Uno de los argumentos ateológicos existentes es el que considera la noción de omnipotencia inconsistente. Este argumento suele definir dicha noción como un poder hacer cualquier cosa (sin restricción alguna). La primera consecuencia de la admisión de esta noción es la existencia de paradojas.
Por ejemplo, ¿puede un ser omnipotente construir un objeto indestructible? Puede hacerlo, por ser omnipotente; pero, por la misma razón, también puede destruir cualquier objeto. Vamos a probar que, en efecto, esta definición de omnipotencia (divina) es inconsistente, por lo que deberemos rechazarla.
Notación:
x : variable de individuo.
O : '...es omnipotente' (predicado omnipotencia)
F designa una constante (genérica) de predicado de acción o poiético (o de inacción)
φ designa una variable de predicado de acción (poiético)
DEFINICIÓN 1(De Omnipotencia) .- Ʌx [Ox ↔ Ʌφ (◊φx)]
DEFINICIÓN 2.- Decimos que un predicado F es consistente si y sólo si ¬(F ==> Φ) es un teorema.
Vamos a demostrar que el predicado 'omnipotencia' es inconsistente. Pero antes un lema que doy sin demostración.
LEMA.- ◊ Ǝx (Fx) ↔ ¬(F ==> Φ)
Este lema indica que un predicado es posiblemente ejemplificado si y sólo si es consistente.
TEOREMA.- El predicado omnipotencia , O, es inconsistente.
Demostración.-
(1) Ǝx (Ox) ; Hipótesis
(2) Oa ; Instanciación -(1)
(3) Ʌφ (◊φa) ; Ley part. cuantif. universal (x = a), Modus Ponens - DEFINICIÓN 1
- (2)
(4) ◊(F ˄ ¬F)a ; Ley Partic. Cuantif. Univ. a F- (3)
(5) ◊(Fa ˄ ¬Fa) ; Def. Conj. Predicados
(6) □(Fa ˅ ¬Fa) ; Axioma Necesitación, Ley Tercio Excluso
(7) ¬◊(Fa ˄ ¬Fa) ; Def Op, Necesidad -(6)
(8) ◊(Fa ˄ ¬Fa) ˄ ¬◊(Fa ˄ ¬Fa) ; Conjunción -(5),(7)
(9) ¬[◊(Fa ˄ ¬Fa) ˄ ¬◊(Fa ˄ ¬Fa)] ; Ley de No contradicción - (8)
(10) Ǝx (Ox) → [◊(Fa ˄ ¬Fa) ˄ ¬◊(Fa ˄ ¬Fa)] ; Teorema de Deducción- 1-8
(11) ¬Ǝx (Ox) ; Modus Tollens -(9),(10)
(12) □ ¬Ǝx (Ox) ; Postulado de Necesitación-(11)
(13) ¬◊ Ǝx (Ox) ; Def. Op. Necesidad -(12)
(14) ¬¬(O ==> Φ) ; Modus Tollens, LEMA,(13)
(15) O ==> Φ ; Ley de Doble Negación -(14)
(16) O es inconsistente ; DEFINICIÓN 2 ,(15)
Q.E.D.
sábado, 3 de mayo de 2008
Omnipotencia divina (I)
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7 comentarios:
Estimado Francisco,
En general, puedo leer y comprender los razonamientos lógicos expresados formalmente, aunque encuentro ciertas dificultades para comprender el verdadero alcance de algunos resultados.
Me gustaría que, si es posible, me explicara el significado de la definición de consistencia aplicado a los predicados para poder sacar más provecho de esta demostración.
Muchas gracias.
Ya que no está o no aparece Francisco, que lleva tiempo ausente, intentaré responderle yo:
La definición que da Francisco en este post es la que suele dar el ateismo porque es una definición que lleva a contradicción, y algo que lleva a contradicción no puede existir. Luego si la omnipotencia de Dios la definimos como la definen tendenciosamente los ateos, Dios no puede ser omnipotente.
Ahora bien, si definimos la omnipotencia de Dios como Fancisco la define en posts más recientes (lea más arriba en esta misma página), entonces esa definición no es inconsistente (es decir, que no lleva a contradicción), luego esa definición de omnipotencia sí es admisible para Dios.
Muchas gracias Maelstrom,
Los resultados de la demostración sí los entiendo, y son muy clarificadores puesto que en alguna ocasión he tenido que lidiar con personas que me han presentado "pruebas" de la inexistencia de Dios basadas en dichas inconsistencias.
El problema lo tengo en la comprensión de la definición de consistencia aplicada a predicados.
Aunque por lo que me ha explicado Ud. y leyendo con atención el mensaje de Francisco, ¿es posible que el símbolo phi mayúscula en la definición represente una contradicción lógica?
¬(F ==> Φ)
Y así la definición reza: Un predicado es consistente si no implica ninguna contradicción lógica.
