El Sistema de Lógica Trivaluada, L3, de Jan Łukasiewicz.

     Principia con la introducción, en el CPBV, ${\mathrm{ℂ}}_2$, de un tercer valor de verdad: "intermedio", "neutral", "indefinido", etc., denotado mediante $I$ ó $\frac{1}{2}$.

Este paso fue dado por J.  Łukasiewicz, en 1920, el cual lo justificó con estas palabras:


«I can assume without contradiction that my presence in Warsaw at a certain moment of next year, e.g., at noon on 21 December, is at the present time determined neither positively nor negatively. Hence it is possible, but not necessary, that I shall be present in Warsaw at the given time. On this assumption the proposition "I shall be in Warsaw at noon on 21 December of the next year", can at the present time be neither true nor false. For if it were true now, my future presence in Warsaw would have to be necessary, wich is contradictory to the assumption. If it were false now, on the other hand, my future presence in Warsaw would have to be impossible, wich is contradictory to the assumption. Therefore the proposition considered is at the moment neither true nor false and must posses a third value different from '0' or falsity and '1' or truth. Those values we can designate by '1/2'. It represents "the possible" and joins "the true" and "the false" as a third value. The three-valued system of propositional logic owes its origin to this line of thougth.»

Tablas de verdad.

$\begin{array}{|cc|}\hline p& Np\\ 0& 1\\ \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\\ 1& 0\\ \hline\end{array}$

y

$\begin{array}{|cccccc|}\hline p& q& Kpq& Apq& Cpq& Epq\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& 0& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& 1& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& 0& 0& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\\ \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& 1& 1\\ \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& 1& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& 1& 1& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& 1& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ \hline\end{array}$

Designamos a este sistema por ${\mathbb{L}}_3$.
Con vistas a la interpretación "futuro-contingente" del tercer valor de verdad ($I ó \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$), Łukasiewicz introduce dos operadores modales (de posibilidad y necesidad: $◊ ó M, y \square ó L$, respectivamente) en su lógica trivaluada, sujetos a la tabla:

$\begin{array}{|ccc|}\hline p& Mp& Lp\\ 0& 0& 0\\ \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ \hline\end{array}$

Luego $Mp$ es verdadera si $p$ es verdadera o indeterminada, y $Mp$ es falsa si $p$ es falsa.

Alfred Tarski, un discípulo de Łukasiewicz, notó que $CNpp$ tendría -según la anterior tabla- el mismo valor de verdad que $Mp$, y podría servir como una definición de $Mp$ en este marco.

$\begin{array}{|cccc|}\hline p& Np& CNpp& Mp\\ 0& 1& 0& 0\\ \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ \hline\end{array}$

Łukasiewicz observó que un tratamiento funcional-veritativo de las variedades aléticas (modalidades) no tenía cabida en Lógica Bivaluada, pero si en ${\mathbb{L}}_3$, pues, en ${\mathbb{L}}_2\equiv {\mathrm{ℂ}}_2$, se tiene que

$\begin{array}{|ccc|}\hline p& Mp& Lp\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ \hline\end{array}$

Luego $\alpha =M\alpha , L\alpha =\alpha y L\alpha =M\alpha$ serían tautologías y la distincióm modal colapsaría (ver el artículo donde se demuestra esto).

Sin embargo, en la Lógica Trivaluada tendremos las deseables implicaciones:

$C\alpha M\alpha , CL\alpha \alpha$

sin sus indeseables recíprocas, y se preserva la distinción modal.

Łukasiewicz concedió gran importancia a esta característica de su Lógica Trivaluada.
En efecto.

$C\alpha M\alpha$ es una tautología en ${\mathbb{L}}_3$, pues:

$CL00=C00=1,CL\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.=C0\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.=1,CL11=1$

$CL\alpha M\alpha$ es una tautología en ${\mathbb{L}}_3$, pues:

$CL0M0=C00=1,CL\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.M\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.=C01=1,CL1M1=C11=1$

Una faceta importante de ${\mathbb{L}}_3$ es que las tablas de verdad trivaluadas coinciden con las usuales bivaluadas cuando solo ocurren valores '0' y '1'.
Se sigue, pues, que una ${\mathbb{L}}_3$-tautología (esto es, una fbf que siempre toma el valor 1 para cualquier asignación de valores de verdad de sus variables proposicionales), es también una ${\mathbb{L}}_2$-tautología (es decir, una ${\mathrm{ℂ}}_2$-tautología).

Si designamos al conjunto de todas las tautologías de un sistema lógico $\mathbb{X}$ mediante la expresión $\mathbf{\text{Taut}}\left(\mathbb{X}\right)$, se tiene el siguiente teorema:

TEOREMA.- $\mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_3\right)\subset \mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_2\right)$.

Demostración.- Si $\alpha \in \mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_3\right)$, para toda valoración de verdad $v_3$ en ${\mathbb{L}}_3$, de las variables proposicionales que ocurren en $\alpha$, se tiene que $\overline{v_3}\left(\alpha \right)=1$, luego $\text{Im}\left(v_3\right)\cap \left\{0,1\right\}$, restricción de la imagen de la valoración de verdad correspondiente a $v_3$, para ${\mathbb{L}}_2$, verificará que para su correspondiente extensión bivaluada, $\overline{v_2}\left(\alpha \right)=1$.
Por lo tanto, $\alpha \in \mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_2\right)$.

