DEFINICIÓN Ia.1.- Denominamos proposición indefinida1 a aquella que contiene una (o varias) variables..
Ejemplo: "x es mayor que 4".
Consideraremos ahora que los valores de la variable pertenecen a una clase finita, bien definida, de individuos matemáticos. Si en una proposición indefinida sustituimos la(s) variable(s) por uno de sus valores, obtenemos un enunciado singular definido, el cual es o verdadero o falso. Llamaremos, al dar valores concretos a la variable de una proposición indefinida, valorar la variable.
DEFINICIÓN Ia.2.- Una proposición indefinida es verdadera si todos los enunciados obtenidos al sustituir su(s) variable(s) (valorarla(s)) son verdaderos.
Ej.: "x es mayor que 0" (para x = 1,2,...,6).
Una proposición indefinida es falsa si conduce a enunciados falsos para todos los valores de la variable.
Ej.: "x es mayor que 6" (para x = 1,2,...,6).
Una proposición indefinida es ni verdadera ni falsa si los enunciados que se obtienen para algunos valores de la variable, son verdaderos, mientras que los obtenidos para otros valores de la variable, son falsos.
E.j: "x es mayor que 4" (para x = 1,2,...,6).
Puesto que una proposición indefinida puede ser ni verdadera ni falsa, definimos
DEFINICIÓN Ia.3.- El valor de verdad de una proposición indefinida es la razón entre el número de valores de la variable para los cuales la proposicion conduce a enunciados verdaderos, y el número total de valores de la variable.
Ej.: "x es mayor que 4" (para x = 1,2,...,6), tiene el valor de verdad: 2/6 = 1/3.
Obviamente, el valor de verdad de una proposición indefinida verdadera es 1; el valor de verdad de una proposición indefinida falsa es 0; el valor de verdad de una proposición indefinida ni verdadera ni falsa es una fracción propia.
DEFINICIÓN Ia.4.- La relación de implicación entre dos proposiciones indefinidas a y b (antecedente y consecuente) se verifica si, para cualquier par de valores de las variables que ocurren en a y b, o a conduce a un enunciado falso o b conduce a un enunciado verdadero.
Puede haber tres casos:
1. La proposición indefinida antedecente, a, es falsa. Entonces el consecuente puede ser arbitrario.
2. La proposición indefinida consecuente, b, es verdadera. Entonces, el antecedente puede ser arbitrario.
3. Ni el antecedente es falso ni el consecuente es verdadero. Entonces se cumple el siguiente
TEOREMA Ia.1.- En una relación de implicación que se verifica entre dos proposiciones indefinidas, a y b, ambas deben contener la misma variable y todos los valores de la variable que verifican a deben verificar b.
Demostración.- Sea i un valor de la variable que ocurre en a. Entonces, para este valor i, a conduce a un enunciado falso o verdadero. En el primer caso, se cumple la primera condición de verificabilidad de una relación de implicación. En el segundo, debe cumplirse la segunda. Si b contiene otra variable distinta de la contenida en a, y b es ni verdadera ni falsa, podemos seleccionar un valor j para la variable de b, para el cual b conduzca a un enunciado falso. Pero entonces la relación de implicación entre a y b no se verifica porque el par de valores de las variables (i,j) no conduce a a a un enunciado falso, ni a b a un enunciado verdadero. En consecuencia, a y b deben contener la misma variable, y el mismo valor i que conduce a a a un enunciado verdadero cuando se sustituye la variable por él, debe conducir a b a un enunciado verdadero cuando se sustituye esa misma variable, por i, en b. Q.E.D.
Ejemplos. Sea la implicación cuyo antecedente es la proposición indefinida a = "x es mayor que 4", y cuyo consecuente es la proposición indefinida b = "x es mayor que 3" (para rango de valores de x, arbitrario). Es inmediato comprobar que la implicación entre a y b se verifica.
Sea ahora a = "x es mayor que 4", y b = "x es mayor que 5" (para x = 1,2,..., 6). Como para x = 5, a conduce a un enunciado verdadero y b conduce a uno falso, la relación de implicación entre a y b no se verifica en este caso. ______________________________________________
1 La cuestión (meta)lógica de qué sea una proposición susceptible de valoración de verdad, es objeto de definición, como en este caso. No es un concepto, al menos en Lógica Matemática, apriorístico.
