Sobre lógicas multivaluadas (IIIb)

Incompatibilidad de los teoremas sobre proposiciones modales en el CPBV.

TEOREMA.- II y III son incompatibles.

Demostración (a)

12 $CMpp$
23 $Mp$

$12 \times C23-24$

24 $p$

Por lo tanto, si las tesis 12 y 23 son válidas, entonces cualquier proposición $p$ es válida también. Así llegamos al sistema inconsistente de todas las proposiciones. Luego los teoremas II y III son incompatibles.

Demostración (b)

25 $CpCqp$
26 $NKpNp$
27 $CCpqCCrsCKprKqs$

$27 p/Mp,q/p,r/MNp,s/Np \times C12-C13-28$

28 $CKMpMNpKpNp$

$20 p/KMpMNp,q/KpNp \times C28-C26-29$

29 $NKMpMNp$

$25 p/NKMpMNp \times C29-30$

30 $CqNKMpMNp$

$30 +\text{Π} \times 31$

31 $Cq\text{Π}pNKMpMNp$

$31 q/CpCqp \times C25-32$

32 $\text{Π}pNKMpMNp$

Las tesis 18 y 32 se contradicen, luego las proposiciones II y III son incompatibles. Q.E.D.

En conclusión, si tomamos como base el CPBV, el problema de las proposiciones modales nos conduce a las siguientes conclusiones:

El teorema I y las tesis conectadas con él (1 y 7-11) han de ser aceptadas incondicionalmente, y de los teoremas II y III hay que elegir uno.
Si elegimos II y las tesis coneectadas a él (2 y 12-16), entonces todas las proposiciones modales se convierten en equivalentes a proposiciones no modales y por lo tanto no vale la pena introducir en Lógica proposiciones modales. Así mismo, el concepto intuitivo de posibilidad bilateral ha de ser rechazado como inconsistente.

Si elegimos III, nos vemos forzados a admitir la paradójica consecuencia de que todo es posible, además de prescindir del teorema II para evitar la contradicción.
Ninguna de estas soluciones parece satisfactoria.

Un argumento más al respecto es el siguiente. Si las variables proposicionales solo pueden tomar dos valores constantes: "0" o "falso" y "1" o "verdadero", y conociendo que $C00=C01=C11=1,C10=0,N0=1,N1=0$, como en un sistema bivaluado solo se pueden formar cuatro funciones distintas de un argumento, si «$\varphi$» denota un funtor de un argumento, caben los siguientes casos

$\begin{array}{ccccc}p& {\varphi }_0& {\varphi }_1& {\varphi }_2& {\varphi }_3\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1\end{array}$

${\varphi }_0$ sería el funtor o función «falsum de $p$»: $Fp$.
${\varphi }_1$ sería el funtor equivalente a $p$.
${\varphi }_2$ sería el funtor negación de $p$: $Np$
${\varphi }_3$ sería el funtor «verum de $p$»: $Vp$.

Como $Mp$ tiene que ser idéntica a uno de estos cuatro casos, si consideramos las tesis 1, 2 y 18, tenemos que como:

$\begin{array}{c}CNM0N0=CN01=C11=1\\ CNM1N1=CN1N1=C00=1\end{array}$

y

$\begin{array}{c}CNM0N0=CN11=C01=1\\ CNM1N1=CN10=C00=1\end{array}$

$CNMpNp$ solo se cumple para $Mp=p ó Mp=Vp$.

Por otra parte, como

$\begin{array}{c}CN0NM0=C1N0=C11=1\\ CN1NM1=C0N1=C00=1\end{array}$

y

$\begin{array}{c}CN0NM0=C1N0=C11=1\\ CN1NM1=C0N0=C01=1\end{array}$

entonces, $CNpNMp$ solo se cumple para $Mp=p ó Mp=Fp$.

Finalmente, $N\text{Π}pNKMpMNp$ solo se cumple para $Mp=Vp$.
En efecto, como $\text{Π}p\alpha \left(p\right)=K\alpha \left(0\right)\alpha \left(1\right)$, se tiene que:

$\begin{array}{c}N\text{Π}pNKMpMNp=NKNKM0MN0NKM1MN1=NKNKM0M1NKM1M0=\\ =NKNKM0M1NKM0M1=NNKM0M1=KM0M1\end{array}$

Luego las tesis 1 y 2 pueden ser válidas conjuntamente solo para $Mp=p$; las tesis 1 y 18 solo pueden ser válidas para $Mp=Vp$. Las tesis 2 y 18 son incompatibles, pues no existe, en el CPBV, función para $Mp$ que verifique simultáneamente ambas tesis.

De todo lo argumentado en los dos últimos artículos, se deduce la siguiente

CONCLUSIÓN FINAL.- El Cálculo Proposicional (ampliado) Bivalente es insuficiente y ha de ser extendido a un Cálculo Proposicional con más de dos valores de verdad.