Además, el contenido es estricto. En efecto. Consideremos la Ley del Tercio Excluso (teorema lógico) de ${\mathbb{L}}_2$: "$A\alpha N\alpha$", siendo $\alpha$ una fbf cualquiera. $A\alpha N\alpha$ es una ${\mathbb{L}}_2$-tautología pero no una ${\mathbb{L}}_3$-tautología, puesto que:

$\begin{array}{|cccc|}\hline \alpha & N\alpha & A\alpha N\alpha & A\alpha N\alpha \\ 0& 1& 1& 1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& *& \frac{1}{2}\\ 1& 0& 1& 1\\ \hline\end{array}$

Como en ${\mathbb{L}}_3$:

$A\frac{1}{2}N\frac{1}{2}=A\frac{1}{2}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ne 1$

en ${\mathbb{L}}_3 A\alpha N\alpha$ no es una tautología. Q.E.D.

Algunos otros ejemplos de ${\mathbb{L}}_2$-tautologías que no son ${\mathbb{L}}_3$-tautologías, son:

$CCC\alpha \beta \alpha \alpha , CC\alpha C\alpha \beta C\alpha \beta$

Sin embargo, las llamadas "paradojas de la implicación material":

$C\alpha C\beta \alpha ,CN\alpha C\alpha \beta$

son ${\mathbb{L}}_3$-tautologías.

Por otra parte, la "Ley de Contradicción": $NK\alpha N\alpha$, no es una ${\mathbb{L}}_3$-tautología:

$\begin{array}{|cccc|}\hline \alpha & N\alpha & K\alpha N\alpha & NK\alpha N\alpha \\ 0& 1& 0& 1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 1& 0& 0& 1\\ \hline\end{array}$

Y

$NK\frac{1}{2}N\frac{1}{2}=NK\frac{1}{2}\frac{1}{2}=N\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ne 1$

En este aspecto, ${\mathbb{L}}_3$ difiere de la lógica proposicional intuicionista de Brouwer y Heyting en que la Ley del Tercio Excluso se verifica; pero la Ley de Contradicción, no.
Si una fbf nunca tiene el valor de verdad 0 en ${\mathbb{L}}_3$, como ${\mathbb{L}}_3$ coincide con ${\mathbb{L}}_2$ cuando solo toman valores 0 ó 1, nunca toma el valor 0 en ${\mathbb{L}}_2$ y es una ${\mathbb{L}}_2$-tautología.
Si redefinimos el concepto de "tautología", reemplazando el requerimiento de que "siempre toma el valor 1" por "siempre toma el valor 1 o 1/2, parecería que las tautologías de ${\mathbb{L}}_3$ son justamente las de ${\mathbb{L}}_2$.
Pero esta conjetura es errónea, como demuestra la fbf $ANC\alpha N\alpha NCN\alpha \alpha$, pues para $\overline{v_3}\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}$, se tiene:

$ANC\frac{1}{2}N\frac{1}{2}NCN\frac{1}{2}\frac{1}{2}=ANC\frac{1}{2}\frac{1}{2}NC\frac{1}{2}\frac{1}{2}=AN1N1=A00=0$

Un motivo más para ampliar el rango de valores de verdad a un tercero: neutro, indeterminado. Consideremos un dominio de objetos altamente inhomogéneo, el cual incluye palos, piedras y números, y supongamos un correspondiente rango de predicados descriptivos o clasificadores de esos objetos (ejemplo: "es verde", "es granito", "es un primo",...).

Ahora, para un objeto $a$ y un predicado $P$, son posibles tres situaciones:

(1) $Pa$. Esto es, $P$ es verdaderamente aplicable a $a$ en el sentido que: (i) $P$ puede ser significativamente aplicado a $a$; (ii) la declaración (con sentido, significativa) que resulta cuando se aplica $P$ a $a$ es verdadera.
(2) $\overline{Pa}$. Es decir, $P$ es falsamente aplicable a $a$, en el sentido que: (i) igual que en (1); (ii)la declaración (significativa) que resulta cuando se aplica $P$ a $a$ es falsa.
(3) Ni $Pa$ ni $\overline{Pa}$. Es decir, $P$ es inaplicable a $a$.

En una lógica 3-valuada se representan clasificando a $Pa$ como verdadera, falsa o indeterminada:

$\begin{array}{|cc|}\hline Situación& Estatus de verdad de Pa\\ Pa& 1\\ \overline{Pa}& 0\\ Ni Pa, ni \overline{Pa}& \frac{1}{2}\\ \hline\end{array}$

Donde en lugar de 0,1, 1/2 se puede escribir V (verdadero), F (falso, I (indeterminado).
Entonces, decir que "$Pa$ no es verdadera" es hacer la relativamente fuerte aserción de que el caso (2) ó el caso (3) se verifica, mientras que decir que "$\overline{Pa}$ es verdadera" es hacer la más fuerte y más específica aserción de que el caso (2) se verifica.
Estos modos de negación deber ser distinguidos, aunque en lógica bivaluada son indistinguibles.

Todas estas consideraciones indican un propósito general de la lógica 3-valuada para lidiar con situaciones con las que la lógica bivaluada clásica es incapaz de lidiar. Amén de las aplicaciones prácticas a otras ciencias y técnicas.

NOTA.- A las fbfs de ${\mathbb{L}}_3$ que nunca toman el valor de verdad $0$ se las denomina cuasitautologías; y a las fbfs de ${\mathbb{L}}_3$ que nunca toman el valor de verdad $1$ se las denomina cuasicontradicciones.