17 comentarios:
Estimado Francisco, le dejo aquí la observación que me ha hecho el profesor Néstor Martínez (bloguero de InfoCatólica) sobre su artículo, en este interesante tema. Aquí va:
"Estuve mirando el artículo sobre las lógicas multivaluadas, el primero, y me parece que el error de base ahí está en la noción misma de "proposición indefinida", que para el autor es la que tiene una o más variables,. por ejemplo, "X es mayor que 4".
A partir de ahi, define "verdadera" como aquella proposición que para cualquier valor que se dé a X resulta ser verdadera; "falsa" aquella que para cualquier valor de X resulte falsa, y "ni verdadera ni falsa" aquellas que para algunos valores de X son verdaderas y para otros valores de X son falsas.
A estas últimas les corresponde un "valor de verdad" que no es ni 0 ni 1, porque se obtiene dividiendo la cantidad de casos en que son verdaderas por la cantidad total de casos, que es una cantidad mayor que la anterior, obviamente.
Digamos de paso que no es una buena forma de definir "proposición verdadera" si se incluye la palabra "verdadera" en la definición: nos quedamos sin saber qué significa "proposición verdadera".
Pero el problema de fondo es que eso no es una proposición, sino solamente el esquema de una posible proposición, que se tendrá solamente cuando se ponga algún número concreto en lugar de "X".
Cuando eso se haga, se tendrá, recién, una proposición, y entonces, será 100 % verdadera, o 100 % falsa.
El truco de llamarlas "proposiciones indefinidas" no las convierte en proposiciones, basta preguntar qué estoy afirmando cuando "afirmo" que "X es mayor que 2".
Nada, porque X no representa ningún sujeto determinado. No es lo mismo que decir "Algún número es mayor que 2". porque ahí el sujeto está suficientemente determinado como para saber que esa proposición es 100 % verdadera.
Saludos cordiales."
Un saludo y que Dios lo bendiga.
Según ese razonamiento, si afirmo “Pedro es abogado”, sí habría una proposición, dado que no hay variable (explícita) como sujeto. Pero la declaración anterior no tiene valor de verdad a menos que sepamos quién es Pedro (hay muchos) y qué es ser abogado (en cada país, las condiciones legales para serlo difieren, normalmente).
Pero es que el razonamiento incurre en petición de principio. Justamente al definir una “proposición indefinida” declaramos que el sujeto no está determinado (aunque sí establecemos luego el rango de valores determinados que puede tomar. Es decir, que el "no estar determinado actualmente el sujeto" no es equivalente a "el sujeto no existe"; existe, pero justamente como indeterminado). Por eso le añadimos el adjetivo “indefinida”, como diferencia específica del género “proposición”. Tomemos por ejemplo la declaración: "Está lloviendo". ¿Es verdadera o falsa? Su valor de verdad (que es dependiente del momento de su enunciado y del lugar en que se enuncia) es indefinido. No es lo mismo "tener un valor de verdad indefinido" (además del de verdadero y falso) que "no tener valor de verdad".
Además, en el contra-ejemplo que expone el señor Néstor: “Algún número es mayor que dos”, el sujeto tampoco está “determinado” (ni la propiedad o relación binaria de orden “ser mayor que”). En efecto. Llamemos p a la proposición del contraejemplo de Néstor. Según a qué conjunto numérico nos refiramos (el de los números naturales, el de los enteros módulo 2, etc.) y a qué relación de orden (la habitual en los naturales, la determinada por la relación de divisibilidad, etc.) la declaración p será verdadera o falsa. Pero tal y como está escrita no podemos, sin más, atribuirle un valor de verdad. Está indefinido. Luego según el criterio de Néstor, no hay proposición alguna, sino ficción de la misma.
Con un ejemplo lo veremos más claro. Si en el semianillo de los números naturales (N,+, ·), definimos la relación de orden “menor que”, denotada por “◄”, de la forma:
n ◄ m si y solo si n|m (n divide a m),
Entonces el mayor número natural es el 0, pues todo número natural (incluido trivialmente el propio 0), divide(*) a 0 (en Teoría de Números). Luego la proposición “algún número es mayor que 0” es falsa. Sin embargo, esta misma proposición, en el mismo semianillo pero con la relación de orden usual, es verdadera.
