía Analítica) de mi argumentación precedente sobre Dios.
(1) Es absolutamente simple quien no admite composición alguna (ni de acto y potencia, ni de substancia y accidentes, ni de materia prima y forma substancial; etcétera.).
(2) Los pensamientos de un ente racional no son componentes del mismo, sino generados por el mismo, de forma análoga a como las acciones ad extra de dicho ente no son partes compositivas de dicho ente.
(3) Dios es un ente racional (en expresión kantiana, el Ens Realissimum) y absolutamente simple.
(4) Luego los pensamientos de Dios no son parte constitutiva o componente de Dios, sino generados por Él, de manera análoga a como lo son sus actos ad extra- (de (2),(3)).
(5) En consecuencia, no hay incompatibilidad entre ser Dios absolutamente simple y ser sujeto de "pensamientos" (actos ad intra) o de acciones ad extra, como el acto creador del Universo material e inmaterial. (-de (1),(4)).
Paradigma analógico.- El alma humana es una substancia simple (espiritual). Cuando el hombre muere, ontológicamente significa que el alma (forma substancial del cuerpo humano) se separa del cuerpo al que informa (teoría Hilemórfica), y es capaz de subsistir sin el cuerpo y de realizar las operaciones intelectivas y volitivas propias de ella, sin mediación corpórea alguna, aunque no, obviamente, las sensitivas.
Pues bien, los pensamientos que esta alma separada genera o tiene no son parte de la misma, y no la hacen perder su simplicidad compositiva (que no es absoluta, como la de Dios, porque en el alma se da al menos acto y potencia, las cuales no son "partes" del alma, propiamente hablando). El alma humana (o el ente angélico) no son Acto Puro, sin mezcla alguna de potencialidad, como Dios es. Luego la simplicidad que predicamos del alma o del ángel es relativa.
Gracias por sus respuestas, Francisco. La conclusión es que aunque Dios sea absolutamente simple (AS) y tenga pensamientos, no quiere decir que estos últimos sean Dios por ser AS, sino, como dice Ud., que son generados ("ab æterno") por ese Ente AS.
En su tercer comentario, yo lo habría formalizado así.
(1) Dios, Ser Absolutamente Simple, tiene pensamientos.
(2) Pero los pensamientos de Dios son, precisamente Sus pensamientos, son de Él.
(3) Luego sus pensamientos se confunden con Su Esencia (Por ser AS, en consecuencia, también los conceptos matemáticos, etc) (de (1),(2)).
Pero como ya se dijo, el que Dios tenga pensamientos, no quiere decir que estos se confundan con Su Esencia, sino que son generados ("ab aeterno" al parecer) por la Esencia Divina. Aunque confieso que me es un poco difícil comprender esto (hace un momento leí algo sobre las Ideas Divinas, cito: "Además puede resolver el problema, que dejó pendiente San Agustín, de compaginar la multiplicidad de ideas ejemplares con la simplicidad de Dios. Explica el Aquinate que, por una parte, aunque solo hay una esencia divina, hay muchas ideas, que se identifican con ella, porque «la idea no designa la esencia divina en cuanto esencia, sino en cuanto semejanza o razón de esta cosa o de la otra, y, por tanto, decir que en Dios hay muchas ideas equivale a decir que hay muchas razones entendidas en su única esencia» (STh I, 15, 2, ad 1)." Fuente: http://www.mercaba.org/Filosofia/AQUINO/14_la_creacion.htm)
Saludos cordiales. Disculpe las molestias.
Sobre Alá y Dios-Trino, concuerdo con Ud. (ya le había dado la razón hace tiempo, consulte Ud. el artículo -"¡No matáras!"- de Pedro Luis Llera en InfoCatólica y lo verá) en que es contradictorio que sean el mismo ente, dado que Dios se habría revelado contradictoriamente. Pero eso no es a lo que voy. Digo que los musulmanes adoran a Dios (al verdadero) "implícitamente" (digamos) al profesar tener la fe de Abraham, el objeto de adoración es correcto (hacia el "Dios de Abraham"), aunque la forma de adorar sea 'incorrecta'. Aunque si me demuestra que estoy equivocado, lo aceptare. Le hago todas estas consultas porque, dado que esto va contra el Magisterio Ordinario (que no es infalible) quiero estar completamente seguro de mi posición. Saludos cordiales.
Sobre ciertas implicaciones Penroseianas acerca de la mente y su no computabilidad (o mecanicidad), es decir, que es capaz de vislumbrar o intuir la verdad de ciertas proposiciones que una máquina (de Turing) no podría, parte de un hecho que parece obviar y es que, que una proposición cierta no sea demostrable o probable parte asimismo de un sistema axiomático que no puede probar su propia consistencia (o certitud).
que no es infalible
Tal vez esto no sea rigurosamente cierto, puede ser que en algunas ocasiones sea también infalible (el Magisterio Ordinario), ¿no? Que alguien me corrija si estoy equivocado.
Creo que puedo aportar algo de luz. Una cosa es Dios considerado en sí mismo (con sus atributos) y otra el conocimiento que tenemos de Dios. El católico tiene un conocimiento 100% verdadero de Dios, el musulmán no, pero aún así éste último adora a Dios, aunque desigualmente en comparación con los católicos.
El Magisterio ordinario y universal es infalible cuando reúne las siguientes condiciones:
“Las condiciones que deben concurrir simultáneamente para que el magisterio ordinario y universal de los Obispos posea carácter infalible son: 1) que enseñen en comunión jerárquica entre sí y con el Papa; 2) sobre una materia concerniente a la fe y a las costumbres; 3) con un acuerdo manifiesto no sólo sobre el contenido de una determinada proposición, sino también sobre su carácter obligatorio, irreformable y definitivo ad credendam o ad tenendam (es decir, en cuanto formalmente revelada o como conexa con verdades reveladas), pues puede darse el caso de que el Colegio episcopal, reunido en concilio o disperso, se pronuncie sin querer definir: por ej., el magisterio del Concilio Vaticano II.” (Villar, R. EL COLEGIO EPISCOPAL. Madrid: 2004, p. 200).
Fuente (recomiendo el artículo): http://info-caotica.blogspot.com.ar/2011/12/el-magisterio-ordinario-y-universal.html
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