Infinitum pertransiri non potest

Introducción.-

Los escolásticos declaraban que el infinito no puede ser recorrido, cruzado, transitado, finido (pues es in-finito). Demostrémoslo. (Por cierto, lo real no se circunscribe a lo "real físico", "material", sino que hay una realidad inmaterial: la de  los objetos matemáticos, por ejemplo-, y una realidad espiritual, es decir, inmaterial inteligente y volente: Dios, los ángeles y el alma humana. Aquí tomamos como "real" lo definido así según Popper y su clasificación de lo real en Mundos. (K. Popper, J. Eccles. The Self and the brain).

Teorema.- Infinitum pertransiri non potest.

Demostración.- Nos basta demostrar que un conjunto infinito no puede ser recorrido.

Sea X un conjunto infinito. Entonces X contiene un subconjunto numerable, X'.

Sea

                                                                      f : N → X'

una enumeración (biyección) de X'.

Entonces

                                                            X' = {x_n = f(n)}_{n ∈ N}

es la sucesión de los elementos de X'.

Definamos en X' una relación de orden (que llamamos inducida por f), de la siguiente forma:

                                                 (∀x_n,x_m ∈ N)  x_n ≤_f x_m ↔ n ≤ m,

donde ≤ es la relación de orden usual en N.

Ahora es fácil demostrar que

                                                 f : (N, ≤) → (X', ≤_f) , f(n) = x_n

es  un orden-isomorfismo. Luego todo razonamiento en (X', ≤_f) en que intervenga el orden ≤_f, es equivalente al respectivo razonamiento en (N, ≤).

Procedamos con (N, ≤).

El intervalo final en (N, ≤):

                                                             [n, →)_≤

con n ∈ N arbitrario, carece de último elemento.

Si ≤^-1 es la relación inversa de la ≤ en N, se tiene que, en  (N, ≤^-1), el intervalo inicial

                                                             (←, n]_≤^-1

para un n ∈ N cualquiera, carece de primer elemento, pues si lo tuviera, este sería el último elemento de

                                                             [n, →)_≤

el cual no existe.

Ahora bien, un conjunto numerable puede ser recorrido si, al enumerarlo o describirlo por extensión, lo agotamos, llegamos a su último elemento. Pero como este no existe,

                                                            [n, →)_≤

y, en consecuencia,

                                                           (←, n]_≤^-1

no pueden ser recorridos. Es decir, que, en (←, n]_≤^-1 no podemos alcanzar n desde ←, y esto ∀n ∈ N.

Por lo tanto, lo mismo se verifica con (X', ≤_f) y (X', ≤^-1_f).

Y como todo conjunto infinito X contiene un subconjunto numerable, X', hemos demostrado la hipótesis del teorema respecto de un conjunto infinito.

Pero todo ente infinito, E, tiene al menos un conjunto infinito de descriptores (o estados), que no puede ser recorrido. Luego E mismo no puede ser recorrido.

Q.E.D..


Corolario 1.- Ningún ente finito puede recorrer un conjunto infinito de estados o momentos (durativos, no necesariamente temporales).

Demostración.- Inmediata. Q.E.D.

Corolario 2.- El Universo⁽¹⁾ █ no ha podido existir "desde siempre".

Demostración.- Si no fuera así, sea

                                                            (←, 0]_≤^-1          (1)


el conjunto infinito (a parte ante, intervalo inicial), causalmente ordenado mediante la relación ≤^-1.

Por lo demostrado en el Teorema y Corolario 1,  si 0 designa el momento actual, █ no ha podido recorrer, desde ←, hasta 0, el intervalo inicial (1). Q.E.D.




OBJECIÓN 1.- Un segundo tiene una infinidad (no numerable) de instantes. Pero un segundo es recorrible (por un ente finito). Luego el infinito es recorrible.

Resolución.- Un segundo (tiempo físico, no su representación numérica, matemática), no tiene una infinidad de instantes de tiempo físico, dado que existe un mínimo intervalo de tiempo con significado físico: el tiempo de Planck:

                                                   T_P = (Għ/c⁵)^½  ~ 10^-43 s.

OBJECIÓN 2.- Un metro tiene una infinidad (no numerable) de puntos espaciales. Pero un metro es recorrible (por un ente finito extensivo).
Luego el infinito es recorrible.

Resolución.- Un metro (longitud fisica, no su representación numérica, matemática) no tiene una infinidad (no numerable) de puntos físicos, pues existe un mínimo intervalo físico de espacio lineal, denominado longitud de Planck:

                                                  L_P = (Għ/c³)^½ ~10^-33 cm.

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¹Designamos con el símbolo gráfico █ al Universo, designado así y definido en Ontology (I). The furniture of the World. M. Bunge.