Obvia, también, Néstor en su respuesta, que en la definición de "proposición indefinida" hay declarado lo que ahora se denomina "universo de discurso", sin el cual no tendría sentido la definición. Luego lo de "cualquier valor" o "algún valor" ha de referirse a los valores concretos del conjunto (finito, en este caso) que constituye el rango donde la variable toma valores.
En sus Principia Mathematica Russell (junto con Peano, anteriormente) negó a estas expresiones el carácter proposicional, denominándolas, en su lugar funciones proposicionales.
En una entrada posterior se aclarará más esta cuestión.
______________________________________________
(*) Si n y m son números naturales (pertenecientes al conjunto {0,1,2,3,4,...}), se dice que "n divide a m" (y se representa mediante la expresión 'n|m') si y solo si existe un número natural, p, tal que :
m = n·p
Se considera (en Teoría de Números) que 0|0, pues 0 = 0·0.
Como, para todo número natural, n, 0 = n·0, se tiene que n|0. Esta relación de orden, en N, es parcial pues, por ejemplo, 2 y 3 (en general, ningún par de números naturales, primos entre sí) no son comparables (mediante | ).
Una puntualización sobre el concepto de "definición". La tendencia es o a hipostatizar las definiciones o a adscribirlas (las admisibles como tales) a una escuela filosófica determinada. Eso es un error.
Consideremos la definición de "definición" que A.N. Whitehead y B. Russell realizan en sus Principia Mathematica (Vol. I, p. 11):
"A definition is a declaration that a certain newly-introduced symbol or combination of symbols is to mean the same as a certain other combination of symbols of wich the meaning is already know. Or, if the defining combinations of symbols is one wich only acquires meaning when combined in a suitable manner with other symbols, what is mean is that any combination in wich the newly-defined symbols or combination of symbols occurs is to have that meaning (if any) wich results from substituting the defining combination of symbols for the newly-defined symbol or combination of symbols wherever the latter occurs. We will give the names of definiendum and definiens respectively to what is defined and to that which it is defined as meaning. We express a definition by putting the definiendum to the left and the definiens to the right, with the sign "=" between, and the letters "Df" to the right of the definiens.
[...]
It is to be observed that a definition is, strictly speaking, no part of the subject in wich it occurs. For a definition is concerned wholly with the symbols, not with what they symbolise. Moreover it is not true or false, being the expression of a volition, not a proposition."
No hay "truco" alguno, pues, en la definición (oriunda de Jan Łukasiewicz, como después veremos) de "proposición indefinida". Simplemente una volición que resulta útil y ejemplifica la razonabilidad de la Lógica Multivaluada. Que dicha definición sea inadmitada por determinada escuela de pensamiento no la invalida como legítima definición.
Fue escrito:
Digamos de paso que no es una buena forma de definir "proposición verdadera" si se incluye la palabra "verdadera" en la definición: nos quedamos sin saber qué significa "proposición verdadera".
_________________________________________
El concepto de "verdad" (y derivados), en Lógica Matemática, es funcional, relativo a una interpretación o modelo.
Primero se define un lenguaje formal (esto es, un conjunto finito, no vacío, S, de símbolos gráficos -que representan a proposiciones simples o atómicas del lenguaje- más un subconjunto propio del conjunto de sucesiones finitas de dichos símbolos, denominado conjunto de fórmulas bien formadas -que representan a proposiciones compuestas, del lenguaje-, W).
A continuación se define una valoración (de verdad) (o semántica), v, como una función cuyo conjunto inicial es el conjunto de fórmulas bien formadas(*) W, y cuyo conjunto final es:
a) En el Lenguaje del Cálculo Proposicional Bivalente (CP2), L2, el conjunto binario {0,1}, donde '0' corresponde a 'verdadero' y '1' a 'falso'.
