El sistema trivaluado, K3, de Kleene.

En 1938, el lógico-matemático norteamericano Stephen Cole Kleene introdujo un sistema trivaluado de lógica, añadiendo a los dos clásicos valores de verdad ($T,F$) un tercero, $I$.
Este tercer valor de verdad $I$ ("indeterminado", "indefinido") se atribuye a una proposición no por razones factuales, ontológicas, sino por razones epistemológicas, en relación con el conocimiento. No se excluye, pues, que la proposición puede ser de hecho verdadera o falsa; pero el estatus veritativo de dicha proposición es desconocido o está indeterminado.
Esta es la esencia del tercer valor de verdad $I$ de Kleene.

Las tablas de verdad de las distintas conectivas, introducidas por Kleene, son las siguientes (se hace uso de los símbolos empleados por Kleene para denotar las conectivas lógicas):

$\begin{array}{|cc|}\hline p& \neg p\\ T& F\\ I& I\\ F& T\\ \hline\end{array}$

y

$\begin{array}{|ccccccccccccc|}\hline p\backslash q& T& \stackrel{p\wedge p}{I}& F& T& \stackrel{p\vee q}{I}& F& T& \stackrel{p\supset \supset q}{I}& F& T& \stackrel{p\equiv q}{I}& F\\ T& T& I& F& T& T& T& T& I& F& T& I& F\\ I& I& I& F& T& I& I& T& I& I& I& I& I\\ F& F& F& F& T& I& F& T& T& T& F& I& T\\ \hline\end{array}$

La novedad de ${\mathbb{K}}_3$ es la adopción de la implicación material, $p\supset \supset q$.
En consecuencia, $\alpha \supset \supset \alpha \notin \mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{K}}_3\right), y \alpha \equiv \alpha \notin \mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{K}}_3\right)$.

$\begin{array}{|ccccccc|}\hline \alpha \backslash \alpha & T& \stackrel{\alpha \supset \supset \alpha }{I}& F& T& \stackrel{\alpha \equiv \alpha }{I}& F\\ T& T& *& *& T& *& *\\ I& *& I& *& *& I& *\\ F& *& *& T& *& *& T\\ \hline\end{array}$

El motivo de la construcción por Kleene de ${\mathbb{K}}_3$ es el de sus aplicaciones matemáticas (análogo al de la definición de proposiciones indefinidas por Łukasiewicz). Consideremos $P$ un predicado matemático (una función proposicional) de una variable $x$ que toma valores en un dominio $D$.

EJEMPLO.- $P\left(x\right):"1\le \frac{1}{x}<2" \left(D=\mathrm{ℝ}\right)$.

Aquí $P\left(x\right)$ será:
(1) Verdadera, cuando $x\in ]\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.,1{]}_{\mathrm{ℝ}}$.
(2) Indefinida (o indeterminada), cuando $x=0$.
(3) Falsa, en otros casos: $x\in \left(]\leftarrow ,\frac{1}{2}{]}_{\mathrm{ℝ}}-\{0\}\right)\cup ]1,\to {[}_{\mathrm{ℝ}}$