Sobre las lógicas multivaluadas (Ic)

Ley de Adición.

 

(5) w(ab) + w(a'b) = w(b).

Demostración.- En III, sustituyendo a por  ab, se tiene:

(ab < b) < {w(ab) + w[(ab)'b] = w(b)}

como en Álgebra de la Lógica

(ab)' = a' + b'

(ab)'b = (a' + b')b = a'b + 0 = a'b

Entonces, por (3):

w[(ab)'b] = w(a'b)

luego

(ab < b) < {w(ab) + w(a'b) = w(b)}

Pero ab < b es una ley lógica universalmente válida, por lo tanto se concluye la tesis o consecuencia:

w(ab) + w(a'b) = w(b)

Q.E.D.

(6) w(a) + w(a'b) = w(a + b).

Demostración.- Sustituyendo en III b por a + b:

(a < a + b) < {w(a) + w[a'(a + b)] = w(a + b)}

Pero a'(a + b) = a'a + a'b = 0 + a'b = a'b; luego, por (3), w[a'(a + b)] = w(a'b), y 

(a < a + b) < {w(a) + w[a' b] = w(a + b)}

y como el antecedente o razón  a < a + b es una ley lógica universalmente válida, el consecuente está probado.

Q.E.D.

(7) w(a + b) = w(a) + w(b) - w(ab).

Demostración.- Sustrayendo la ecuación (5) de la (6). Q.E.D.

(8) (ab = 0) < [w(a +b) = w(a) + w(b)].

Demostración.- Si ab = 0, por I, w(ab) = 0. Q.E.D.

Ejemplo. Sea a: "x = 4"; b: "x es menor que 3". Para x = 1,2,...,6; w(a) = 1/6, w(b) = 2/6. Las proposiciones a y b son mutuamente excluyentes. Su suma lógica tiene, por (8), el valor de verdad 3/6.

Por Inducción Matemática, la Ley de Adición puede extenderse a más de dos proposiciones.

(9) $(\sum _{i,j=1;i\ne j}^n{a}_i{a}_j=0)<\left[w\right(\sum _{i=1}^n{a}_i\left)=\sum _{i=1}^{n}w(a_i\right)]$.

"Si n proposiciones son dos a dos mutuamente excluyentes, entonces el valor de verdad de su suma lógica es igual a la suma de los valores de verdad de cada una".

Conclusiones determinadas numéricamente.

 

 (10) $\left[w\right(a+b) = w(a)+w(b\left)\right]<(ab = 0)$

Demostración.- Por (7), la ecuación

$w(a+b) = w\left(a\right)+w\left(b\right)-w\left(ab\right)$

es universalmente válida. Si $w(a+b) = w\left(a\right)+w\left(b\right)$, entonces $w\left(ab\right) = 0$; luego, por I, $ab = 0$.

Q.E.D.

 Consecuentemente, la Ley de Adición puede ser reformulada como una equivalencia:

(11) $(ab=0)=\left[w\right(a+b)=w(a)+w(b\left)\right]$

(12) $\left[w\right(a)+w(a\text{'}b)=w(b\left)\right]<(a<b)$

Demostración.- Sustituyendo en (10) b por b', obtenemos:

$\left[w\right(a+b\text{'})=w(a)+w(b\text{'}\left)\right]<(ab\text{'}=0) \left(\alpha \right)$

Pero

$(ab\text{'}=0)=(a<b)$

En efecto, multiplicando lógicamente los dos miembros de la implicación $a<b$ por b' se obtiene:

$(a<b)=(ab\text{'}<bb\text{'})=(ab\text{'}<0)=(ab\text{'}=0)$

pues, obviamente, $0<ab\text{'}$.

Además, por (4):

$w(a+b\text{'})=1-w\left[\right(a+b\text{'})\text{'}]=1-w(a\text{'}b)=w\left(b\right)+w(b\text{'})-w(a\text{'}b)$

y sustituyendo en (α):

$\left[w\right(a)+w(a\text{'}b)=w(b\left)\right]<(a<b)$

Q.E.D.

El Teorema (2) es el recíproco del Axioma III. Por lo tanto, se tiene el teorema:

(13) $(a<b)=\left[w\right(a)+w(a\text{'}b)=w(b\left)\right]$.

Ejemplo. Sean las proposiciones indefinidas a : "x es P", y b : "x es Q", y supongamos, por computación, que obtenemos los números

$w\left(a\right) = \frac{m}{n}, w\left(b\right)=\frac{m+r}{n}, w(a\text{'}b)=\frac{r}{n}$

Como $w\left(a\right)+w(a\text{'}b)=w\left(b\right)$, podemos concluir que de la proposición "x es P" se sigue la proposición "x es Q".

Tales conclusiones se pueden denominar numéricamente determinadas.