Luego una "proposición verdadera" del CP2 es una fbf del mismo, α, tal que v(α) = 1.
b) En el Lenguaje del Cálculo Proposicional n-valente (CPn), Ln, el conjunto {0,1/n,2/n,...,(n-1)/n}. Una proposición verdadera en CPn es aquella α para la que v(α) = 1.
c) En el Lenguaje del Cálculo Proposicional ℵ0-valente, Lℵo, el intervalo de los números racionales contenidos en [0,1].
d) En el Lenguaje del Cálculo Proposicional 2^ℵ0-valente, L2^ℵo, el intervalo cerrado de números reales [0,1].
Etcétera.
En todos los lenguajes de cálculos no bivalentes, las proposiciones ni verdaderas ni falsas son todas aquellas cuyos valores de verdad son distintos de 1 y 0. Lo estudiaremos en su momento.
________________________________
(*) En rigor, se define dicha valoración de verdad (o semántica), v, en primer lugar, para los "símbolos aserción" o "letras declarativas" (que representan a proposiciones simples), y después, mediante un teorema de extensión, se extiende dicha valoración de verdad al resto de las fbfs (que representan a proposiciones compuestas, obtenidas de las simples mediante las llamadas "operaciones conectivas"), denotándose la valoración de verdad extendida, por ejemplo, mediante el símbolo 'v̄' (o similar).
El proceso es puramente algebraico, matemático, y no interviene definición filosófica (sobre los conceptos "verdad" y "proposición") de ninguna clase.
Las "operaciones conectivas" son a su vez aplicaciones (unarias o binarias, según el caso) del conjunto W de fbfs en sí mismo, las cuales, con la notación polaca, quedan:
N: W → W; α → Nα
C : W × W → W ; (α,β) → Cαβ
Etcétera.
Normalmente se contempla lo que se denomina "sistema o conjunto completo de conectivas". Se suele elegir el conjunto {N,C}, y como axiomas los siguientes, siendo α,β y γ fbfs:
(A1) CαCβα
(A2) CCαCβγCCαβCαγ
(A3) CCNαNβCCNαβα
Es decir, la valoración de verdad del lenguaje es, por definición, una aplicación
v : S → R
donde R es un conjunto arbitrario de "valores de verdad".
En su momento demostraremos que existe una extensión única de v, a una aplicación
v̄ : W → R
Corrección de errata.
Donde dice:
donde '0' corresponde a 'verdadero' y '1' a 'falso'.
debe decir:
donde '1' corresponde a 'verdadero' y '0' a 'falso'.
De todas formas, es cuestión de convenio, y este es el más utilizado.
Corrección de errata:
En mi tercer mensaje de respuesta, donde dice:
b) En el Lenguaje del Cálculo Proposicional n-valente (CPn), Ln, el conjunto {0,1/n,2/n,...,(n-1)/n}. Una proposición verdadera en CPn es aquella α para la que v(α) = 1.
Debe decir:
b) En el Lenguaje del Cálculo Proposicional n-valente (CPn), Ln, el conjunto {0,1/(n-1),2/(n-1),...,(n-1)/(n-1)}. Una proposición verdadera en CPn es aquella α para la que v(α) = 1.
Corrección de errata.
Donde dice:
Primero se define un lenguaje formal (esto es, un conjunto finito, no vacío, S, de símbolos gráficos -que representan a proposiciones simples o atómicas del lenguaje- más un subconjunto propio del conjunto de sucesiones finitas de dichos símbolos, denominado conjunto de fórmulas bien formadas -que representan a proposiciones compuestas, del lenguaje-, W)
En rigor debe decir:
Primero se define un lenguaje formal (esto es, un conjunto finito, no vacío, S, de símbolos gráficos -que representan a proposiciones simples o atómicas del lenguaje-, más un conjunto finito de operaciones conectivas, más un subconjunto propio del conjunto de sucesiones finitas de dichos símbolos -los de S junto con los que representan a las operaciones conectivas-, denominado conjunto de fórmulas bien formadas -que representan a proposiciones compuestas, del lenguaje, y que se construyen desde el conjunto S por medio de las operaciones conectivas-, W, de tal forma que S⊂W)
Estimado Francisco, está es la réplica de Néstor:
"Bueno, en la respuesta del Prof. Alvarez se confunde el hecho de que el sujeto sea una variable incógnita con el hecho de que no esté precisado el sentido en que se toman el sujeto y el predicado.
