Los sistemas de lógiva trivaluada B3 y B3E de Bochvar

NOTA.- En este artículo se hace uso de la notación clásica para los operadores y valores de verdad lógicos.

El lógico (y científico) ruso D.A. Bochvar (Бочвар Дмитрий Анатольевич, 1903-1990) propuso, en 1939, admitir un tercer valor de verdad, '$I$', "indecidible", además de los valores clásicos '$T$' (verdadero) y '$F$' (falso).

Bochvar definió la tabla de verdad, para la conjunción lógica, de esta forma:

$\begin{array}{|cccc|}\hline p\backslash q& T& \stackrel{p\wedge q}{I}& F\\ T& T& I& F\\ I& I& I& I\\ F& F& I& F\\ \hline\end{array}$

Pero se puede significar al valor de verdad '$I$' no tanto como un valor "intermedio" entre la verdad y la falsedad, sino como un valor "paradójico" o incluso "asignificativo", como ocurre en las paradojas semánticas: declaraciones del tipo "Esta sentencia es falsa", a la que se le asigna el valor de verdad $I$.

Las tablas de verdad de las otras operaciones conectivas se definen así:

$\begin{array}{|cc|}\hline p& \neg p\\ T& F\\ I& I\\ F& T\\ \hline\end{array}$

y

$\begin{array}{|ccccccccccccc|}\hline p\backslash q& T& \stackrel{p\vee q}{I}& F& T& \stackrel{p\wedge q}{I}& F& T& \stackrel{p\to q}{I}& F& T& \stackrel{p\leftrightarrow q}{I}& F\\ T& T& I& T& T& I& F& T& I& F& T& I& F\\ I& I& I& I& I& I& I& I& I& I& I& I& I\\ F& T& I& F& F& I& F& T& I& T& F& I& T\\ \hline\end{array}$

En el sistema ${\mathbb{B}}_3$, el concepto usual de tautología como una fórmula bien formada que es uniformemente verdadera, independientemente del valor de verdad de sus variables proposicionales, deviene inoperativo, puesto que una vez que una variable proposicional toma el valor de verdad $I$ en una fórmula, esta fórmula toma el valor de verdad $I$.

En ${\mathbb{B}}_3$ podemos hablar de cuasitautologías, como fórmulas bien formadas que nunca toman el valor de verdad $F$, para ninguna asignación de valores de verdad de sus variables proposicionales. Entonces, las cuasitautologías de ${\mathbb{B}}_3$ son exactamente las tautologías de ${\mathrm{ℂ}}_2$ (sin el valor de verdad $I$).

Si se desea que el concepto usual de tautología sea aplicable, debe extenderse el sistema ${\mathbb{B}}_3$. Para extender este sistema, Bochvar introduce una distinción entre dos modos distintos de aserción:

(1) El ordinario, franco, "interno" modo de aserción de una fórmula $p$ como simplemente $p$.
(2) El modo especial de aserción, "externo", de una fórmula $p$, el cual se representa mediante un operador especial de aserción, '$A$': $\mathrm{Ap}$.

Estos dos modos de aserción vienen caracterizados por las siguientes tablas de verdad:

$\begin{array}{|ccc|}\hline p& \stackrel{Aserción externa}{Ap}& \stackrel{Aserción interna}{p}\\ T& T& T\\ I& F& I\\ F& F& F\\ \hline\end{array}$

Para el resto de conectivas:

$\begin{array}{|ccc|}\hline Conectiva& Forma interna& Forma externa\\ Negación& \neg p& ╕p=\neg Ap\\ Conjunción& p\wedge q& p\underset{}{\overset{^}{^}}q=Ap\wedge Aq\\ Disyunción& p\vee q& p\underset{}{\overset{˅}{˅}}q=Ap\vee Aq\\ Implicación& p\to q& p\Rightarrow q=Ap\to Aq\\ Equivalencia& p\leftrightarrow q& p\iff q=Ap\leftrightarrow Aq\\ \hline\end{array}$

Cuando se hace uso de las formas "externas" de las conectivas sólo se dan los clásicos valores de verdad $T$ ó $F$.

Las tablas de verdad para las formas externas son las siguientes.

$\begin{array}{|cc|}\hline p& ╕p\\ T& F\\ I& T\\ F& T\\ \hline\end{array}$

y

$\begin{array}{|ccccccccccccc|}\hline p\backslash q& T& \stackrel{p\stackrel{\wedge }{\wedge }q}{I}& F& T& \stackrel{p\stackrel{\vee }{\vee }q}{I}& F& T& \stackrel{p\Rightarrow q}{I}& F& T& \stackrel{p\iff q}{I}& F\\ T& T& F& F& T& T& T& T& F& F& T& F& F\\ I& F& F& F& T& F& F& T& T& T& F& T& T\\ F& F& F& F& T& F& F& T& T& T& F& T& T\\ \hline\end{array}$

Desígnase al sistema basado sobre estas conectivas como ${\mathbb{B}}_3^E$.

Esta extensión posee ciertas ventajas interpretativas que lo asemejan al sistema ${\mathrm{ℂ}}_2$.
La fórmula "$\alpha \wedge ╕\alpha$" siempre es falsa, pues tiene la tabla de verdad:

$\begin{array}{|ccc|}\hline \alpha & ╕\alpha & \alpha \stackrel{\wedge }{\wedge }╕\alpha \\ T& F& F\\ I& T& F\\ F& T& F\\ \hline\end{array}$

La tabla de verdad de "$\alpha \stackrel{\vee }{\vee }╕\alpha$", es

$\begin{array}{|ccc|}\hline \alpha & ╕\alpha & \alpha \stackrel{\vee }{\vee }╕\alpha \\ T& F& T\\ I& T& T\\ F& T& T\\ \hline\end{array}$

En contraste, una desventaja del sistema ${\mathbb{L}}_3$ es que $\alpha \wedge \neg \alpha$ no es siempre falsa (toma el valor de verdad $I$ cuando $\alpha$ lo toma).

Se tiene el siguiente

TEOREMA.- El sistema ${\mathrm{ℂ}}_2$ es isomorfo a un subsistema de ${\mathbb{B}}_3^E$.

Demostración.- Sea $\sigma$ una ${\mathrm{ℂ}}_2$-tautología y reemplacemos las conectivas clásicas que aparecen en $\sigma$ por sus correspondientes "externas" en ${\mathbb{B}}_3^E$.
Entonces, la fórmula resultante, dado que sus variables proposicionales toman solo valores de verdad $T$ ó $F$, y las tablas de verdad resultantes coinciden en ambos sistemas cuando eso ocurre, será una ${\mathbb{B}}_3^E$-tautología.
Recíprocamente, sea $\sigma$ una ${\mathbb{B}}_3^E$-tautología. Entonces, como las tablas de verdad de ${\mathbb{B}}_3^E$ coinciden con aquellas de ${\mathrm{ℂ}}_2$ cuando solo aparecen valores de verdad $T$ ó $F$, $\sigma$ será una ${\mathrm{ℂ}}_2$-tautología. Q.E.D.