Sobre las lógicas multivaluadas (Ie)

  metateoremas.

TEOREMA.- El Cálculo en Lógica Algebraica, anteriormente desarrollado mediante los Axiomas I, II y III, es consistente y no verifica el Principio de Bivalencia.

Demostración.- Sea a una proposición indefinida cualquiera, que sea un teorema del Cálculo. Entonces w(a) = 1, y aa' = 0, luego, por I: w(aa') = 0. Además, a + a' = 1, luego por II, (4) y (11): w(a + a') = w(a) + w(a') = 1, y w(a') = 1 - w(a) = 0. Luego la proposición indefinida a' no es un teorema del Cálculo.

Fimalmente, que hay proposiciones indefinidas ni verdaderas ni falsas es evidente por los ejemplos expuestos y la propia construcción del Cálculo.Q.E.D.

Proposiciones indefinidas, funciones proposicionales y proposiciones con variables aparentes.

 

1. A lo que  Jan Łukasiewicz denomina proposiciones indefinidas, Bertrand Russell llama funciones proposicionales  y, en su caso (haciendo uso de un concepto de Peano), proposiciones con variables aparentes. 
Para Russell, las sentencias que contienen una variable no son ni verdaderas ni falsas: son funciones proposicionales y no propiamente proposiciones. Ejemplo: "x es un hombre". Por proposiciones Russell significa solo las sentencias que son o verdaderas o falsas; esto es, aquellas a las que sin ambigüedad   se les puede atribuir uno y solo uno de dos valores de verdad (0 ó 1).
Russell llama a las sentencia con una variable pero que son verdaderas o falsas (ejemplo: "x es un hombre implica que x es mortal") proposiciones genuinas y las variables que contienen las denomina, con Peano, variables aparentes, en oposición a las variables reales que ocurren en las funciones proposicionales.

2. Para Łukasiewicz, se puede suponer que es cuestión terminológica si las sentencias indefinidas que son ni verdaderas ni falsas puedan llamarse proposiciones o funciones proposicionales. Para este gran matemático y lógico (además de filósofo) "la terminología de Russell divide artificialmente entidades que por su verdadera naturaleza pertenecen a la misma categoría". Según Łukasiewicz, hay solo una distancia cuantitativa entre funciones proposicionales y proposiciones que contienen variables aparentes. Las proposiciones con variables aparentes conducen a juicios verdaderos o falsos para todos los valores de sus variables, mientras que las funciones proposicionales son verdaderas solo para algunos valores de sus variables, y falsas para los otros. 
Ejemplo: La proposición "x no es un número primo" conduce, para x = 90,91,...,97, a 7 juicios verdaderos y  un juicio falso. La función proposicional "x es divisible por 7", para x = 90,91,...,97, conduce a 1 juicios verdadero y 7 falsos. La diferencia entre estas dos sentencias indefinidas está en las ratios: 7 a 1, para la primera; 1 a 7, para la segunda.

3. Es verdad que sentencias con variables aparentes solo toman los valores de verdad 0 ó 1, de la totalidad de valores de verdad que no difieren esencialmente de 0 ó 1. Por ello, se concluye que no existe esencial diferencia entre funciones proposicionales y proposiciones con variables aparentes y, por lo tanto, se cubren las dos categorías de sentenciaas mediante un solo concepto: proposición indefinida.
Más aún. La terminología adoptada por Peano y Russell puede probarse que es confusa. La variable contenida en una proposición verdadera o falsa no puede llamarse aparente porque es una variable real, actual, como las que ocurren en las funciones proposicionales. No existe diferencia en la naturaleza de las variables en ambos casos.

Además, el concepto "proposición indefinida" se aplica fácilmente al Cálculo de Probabilidades, cosa que no sucede con los otros dos. La posición de Russell y Peano proviene -declara Łukasiewicz- de un prejuicio, desde Aristóteles.


"Aristotle was the first to formulate the fatefull assertion that all propositions must be either true or false (De interpretatione, c.4, 17 a 1-3) He wanted thereby to characterize propositions as opposed to other kinds of sentences, wich express request, questions, and commands. He gave no other motive, much less proof of his assertion. But where there is no proof, ther are also no counter-proofs, and thus the Aristotelian assertion has been uncritically repeated until the present day, although formal logic since Aristotle has always demonstrated its theorems by means of indefinite propositions such as "all S are P", and has always considered the latter as judgements or propositions, although they can be neither true nor false.
An end must be put to this prejudice once and for all. In order to characterize propositions as opposed to other categories of sentences it is not neccesary to squeeze them into two drawers, those of truth and falsehood, but it suffices to accept that which is self-evident and to admit that propositions are just sentences wich predicate something about something and hence assert something, i.e., state that something is or is not, that it is so or not so. Hence the question: "is x a man?" Cannot be a proposition since it does not assert anything, but the indefinite proposition "x is a man" must be called a proposition in the same way as definite judgement "Socrates is a man", because both sentences assert something. This not only leads to a better comprehension of probability, but also protects formal logic against inconsistencies." (J. Łukasiewicz, Sellected Works)