Una cosa es decir "x" es un número" y otra decir "Pedro es aviador", sin especificar de qué "Pedro" estoy hablando.
En el primer caso no tengo sujeto de la frase, sino el lugar vacío que deberá ocupar un sujeto para que haya una proposición.
En el segundo caso, tengo un sujeto, pero no tengo especificado el sentido (más estrictamente, la "suposición") del sujeto y la proposición.
Eso quiere decir que en el segundo caso tengo una proposición indefinida, en el primero, no tengo una proposición.
La diferencia es que en el segundo caso la proposición ya es "verdadera o falsa", y será una cosa o la otra según el sentido, mejor, la "suposición", en que se tomen los conceptos que la integran, mientras que en el primer caso no es ni una cosa ni la otra, hasta que no ponga algo en lugar de "x", el cual no puede tomarse en sentido alguno, ni tiene sentido pensarlo, porque no es un sujeto, como dije, sino la casilla vacía para un sujeto.
[Sigue...]
Es cierto que es indefinido el valor de verdad de "Pedro es aviador", pero tampoco en el sentido de que sea un tercer o cuarto valor de verdad distinto de "verdadero" y "falso", ya que ese valor de verdad "indefinido" es precisamente "verdadero o falso", en disyunción, según el sentido que se dé a "Pedro", más precisamente, según el individuo por el cual se haga "suponer" a Pedro.
Y una disyunción entre los dos clásicos valores de verdad no es un nuevo valor de verdad, como una disyunción entre "blanco" o "negro" no es un tercer color.
"Algún número" no es indeterminado al modo en que "x" lo es. La prueba es que "Algún número es mayor que 2" es verdadera 100%, mientras que de "x es mayor que 2" no se puede decir ni que sea ni verdadera ni que sea falsa, ni tampoco que tenga un valor de verdad.
Y "Algún número es mayor que 2" es verdadera sin más, porque precisamente, al no especificar un campo numérico determinado como "dominio" de la variable, se entiende que se refiere al conjunto de todos los campos numéricos posibles, y dice, muy sencillamente, que dentro de ese conjunto hay al menos 1 número que es mayor que 2, lo cual es verdad 100%.
Por eso también, si digo que el "dominio" de "x" en "x es mayor que 2" es el conjunto de los números naturales, por ejemplo, entonces estoy en un caso totalmente diferente, porque eso equivale a decir que "algún numero natural es mayor que 2", lo cual es 100% verdadero.
Por otra parte, entiendo, obviamente, que las definiciones definen conceptos, no "símbolos" en el sentido de meros dibujos, y si se trata de esto último, es claro que es un ejercicio intelectual que no tiene nada que ver ni con las proposiciones, ni con la verdad de las mismas, etc.
La lógica no se hace con "voliciones" referidas a "símbolos" que en principio son meros dibujos, sino con conceptos objetivos. Y tan "escuela de pensamiento" es la que dice que sí se hace de ese modo como la que dice que no, salvo tal vez en el sentido de que la que dice que no es obviamente verdadera, por sentido común.
Es decir, la discusión parece girar acerca del punto de partida, si en él se encuentran los dibujos o los significados. Es claro que lo que hay en el punto de partida son los significados, por más que eso vaya en contra de cierta escuela de pensamiento, el positivismo lógico, que ha estado en boga hace ya muchos años.
También parece girar la discusión acerca de si los sistemas simbólicos están en función del lenguaje natural o existen por sí y para sí, y con la capacidad de regular el mismo lenguaje natural, como supone la escuela de pensamiento llamada "positivismo lógico".
Es claro que el lenguaje natural es anterior a todo sistema simbólico, que no sería simplemente pensable sin el supuesto de dicho lenguaje natural y su significado previo.
Saludos cordiales."
Un saludo.
Pequeña corrección:
Atenti a la letra en negrita.
"Algún número" no es indeterminado al modo en que "x" lo es. La prueba es que "Algún número es mayor que 2" es verdadera 100%, mientras que de "x es mayor que 2" no se puede decir ni que sea ni [tachar esta "ni"] verdadera ni que sea falsa, ni tampoco que tenga un valor de verdad.
