Sobre lógicas multivaluadas (Id)

valores de verdad relativos.

 

Definimos

Df(1) 

$w_a\left(b\right)=\frac{w\left(ab\right)}{w\left(a\right)}$

suponiendo que $w\left(a\right)\ne 0$.

El cociente  $\frac{w\left(ab\right)}{w\left(a\right)}$, simbolizado por $w_a\left(b\right)$, indica cuántos valores de la variable  de los que verifican la proposición a también verifican la proposición b, y por lo tanto el producto ab. En otras palabras, indica cuán grande es el valor de verdad de b, asumiendo que a es verdadera. Si esto se cumple, es decir, si a = 1, se tiene el teorema trivial:

(14)  $w_1\left(b\right)=w\left(b\right)$.

Demostración.- $w_1\left(b\right)=\frac{w\left(1b\right)}{w\left(1\right)}=\frac{w\left(b\right)}{1}=w\left(b\right)$.
Q.E.D.

Ejemplo: Sea a: "x es divisible por 2" y b: "x es divisible por 3". Para x = 1,2,...,9; w(b) = 3/9 = 1/3; $w_a\left(b\right)=1/4$.

(15)  $w\left(ab\right)=w\left(a\right)w_a\left(b\right)=w_b\left(a\right)$.

Demostración.- Inmediata, por Df(1). Q.E.D.

"El valor de verdad de un producto lógico es igual al producto del valor de verdad absoluto de un factor y del valor de verdad relativo del otro factor respecto del primer factor".

Independencia de proposiciones indefinidas.

 

Df(2) $aUb=\left[w_a\right(b)=w_{a\text{'}}(b\left)\right]$.

Df(1) introduce un nuevo concepto matemático (o un nuevo concepto de la teoría de valores de verdad), mientras que Df(2) introduce un nuevo concepto lógico. 
 $aUb$ denota una relación entre las proposiciones a y b que se verifica si y solo si el valor de verdad relativo de b  con respecto a a es igual al valor relativo de b con respecto a a'. Nótese que a debe ser ni verdadera ni falsa, porque, para a = 0, $w_a\left(b\right)$ carece de significado, y, para a = 1, $w_{a\text{'}}\left(b\right)$ es asignificativa.

(16)  $aUb=\left[\frac{w\left(ab\right)}{w\left(a\right)}=\frac{w(a\text{'}b)}{w(a\text{'})}\right]$.

Demostración.- De Df(2) y Df(1), se obtiene:


$aUb<\left[w_a\left(b\right)=w_{a\text{'}}\left(b\right)\right]=\left[\frac{w\left(ab\right)}{w\left(a\right)}=\frac{w(a\text{'}b)}{w(a\text{'})}\right] \left(\alpha \right)$

y


$\left[\frac{w\left(ab\right)}{w\left(a\right)}=\frac{w(a\text{'}b)}{w(a\text{'})}\right] =\left[w_a\left(b\right)=w_{a\text{'}}\left(b\right)\right]<aUb \left(\beta \right)$

De  (α) y (β) se concluye el Teorema.Q.E.D.

 (17) $aUb=\left[\frac{w\left(ab\right)}{w\left(a\right)}=\frac{w(a\text{'}b)}{w(a\text{'})}=w\left(b\right)\right]$.

Demostración.- Por (16)


$aUb=\left[\frac{w\left(ab\right)}{w\left(a\right)}=\frac{w(a\text{'}b)}{w(a\text{'})}\right]$

Pero


$\frac{w\left(ab\right)}{w\left(a\right)}=\frac{w(a\text{'}b)}{w(a\text{'})}=\frac{w\left(ab\right)+(a\text{'}b)}{w\left(a\right)+w(a\text{'})}$

Ahora, por (4) y (5)


$\frac{w\left(ab\right)+(a\text{'}b)}{w\left(a\right)+w(a\text{'})}=\frac{w\left(b\right)}{1}=w\left(b\right)$

Q.E.D.