Sobre lógicas multivaluadas (II)

Un determinado Sistema Deductivo (lo denotamos por $\mathfrak{B}$) del Cálculo Proposicional, tiene el siguiente conjunto de esquemas de axioma¹, si α,β y γ son fbfs.

(A1) $C\alpha C\beta \alpha$
(A2) $CC\alpha C\beta \gamma CC\alpha \beta C\alpha \gamma$
(A3) $CCN\alpha N\beta CCN\alpha \beta \alpha$

Además, $\mathfrak{B}$ tiene una única regla de inferencia, Regla de Separación o Modus Ponens (MP):

Si $\alpha y \beta$ son fbfs, entonces



O, en notación funcional: $f\left(\alpha ,C\alpha \beta \right)=f\left(C\alpha \beta ,\alpha \right)=\beta$. Donde '$f$' representa a la regla de inferencia.
Y se lee: "de $\alpha$ y $C\alpha \beta$, se infiere $\beta$"; o "$\beta$ es consecuencia directa de $\alpha$ y $C\alpha \beta$ mediante la regla MP". Un subconjunto Y del conjunto de axiomas de una teoría se dice independiente si alguna fbf en Y no puede ser probada mediante las reglas de inferencia  de la teoría desde el conjunto de aquellos axiomas no en Y.
Entonces tenemos el siguiente

TEOREMA Cada uno de los esquemas de axioma (A1)-(A3) es independiente.

Demostración.- Probaremos únicamente la independencia de (A1) y (A2). Consideremos las siguientes tablas

$\begin{array}{cc}p& Np\\ 0& 1\\ 1& 1\\ 2& 0\\ \\ \\ \\ \end{array}$
y
$\begin{array}{ccc}p& q& Cpq\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 2\\ 2& 0& 0\\ 0& 1& 2\\ 1& 1& 2\\ 2& 1& 0\\ 0& 2& 2\\ 1& 2& 0\\ 2& 2& 0\end{array}$

Para cada asignación de los valores 0,1 y 2 a las letras declarativas que ocurren en una fbf α, estas tablas determinan un correspondiente valor de α. Si α siempre toma el valor 0, a α la llamamos selecta.

Es fácil ver que Modus Ponens preserva la "selectidad", pues si α y β  son selectas, α y $C\alpha \beta$ toman siempre el valor 0 (al asignar valores de verdad 0,1,2 a las letras declarativas que ocurren en α y β), luego de la tabla deducimos que β toma siempre el valor 0.

Se puede también verificar que todas las instancias de los esquemas de axioma (A2) y (A3) son selectas. En consecuencia, cualquier fórmula bien formada derivable de (A2) y (A3) por Modus Ponens, es selecta.
Sin embargo, $CpCqp$, que es una instancia de (A1), no es selecta, pues, por ejemplo:

$CpCqp = C1C21 = C10 = 2 \ne 0$

Para probar la independencia del esquema de axioma (A2), consideremos las tablas

$\begin{array}{cc}p& Np\\ 0& 1\\ 1& 0\\ 2& 1\end{array}$
y
$\begin{array}{ccc}p& q& Cpq\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 0& 1& 2\\ 1& 1& 2\\ 2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 1& 2& 0\\ 2& 2& 0\end{array}\begin{array}{}\end{array}$

Llamaremos, a una fbf que siempre toma el valor 0, según estas tablas, grotesca. Modus Ponens preserva la "grotesquidad", y es fácil comprobar que todas las instancias de (A2) y (A3) son grotescas. Sin embargo, la instancia de (A2)

$CCpCqrCCpqCpr$

para p = 0, q = 0 y r = 1, toma el valor

$CC0C01CC00C01=CC02C2=C11=2$

y, en consecuencia, no es grotesca. Q.E.D.

Lo que hemos hecho en la demostración anterior es emplear lógica trivaluada.

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¹ Hacemos uso aquí (y en adelante) de la elegante y compacta notación prefijada, prefija o polaca,  de Jan Łukasiewicz, respecto de los operadores lógicos, con las siguientes equivalencias
$C\equiv \to ;A\equiv \vee ;K\equiv \wedge ;E\equiv \leftrightarrow ;N\equiv \neg ;\prod \equiv \forall ;\sum \equiv \exists$