Pequeña corrección:
Atenti a la letra en negrita.
"Algún número" no es indeterminado al modo en que "x" lo es. La prueba es que "Algún número es mayor que 2" es verdadera 100%, mientras que de "x es mayor que 2" no se puede decir ni que sea ni [tachar esta "ni"] verdadera ni que sea falsa, ni tampoco que tenga un valor de verdad.
1º.- La cuestión (o cuestiones) toral (o torales) es a qué podemos denominar proposición, qué es una proposición, qué es una valoración de verdad y a qué objetos se les puede atribuir una valoración de verdad.
En el vocabulario de la lógica ordinaria, a veces aparece el término 'sentencia' (que es un anglicismo) como equivalente a 'oración declarativa'. En lógica tradicional se suele emplear la palabra 'juicio', que alude primariamente al acto psíquico de juzgar; pero también se expresa para referirse al resultado de tal acto, es decir, a lo juzgado. El término 'proposición' puede resultar ambiguo. Unas veces se lo usa como sinónimo de oración declarativa dotada de sentido, y otras (acepción predominante hasta el siglo XX) como el sentido o significado de una oración así. El lógico alemán Frege emplea en ese modo su voz 'pensamiento': el sentido de una oración declarativa.
Algunos piensan que los portadores de verdad o falsedad no son en realidad las oraciones sino las proposiciones, pero otros (como Quine) consideran que las proposiciones en tanto que algo distinto de las oraciones y supuestamente expresado por ellas son objetos demasiado oscuros para poder ser utilizados en lógica.
Todo esto tiene su origen en el capítulo 4 de De Interpretatione, en que Aristóteles establece una diferenciación entre diversas clases de oraciones, que se ha hecho clásica, y que es la que ha originado el prejuicio hasta hoy: "Cada oración tien un sentido [...]; pero no toda oración es significativa, sino solo aquella que puede ser verdadera o falsa". Aristóteles llama a este tipo de oraciones oraciones apofánticas (de ἀπόφασις, declaración, enunciación).
Para Jaime Balmes (cima especulativa del siglo XIX español, "el juicio es el acto intelectual con que afirmamos o negamos una cosa de otra" (Fiolsofía Elemental, Tomo I, nº 141) y "la expresión del juicio con palabras se llama proposición" (op. cit., nº 142).
En la Sección II de la obra balmesiana citada, establece una clasificación general de las proposiciones: consideradas en sí mismas o en relación con otras. Por razón de la cópula en afirmativas y negativas. Y, lo que aquí nos interesa más:
"Por razón del sujeto, las proposiciones se dividen en universales, particulares, indefinidas y singulares, según que el sujeto sea universal, particular, indefinido o singular," (op.cit., nº 148).
"«Todo árbol es vegetal» La proposición es universal, porque el sujeto lo es, como indica la palabra 'todo'. «Algunos cuerpos son elásticos» La proposición es particular, porque el sujeto lleva el término 'algunos'. «Los alemanes son meditabundos» La proposición es indefinida, porque el sujeto, 'los alemanes', no está determinado, pues no se expresa si lo son todos o algunos." (op.cit., nº 148-150).
En la clase que delimita este último concepto puede incluirse la definición que de proposición indefinida se ha realizado aquí, y cuyo valor de verdad es un número real perteneciente al intervalo [0,1].
Le recomiendo que estudie todo el capítulo IV de la obra citada de Jaime Balmes.
Pero la cosa es que los artículos de mi bitácora no hablan de lógica filosófica u ordinaria, sino de Lógica Matemática (LM, en adelante), la cual, si tuvo cierto impulso desde el Positivismo Lógico, actualmente es un campo científico formal de estudio e investigación matemática (sobre todo el relativo a las denominadas "lógicas no clásicas").
2º.- El concepto de "definición". El Matemática (y la LM es una parte de esa ciencia), las definiciones son el efecto o resultado de voliciones. No son objetos que no son dados por revelación de ningún tipo, ni son, al menos en su mayoría, suscitados por la obervación del mundo extramental.
Ejemplos, se podrían poner muchos.
