Sobre lógicas multivaluadas (IIIa)

Incompatibilidad del Cálculo Proposicional Bivalente (ampliado modalmente) respecto de ciertas proposiciones modales y su necesidad de extenderlo a un Cálculo Proposicional multivalente.

 

 

Teoremas relativos a las proposiciones modales.

 

 

Abreviaturas previas:

CPBV: Cálculo Proposicional Bivalente.
CPMV: Cálculo Proposicional Multivalente.

I Si no es posible que $p$, entonces no-$p$.

II Si se supone que no-$p$, entonces, sobre este supuesto, no es posible que $p$.

Este teorema se fundamenta en el siguiente apotegma de Leibniz (Théodicée): "Unumquodque, quando est, oportet esse". Todo lo que es, cuando es, es necesario.

III Para algún $p$: es posible que $p$ y es posible que no-$p$.

La tesis III se fundamenta en el concepto aristotélico de posibilidad "bilateral": hay algunas cosas que son posibles en ambas direcciones. Pueden ser; pero no son necesariamente.

Formalizando I y II en el CPBV, se tiene

1 $CNMpNp$.

2 $CNpNMp$.

II no se puede formalizar de otra manera en el CPBV.

Consecuencias de I y II.

Las iremos exponiendo al socaire de una extensa demostración. Haremos uso ahora de dos reglas de inferencia: Separación y Sustitución.

1 $CNMpNp$
2 $CNpNMp$
3 $CCNqNpCpq$ (1ª Ley de Transposición)
4 $CCNpqCNqp$ (2ª Ley de Transposición)
5 $CCpNqCqNp$ (3ª Ley de Transposición)
6 $CCpqCCqrCCpr$ (Ley del Silogismo Hipotético)
3 $q/Mp \times C1-7$ 7 $CpMp$
$7 p/Np \times 8$
8 $CNpMNp$
$4 q/MNp \times C8-9$
9 $CNMNpp$
$6 p/NMNp,q/p,r/Mp \times C9-C7-10$
10 $CNMNpMp$
$4 p/MNp,q/Mp \times C10-11$
11 $CNMpMNp$
$3 q/p,p/Mp \times C2-12$
12 $CMpp$
$12 p/Np \times 13$
13 $CMNpNp$
$5 p/MNp,q/p \times C13-14$
14 $CpNMNp$

Las tesis 7-11 son consecuencias de I; 12-16 son consecuencias de 2. La tesis 7 dice:"Si $p$, entonces es posible que $p$".
Ambas son evidentes (todas las del grupo 7-11 lo son).
La tesis 12 reza: "Si es posible que $p$, entonces $p$". Sobre la base de la tesis 12, podemos inferir: "Es posible que el paciente muera; por lo tanto, morirá". No es admisible la tesis 12 salvo si no se distingue entre posibilidad y realidad.

De 7 y 12 se infiere (por doble implicación): $EpMp$.
De 8 y 13 se infiere: $ENpMNp$.
De 9 y 14 se infiere: $ENMNpp$.
Es decir, «$p$» es equivalente a «no es posible que no-$p$»; es decir: «es necesario que $p$».

Entonces, tenemos la poco agradable consecuencia de la admisión de nuestra formalización de II (teorema evidente en el lenguaje ordinario y que puede ser reconocido sin reservas), y es esta: que podemos prescindir de los conceptos de necesidad y posibilidad.
Sin embargo, parece imposible expresar la proposición II, en el lenguaje simbólico del CPBV, de otra manera que mediante una simple implicación: el recíproco de la tesis I.

Consecuencias del teorema III.

Consideremos «$\text{Σ}$» el cuantificador existencial, y convenimos en que «$\text{Σ}p$» denota la expresión «para algún $p$».
El teorema III se puede expresar simbólicamente así:

17 $\text{Σ}pKMpMNp$

«Para algún $p$: es posible que $p$ y es posible que no-$p$».

Si «$\text{Π}$» es el cuantificador universal, y «$\text{Π}p$» significa «para todo $p$», y si «$\alpha \left(p\right)$» representa cualquier expresión que contiene «$p$», resulta evidente la siguiente definición:

(D1) $\text{Σ}p\alpha \left(p\right)=N\text{Π}pN\alpha \left(p\right)$

Entonces, 17 se convierte en

18 $N\text{Π}pNKMpMNp$

Además del CP ampliado hay un sistema lógico más general (Lesniewski): la «protética». En este último aparecen funtores variables además de constantes.
Designemos un funtor variable, al que se conecta una sola proposición como argumento, mediante «$\varphi$». En la protética podemos demostrar la siguiente proposición: $CK\varphi p\varphi Np\varphi q$.

Tomamos ahora como premisas, en la siguiente demostración, las tesis 18 y 19, el Principio de Transposición y la tesis 20, además de las reglas de sustitución, de separación y de introducción de un cuantificador¹:

18 $N\text{Π}pNKMpMNp$
19 $CKMpMNpMq$
20 $CCpqCNqNp$

$20 p/KMpMNp,q/Mq \times C19-21$

21 $CNMqNKMpMNq$
$CNMqNKMpMNq$

22 $CNMq\text{Π}pNKMpMNp$

$4 p/Mp,q/\text{Π}pNKMpMNp \times C22 q/p-C18-23$

23 $Mp$.

El resultado obtenido, la tesis 23, ha de admitirse como verdadero. Es decir, «es posible que $p$» se cumple para cualquier $p$. Esto es, por razón del teorema III, nos vemos conducidos a admitir como posible todo. Pero si todo es posible, entonces nada es imposible y nada es necesario. En efecto, si se admite la proposición $Mp$, por sustitución obtenemos de ella la proposición $MNp$, y las expresiones $NMp y NMNp$ tienen que rechazarse en cuanto son negaciones de las precedentes, respectivamente.
Estas consecuencias van en contra de nuestras intuiciones. Sin embargo, no se ve posibilidad de expresar el teorema III en el simbolismo del Cálculo Proposicional ampliado, con otra forma que la de la tesis 17 ó 18.



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¹«Si en el consecuente de una implicación que es una tesis aparece una variable proposicional libre, "$p$", que no aparece en el antecedente de esa implicación, entonces el símbolo "$\text{Π}p$" se puede poner antes del consecuente».
Representamos (la aplicación de) esta regla por «$\text{+Π}$».