Generalizaciones plurivaluadas de la lógica trivaluada de Łukasiewicz (I)

En varios artículos publicados en 1930, Jan Łukasiewicz generalizó su lógica trivaluada al caso de más de tres valores de verdad; incluso a infinitos valores de verdad. Estos valores están representados por números reales en el intervalo $[0,1]$ ('0' para falso y '1' para verdadero). La generalización de Łukasiewicz se realiza mediante tablas de verdad basadas en las siguientes reglas aritméticas para el cálculo de los valores de verdad (en el sistema genérico ${\mathbb{L}}_{\kappa },3\le \kappa \le 2^{{\aleph }_0}$):

$\begin{array}{c}{\overline{v}}_{\kappa }\left(N\alpha \right)=1-{\overline{v}}_{\kappa }\left(\alpha \right)\\ {\overline{v}}_{\kappa }\left(A\alpha \beta \right)=\text{max}\left({\overline{v}}_{\kappa }\left(\alpha \right)\text{,}{\overline{v}}_{\kappa }\left(\beta \right)\right)\\ {\overline{v}}_{\kappa }\left(K\alpha \beta \right)=\text{min}\left({\overline{v}}_{\kappa }\left(\alpha \right)\text{,}{\overline{v}}_{\kappa }\left(\beta \right)\right)\\ {\overline{v}}_{\kappa }\left(C\alpha \beta \right)=\text{min}\left(1,1-{\overline{v}}_{\kappa }\left(\alpha \right)+{\overline{v}}_{\kappa }\left(\beta \right)\right)\\ {\overline{v}}_{\kappa }\left(E\alpha \beta \right)=1-\left|{\overline{v}}_{\kappa }\left(\alpha \right)-{\overline{v}}_{\kappa }\left(\beta \right)\right|\end{array}$

Si $\kappa =n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ es un número cardinal finito, mayor que 2, entonces el conjunto de valores de verdad será:

$\left\{1=\frac{n-1}{n-1},\frac{n-2}{n-1},\dots ,\frac{2}{n-1},\frac{1}{n-1},\frac{0}{n-1}=0\right\}$

Si $\kappa ={\aleph }_0$, entonces el conjunto de valores de verdad es el conjunto de números racionales del intervalo $[0,1]$.

Mediante las reglas aritméticas y los diversos conjuntos de valores de verdad, se obtiene la serie de sistemas de Łukasiewicz de lógica multivaluada, de forma que ${\mathbb{L}}_2={\mathrm{ℂ}}_2$ es el sistema clásico de lógica bivaluada; ${\mathbb{L}}_3$ es el sistema de lógica trivaluada analizado en el anterior artículo, siendo 1 para verdadero, 0 para falso y 1/2 para indeterminado o indefinido).

Los sistemas infinito-valuados son dos:

(1) Para ${\mathbb{L}}_{{\aleph }_0}$, se toman 0 y 1 junto con todos los números racionales (fraciones propias $\raisebox{1ex}{$n$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$m$}\right.$) en el intervalo $[0,1]$, como valors de verdad.
(2) Para obtener ${\mathbb{L}}_{2^{{\aleph }_0}}$ (que en algunos textos sobre lógica multivaluada se escribe incorrectamente como ${\mathbb{L}}_{{\aleph }_1}$), se toman todos los números reales del intervalo $[0,1]$ como valores de verdad.

Es demostrable que los sistemas ${\mathbb{L}}_{{\aleph }_0}$ y ${\mathbb{L}}_{2^{{\aleph }_0}}$ son esencialmente equivalentes (por ello se habla genéricamente de ${\mathbb{L}}_{\aleph }$, aunque considero esta notación poco precisa).

Si $\kappa \in \mathrm{\mathbb{N}}\cup \left\{{\aleph }_0,2^{{\aleph }_0}\right\}$, una fbf $\alpha$ es una ${\mathbb{L}}_{\kappa }-$tautología si y solo si para cualquier valoración de verdad $v_{\kappa }$ de las variables proposicionales que ocurran en $\alpha$, ${\overline{v}}_{\kappa }\left(\alpha \right)=1$.

Entonces es fácilmente demostrable que $\mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_{\kappa }\right)\subset \mathbf{\text{Taut}}\left({\mathrm{ℂ}}_{\mathbf{2}}\right), \forall \kappa \le {\aleph }_0$. Este teorema es una generalización del enunciado en el anterior artículo.

En general, los contenido no son estrictos.
EJEMPLO.- La ${\mathrm{ℂ}}_2-$tautología $A\alpha N\alpha$ no es una ${\mathrm{ℂ}}_4-$tautología, pues

$A\frac{1}{3}N\frac{1}{3}=A\frac{1}{3}\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\ne 1$

En ${\mathbb{L}}_n,n\in \mathrm{\mathbb{N}},n>2$:

$A\frac{1}{n}N\frac{1}{n}=A\frac{1}{n}\frac{n-1}{n}=\frac{n-1}{n}\ne 1$

Se verifica el siguiente

TEOREMA.- Para $2<m<n$ números naturales, las tautologías de ${\mathbb{L}}_n$ están incluidas en las tautologías de ${\mathbb{L}}_m$ si y solo si $\left(m-1\right)|\left(n-1\right)$ ($m-1$ divide a $n-1$).

la demostración de este Teorema es algo compleja y no la incluiremos aquí.

Además, si $i-1$ y $j-1$ son primos entre sí, los sistemas ${\mathbb{L}}_i$ y ${\mathbb{L}}_j$ verifican que $\mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_i\right)∆\mathbf{\text{Taut}}\left({\mathbb{L}}_j\right)$.