El acto de definir es plenamente subjetivo, personal, aunque puede estar inspirado (en ciertos casos, más no en su generalidad) en la realidad material o en la psíquica. Como acto libre de una voluntad, es arbitrario, no teniendo por fuerza que someterse a prejuicios filosóficos o de otra índole. Dicho en román paladino: se define algo porque el definiente tiene el deseo de definir como define y si, además, esta definición amplia fructíferamente el ámbito de la Ciencia Matemática (y, en particular, de la Física Teórica), mucho mejor. Y si, además, tiene consecuencias prácticas (como las de la Lógica Difusa y las Multivaluadas, en Computación, Teoría de la Demostración, demostración de la independencia de/en sistemas axiomáticos, Inteligencia Artificial, Robótica, etc.), todavía mejor. Todo ello aunque a las mentes prejuiciosas les chirríe intelectualmente.
Algo similar ocurre con los axiomas (de los cuales carece de sentido preguntar si son verdaderos o falsos, a priori, dado que se establecen arbitrariamente, con la única condición de que la teoría que engendren sea consistente). Ejemplo: El quinto postulado o axioma de Euclides de la Geometría y un axioma incompatible con él, ambos admisibles (cada uno en su propio dominio geométrico). En efecto.
Axioma euclideano: Con respecto a un punto A y una recta r que no pasa por A, no hay más que una recta , en el plano Ar, que no corta a A.
Axioma hiperbólico: Con respecto a un punto A y una recta r que no pasa por A, hay más de una recta que pasa por A, en el plano Ar, y que no corta a r.
¿Cuál de los dos axiomas es "verdadero"? Podemos afirmar que "verdaderos" lo son los dos: cada uno en su respectiva geometría, la euclideana, para el primero, y la hiperbólica, para el segundo. Con la sorpresa de que fue la hiperbólica la que permitió (con el posterior empleo de las geometría riemannianas y semiriemannianas) el desarrollo matemático de la Relatividad General, una de las dos teorías físicas hoy más precisas.
Preguntar por el valor de verdad (lógico) del AE o el AH no tiene, en rigor ( por eso el entrecomillado), sentido, ni respecto de su adecuación con cierta realidad ("la verdad es la adecuación del entendimiento con la realidad", "la verdad es la posesión intelectual de la índole de las cosas", etc.) ni con un valor de verdad que debamos descubrir, previo a nuestra declaración de cada axioma. El "valor de verdad" se lo otorga en una volición el matemático que define o declara dicho axioma y desarrolla, a partir de él, una teoría consistente.
3º.- Expone usted, en el caso de las proposiciones indefinidas, que no hay sujeto de las mismas, sino la "casilla vacía" para poner un sujeto que las dotará del valor de verdad 0 ó 1. No es correcto. No confundamos "no haber sujeto definido" con "haber sujeto indefinido". Un sujeto puede estar indefinido sin dejar de ser sujeto, como en el ejemplo de Balmes. Más aún, una declaración puede tener un valor de verdad sin tener sujeto (ni definido ni indefinido), como veremos a continuación con un ejemplo gramatical. Pero antes, analicemos algo más el caso de las proposiciones indefinidas.
En "x es un número", el sujeto es "x", representado por la letra 'x': una variable sin concretar (pero dando su posible rango de valores) a la que atribuimos la propiedad de "ser número". No hace falta cuantificar aquí porque entonces estaríamos ante una sentencia de la Lógica de Primer Orden (con su respectiva "interpretación") y lo que se ha pretendido es definir el concepto de "proposición indefinida" de tal forma que admita un valor de verdad en el intervalo [0,1]. Recordemos el ejemplo expuesto por Balmes y su clasificación de las proposiciones. No se confunda "proposición indefinida" con "fórmula bien formada del Cálculo de Predicados (en adelante, CPred.) que posee variables libres", ni con "sentencia del CPred." (es decir, con una fbf del CPred. que no tiene ninguna variable libre, porque todas las variables de la fbf están cuantificadas -ocurren dentro del alcance de un cuantificador).
