Generalizaciones plurivaluadas de la lógica trivaluada de Łukasiewicz (II)

Una consecuencia del Teorema del artículo precedente a este, es el siguiente

COROLARIO.- Si $k\in \mathrm{\mathbb{N}}$ es un número primo, y $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, entonces

$\mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{\aleph }\right)\subset \mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{n(k+1)}\right)\subset \cdots \subset \mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{2\left(k+1\right)}\right)\subset \mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{1\left(k+1\right)}\right)\subset \mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_2\right)$

Hay tautologías en ${\mathbb{L}}_{\aleph }$, como por ejemplo $C\alpha \alpha$, pues $Crr=1,\forall r\in [0,1]$. Luego existen tautologías comunes a todos los sistemas ${\mathbb{L}}_{\kappa }$.

La diferencia entre ${\mathbb{L}}_{{\aleph }_0} y {\mathbb{L}}_{2^{{\aleph }_0}}$ no es lógicamente crucial, como se deduce del siguiente

TEOREMA.- $\mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{{\aleph }_0}\right)=\mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{2^{{\aleph }_0}}\right)$ (en el Cálculo Proposicional multivaluado).

Demostración.- Las reglas del cálculo de valores de verdad son las mismas en ambos sistemas y los valores de verdad de ${\mathbb{L}}_{{\aleph }_0}$ son un subconjunto de los de ${\mathbb{L}}_{2^{{\aleph }_0}}$; luego se cumple que $\mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{{\aleph }_0}\right)\subset \mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{2^{{\aleph }_0}}\right)$.

Probemos el recíproco: $\mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{{2^{\aleph }}_0}\right)\subset \mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{{}^{{\aleph }_0}}\right)$.

Por un teorema de Wajsberg, ${\mathbb{L}}_{{\aleph }_0}$ puede ser axiomatizado (mediante las reglas de Sustitución y Modus Ponens) con los siguientes axiomas:

(1) $C\alpha C\beta \alpha$.
(2) $CC\alpha \beta CC\beta \gamma C\alpha \gamma$.
(3) $CCN\alpha N\beta C\beta \alpha$.
(4) $CCC\alpha \beta \beta CC\beta \alpha \alpha$.
(5) $CCC\alpha \beta C\beta \alpha C\beta \alpha$.

(1)-(5) son ${\mathbb{L}}_{2^{{\aleph }_0}}$-tautologías (lo probaremos, en el siguiente Lema, solamente para (1), dejando el resto por brevedad) y, por lo tanto, todas las consecuencias lógicas (mediante MP y Sustitución) son también ${\mathbb{L}}_{2^{{\aleph }_0}}$-tautologías, porque dichas reglas preservan la tautologicidad.

Luego, por doble contenido, se tiene que $\mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{{\aleph }_0}\right)=\mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{2^{{\aleph }_0}}\right)$. Q.E.D.

LEMA.- (1) es una ${\mathbb{L}}_{2^{{\aleph }_0}}$-tautología.

Demostración.- Sean $p,q\in \left[0,1\right]$. Como $p,q\in \left[0,1\right]$ está totalmente ordenado por la relación $\le$, se tendrá que $p<q ó p=q ó q<p$.

Si $p=q$, entonces $CpCpp=Cp1=1$.
Si $p<q$, entonces

$$\begin{gathered} CpCqp=\mathrm{mín}\left(1,1-p+Cqp\right)=\mathrm{mín}\left(1,1-p+\mathrm{mín}\left(1,1-q+p\right)\right) \\ =\mathrm{mín}\left(1,1-p+1-q+p\right)=\mathrm{mín}\left(1,2-q\right)=1 \end{gathered}$$

Si $q<p$, entonces:

$CpCqp=\mathrm{mín}\left(1,1-p+Cqp\right)=\mathrm{mín}\left(1,1-p+p\right)=1$
Q.E.D.