Lo que subyace a este tipo de consideraciones es el pensar que Dios también está "sometido" a un orden que no puede quebrantar y que por lo tanto no es acorde con su omnipotencia. Sin embargo la existencia de un orden, que es fácilmente reconocible en el mundo incluso por los no creyentes, es una consecuencia directa de la existencia de Dios, como tan bien se explica en el primer capítulo del Génesis.
Un saludo.
Efectivamente Luis, Φ es el predicado "contradicción". Lo verá en la página principal, arriba a la derecha, en la tabla de notaciones.
Y no es que no haya un orden que no se pueda quebrantar. Es que es imposible que ser y no ser al mismo tiempo, porque es como no decir nada. No existiría una coherencia en el lenguaje. Es más no podríamos ni hablar si admitiéramos tal cosa.
Me gustaría que, si es posible, me explicara el significado de la definición de consistencia aplicado a los predicados para poder sacar más provecho de esta demostración.
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En lógica, una teoría formal axiomática L se dice consistente si no existe una fórmula bien formada (fbf) φ, tal que φ y ¬φ sean ambos teoremas de L. Esto es, si no es posible que exista una demostración o prueba formal de una contradicción (no pueden existir demostraciones de φ y también de ¬φ en L). La noción de demostración o prueba formal en L también está rigurosamente definida. L es consistente si no todas las fórmulas bien formadas de L son teoremas de L. De hecho, si L es consistente, no todas las fbfs son teoremas de L: las negaciones de teoremas de L.
Una teoría formal axiomática L se dice completa (tiene la propiedad de completud, compleción o completitud) si toda tautología de L (fórmula válida, en el cálculo de predicados de primer orden) es un teorema de L.
La teoría formal axiomática del Cálculo Proposicional es completa (Teorema de Completitud) y consistente. Etc.
En este caso, un predicado es consistente si no implica lógicamente (en el sentido de la implicación de predicados definida) el predicado contradicción, Φ, (clase de equivalencia lógica de todos los predicados de la forma φ /\ ¬φ, con φ un predicado cualquiera).
De todas formas, como deseo exponer más adelante la demostración de Gödel de la existencia de Dios (su Argumento Ontológico) adaptado parcialmente por mí, antes expondré algunos conceptos del álgebra de predicados, necesarios para dicha demostración, y de lógica modal.
Lo que subyace a este tipo de consideraciones es el pensar que Dios también está "sometido" a un orden que no puede quebrantar y que por lo tanto no es acorde con su omnipotencia. Sin embargo la existencia de un orden, que es fácilmente reconocible en el mundo incluso por los no creyentes, es una consecuencia directa de la existencia de Dios, como tan bien se explica en el primer capítulo del Génesis.
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Esto ha de ser matizado. No es que Dios esté 'sometido' a algo ajeno a Sí mismo; esto es, que sea im-potente para alguna cosa (por ejemplo, para hacer algo contradictorio). Para que exista una im-potencia de hacer algo, digamos X, ha de haber lógicamente primero una potencia de hacerlo (un poder ser hecho). Pero lo que no puede ser hecho de manera absoluta (lo que implica contradicción), no tiene potencia de ser hecho, luego en consecuencia tampoco cabe en rigor una im-potencia de hacerlo. Por lo tanto (como ya advierte Santo Tomás de Aquino) es más correcto decir que algo no puede ser hecho de forma absoluta que no que Dios no puede hacerlo. Dios, por ejemplo, no puede hacer un círculo cuadrado; pero no porque sea im-potente para hacerlo, pues no hay en absoluto potencia previa de hacerlo. Dios 'no puede' hacer un círculo cuadrado porque tal cosa es absurda, imposible lógicamente, y lo imposible lógicamente no cae dentro del dominio de ninguna potencia, ni siquiera de la de Dios.
Gracias a todos por su amable y elocuente participación. Cuando disponga de tiempo responderé los mensajes que me quedan.
Disculpen mi tardanza, a veces, en contestar.
Muchas gracias Francisco por sus aclaraciones,
Precisamente cuando escribí:
"Lo que subyace a este tipo de consideraciones es el pensar que Dios también está "sometido" a un orden que no puede quebrantar y que por lo tanto no es acorde con su omnipotencia.Sin embargo la existencia de un orden, que es fácilmente reconocible en el mundo incluso por los no creyentes, es una consecuencia directa de la existencia de Dios, como tan bien se explica en el primer capítulo del Génesis."
Quería expresar el pensamiento ateo, no el mío propio, y darle la vuelta al razonamiento afirmando que la existencia de un orden (en este caso de posibilidades e imposibilidades lógicas) es una consecuencia de la existencia de Dios y no un límite a su omnipotencia.
Pero creo que no me supe explicar bien.
Gracias de nuevo.
Luis
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