La Lógica Multivaluada es un modelo de la Lógica Ordinaria, extensión de la Lógica Proposicional y de la Lógica de Predicados de Primer Orden o CPred.. Dicha extensión se precisa para poder modelizar formalmente ciertas oraciones significativas del lenguaje natural, cuyo sentido (y valor de verdad) no puede ser capturado (en sus matices semánticos) por las dós lógicas clásicas mencionadas. En su momento me extenderé sobre ello. Ahora analicemos un caso más, gramatical.
Consideremos la oración a: "llueve. Esta oración, gramaticalmente, se denomina impersonal (Compendio de Gramática Española, 41.4): no lleva sujeto expreso ni lo posee sobrentendido. Según su tesis, no sería entonces una verdadera proposición, susceptible de valoración de verdad, cosa que es falsa.
La oración a no solo es una proposición (amén de una oración con sentido pleno), sino que su valor de verdad: a) no está previamente definido, dependiendo del momento y lugar de su enunciación; b) puede tomar cualquier valor de verdad en el intervalo [0,1]. No carece de significado gramatical, y tampoco carece de significado lógico, aun careciendo propiamente de sujeto. La expresión denotada por 'a' es una sentencia y puede tener los valores de verdad (al menos) 0 y 1, sin tener siquiera sujeto variable.
"Está nublado", "Hay poca luz", "Nieva", "Juan es calvo", "Alicia es hermosa", "100 es un número mucho mayor que 1 (en el orden natural)", etc., son sentencias imprecisas, borrosas (fuzzy), a las cuales no se les puede atribuir, sin más, un valor de verdad en {0,1}. Pero esto lo veremos con más extensión en posteriores artículos. No nos adelantemos.
4º.- Sentido común. Esto del sentido común es poco preciso. ¿Qué es el sentido común? El sentido común nos llevaría (haciendo unos pocos diagramas en un papel) a postular que el AE es verdadero, y que su incompatible, el AH, es falso. Pero eso no es así.
Tan verdadero es el AE en Geometría Euclideana como el AH en Geometría Hiperbólica, a pesar de que el segundo vaya contra el "sentido común".
El "sentido común" nos llevaría a afirmar que los números infinitos no existen (pues parece que todo lo que observamos y lo que de la observación inducimos es finito. Eso sin considerar las doctrinas filosóficas que intentan negarles existencia). Sin embargo, ahí están, sólidamente fundamentadas, ramas enteras de la Matemática, extensiones consistentes de otras, en las que los números infinitos no solo tienen existencia, sino consistencia (lógica).
El "sentido común" (elaborado esta vez mediante experimentos en el mundo de la Mecánica Clásica) nos llevaría a afirmar que el tiempo es absoluto, y que relojes sincronizados una vez, moviéndose uno respecto al otro a velocidades diversas, miden el mismo intervalo de tiempo entre el mismo par de sucesos (esto es, permanecen sincronizados siempre).
Sin embargo, la Relatividad Restringida nos muestra (experimentalmente) que eso no es así.
Si, por ejemplo, usted tuviera un hermano gemelo el cual, partiendo en una nave espacial hacia una estrella lejana (suponiendo tecnología desarrollada para ello), se moviera a una velocidad uniforme media de, digamos, 0.99c, siendo c la velocidad de la luz en el vacío (299792458 m/s), durante un tiempo de 10 años (tiempo "propio", medido en el reloj atómico, de precisión, de la nave, sincronizado antes del viaje con el de usted, en la Tierra) en el viaje de ida y vuelta, cuando su hermano llegara a la Tierra después del periplo, para el reloj de usted (y para la Tierra misma) habrían transcurrido:
70.8881205008335900765435361350619421001945132120796073...
años. Su usted tuviese antes del viaje de su hermano 30 años, cuando su hermano volviera él tendría 40 y usted algo más de 100.
El "sentido común" nos lleva a admitir el (en apariencia inocente) Axioma de Elección de ZFC. Pero justamente mediante dicho axioma se demuestra el Teorema (conocido com Paradoja) de Banach-Tarski, que va completamente en contra del "sentido común".
El "sentido común", señor Néstor, no parece tener mucho sentido, y menos, común.
Y así sucesivamente.
5º.- Finalmente, sería deseable que, si tiene usted que exponer alguna cosa, no lo haga a través de un intermediario, sino directamente en mi blog.
Publicar un comentario