Sobre las lógicas multivaluadas (Ib)

Cálculo de valores de verdad.

Denotaremos a las proposiciones indefinidas por a,b,c,..., y a sus respectivos valores de verdad por w(a),w(b),w(c),...
El producto lógico ab denota "a y b".
La suma lógica a+b denota "a ó b" (en sentido inclusivo).
La negación de a es a' (opuesta contradictoria).
La implicación entre a y b se escribe a < b, y denota "de (desde) a se sigue b".
La equivalencia  entre a y b se escribe a = b; es idéntica al producto lógico (a < b)(b < a ), y significa "de a se sigue b y de b se sigue a".

En las fórmulas del Cálculo podemos distinguir una parte lógica y una parte algebraica. La parte lógica de la fórmula representa una relación entre las proposiciones; la parte algebraica es una ecuación entre los valores de verdad de esas proposiciones.

Principios del Cálculo de Valores de Verdad.

I  (a = 0) = [w(a) = 0]

II (a = 1) = [w(a) = 1]

III (a < b) < [w(a) + w(a'b) = w(b)]




I y II establecen que si una proposición indefinida es falsa (= 0) o verdadera (= 1), entonces sus valores de verdad son  0 ó 1, respectivamente; y recíprocamente.
III establece que "si a es la razón para b, entonces el valor de verdad de a más el valor de verdad del producto lógico a'b es igual al valor de verdad de b".

Teoremas.

(1) w(0) = 0. "El valor de verdad de una proposición falsa es 0".

(2) w(1) = 1. "El valor de verdad de una proposición verdadera es 1".



Demostración.-  De I y II, por sustitución de a por 0 y 1, respectivamente. Las equivalencias a = 0 y a = 1 conducen a las siguientes identidades válidas respectivas: 0 = 0, 1 = 1; luego, respectivamente, a las de las igualdades equivalentes:

w(0) = 0, w(1) = 1
Q.E.D.

(3) (a = b) < [w(a) = w(b)]. "Si las proposiciones indefinidas a y b son equivalentes, entonces sus valores de verdad son iguales".
Demostración.- (a = b) = (a < b)(b < a). Por III:

(a < b) < [w(a) + w(a'b) = w(b)] Como

(b < a) < (a'b < a'a) y


aa' = 0, 0 < a'b
se tiene que

(a'b < 0)(0 < a'b)
Luego

a'b = 0
En consecuencia, por I: w(a'b) = 0.
Asumiendo que a = b, de w(a) + w(a'b) = w(b) y w(a'b) = 0, se concluye que

w(a) = w(b)
Q.E.D.

El recíproco de (3) no es verdadero. Ejemplo: Para x = 1,2,...,6, las proposiciones "x = 4" y "x = 5" tienen el valor de verdad 1/6; pero no son equivalentes, sino mutuamente excluyentes.

(4) w(a) + w(a') = 1. "La suma de los valores de verdad de dos proposiciones contradictorias es igual a 1".
Demostración.-  Como, en Álgebra de la Lógica, a < 1, aplicando III para b = 1, se tiene que

w(a) + w(a'1) = w(b).
Pero  a'1 = a, luego w(a'1) = w(a)



En consecuencia

w(a) + w(a') = w(b) = w(1) = 1
pues (a < 1) < [w(a) + w(a') = 1], y , siendo el antecedente o razón de la anterior fórmula una ley lógica universalmente válida, el consecuente de la misma es también una ley lógica universalmente válida.Q.E.D.